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对数函数

理解对数的概念和运算性质，知道换底公式；了解对数函数的概念，能画出图象并了解其单调性与特殊点；知道对数函数与指数函数互为反函数。

这个知识点的练习题

1计算： $(1)(\dfrac{9}{4})^{\frac{1}{2}}-(-9.6)^{0}-(\dfrac{27}{8})^{-\frac{2}{3}}+(\dfrac{3}{2})^{-2}$ ； $(2)\lg 5+\lg 2\boldsymbol{⋅}\lg 5+(\lg 2)^{2}+e^{\ln 3}(e$ …
2已知函数 $y=f(x)$ 是定义在 $R$ 上的偶函数，且在区间 $[0,+\infty)$ 上单调递增，若实数 $m$ 满足 $f({{\log}_{3}}m)\geqslant f(1)$ ，则 $m$ 的取值范围为___.
3化简求值： $(1)0.{064}^{- \frac{1}{3}}-( \dfrac{1}{8}{)}^{0}+{16}^{ \frac{3}{4}}+0.{25}^{ \frac{1}{2}} (2)\dfrac{1}{2} \lg 25+\lg 2+( \dfrac{1}{3}{)}^{{\log }_{3}2} -\log _{2}9×\log _{3}2.$ …
4已知 $|\log _{a} \dfrac {3}{4}| < 1$ ，求 $a$ 的取值集合．
5下列函数中，满足 $f(x^{2})=[f(x)]^{2}$ 的是 $()$ A. $f(x)=\ln x$ B. $f(x)=|x+1|$ C. $f(x)=x^{3}$ D. $f(x)=e^{x}$
6已知 $a$ 是正数，若互不相等的正实数 $x$ ， $y$ 满足等式 $\left(2x- \dfrac{y}{e}\right)·\ln \dfrac{y}{x}= \dfrac{x}{ae}$ ，则 $a$ 的最小值为 A. $e$ …
7已知首项为 $1$ 的数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{n\text{+}1}\text{=}\dfrac{1}{3}S_{n}$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 满足 $b_{n}\text{=}\log_{3}a_{n}$ …
8若函数 $f(x)=\dfrac{e^{x-1}}{x}$ ， $g(x)=\dfrac{x}{1+\ln x}$ ，存在 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ 使得 $f({x}_{1})=g({x}_{2})$ ，则下列说法不正确的是 $(\quad)$ …
9 $\dfrac{\log_{27}16}{\log_{3}4}$ 的值是___.
10若 $10^{a}=4$ ， $10^{b}=25$ ，则 $(\quad)$ A. $a+b=2$ B. $b-a=1$ C. $\lg 20=1+\dfrac{a}{2}$ D. $b-a=2\lg\dfrac{5}{2}$ …
11已知函数 $f\left(x\right)$ 是定义在 $R$ 上的偶函数，且 $f\left(0\right)=0$ ，当 $x>0$ 时， $f\left(x\right)={{\log}_{2}}\left(x+1\right).(1)$ …
12 $∀x\in(0,+∞)$ ，不等式 $xe^{x-3}-x-\ln x\geqslant a$ 恒成立，则 $a$ 的最大值为 $(\quad)$ A. $-2$ B. $0$ C. $e^{-2}-1$ D. $-\ln 3$ …
13在 $y=3^{x}$ ， $y=\log _{0.3}x$ ， $y=x^{3}$ ， $y= \sqrt {x}$ ，这四个函数中当 $0 < x_{1} < x_{2} < 1$ 时，使 $f( \dfrac {x_{1}+x_{2}}{2}) < \dfrac {f(x_{1})+f(x_{2})}{2}$ …
14已知函数 $f(x)=2x^{2}-4x+a$ ，函数 $g(x)=\log_{a}x(a>0,$ 且 $a≠1).(1)$ 若函数 $f(x)$ 在区间 $[-1,2m]$ 上不具有单调性，求实数 $m$ 的取值范围； (2)若 $f(1)=g(1).\:$ …
15已知正数 $x$ ， $y$ 满足 $y\ln x+y\ln y=e^{x}$ ，则 $xy-2x$ 的最小值为 $(\quad)$ A. $\dfrac{1}{2}\ln 2$ B. $2-2\ln 2$ C. $-\dfrac{1}{2}\ln 2$ …
16下列函数中，定义域为 $R$ 的偶函数是 $(\quad)$ A. $y=2^{x}$ B. $y=x|x|$ C. $y=|x^{2}-1|$ D. $y=\log_{2}|x|$
17设函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}2^{x},x\leqslant 0,\\log_{2}x,x>0,\end{array}\right.$ 对任意给定的 $y\in(2,+∞)$ ，都存在唯一的 $x\in R$ …
18f（x）=㏑x+2x-5的零点一定位于以下的区间（） A. （1，2） B. （2，3） C. （3，4） D. （4，5）
19 $x>1$ 是 $\log_{\frac{1}{2}}\left({x+2}\right)< 0$ 的 $(\quad)$ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
20计算： $\lg 2+\lg 5=(\quad)$ A. $-2$ B. $-1$ C. $0$ D. $1$
21已知函数 $f(x)=\ln x-nx(n > 0)$ 的最大值为 $g(n)$ ，则使 $g(n)-n+2 > 0$ 成立的 $n$ 的取值范围为( ) A. $(0,1)$ B. $(0,+∞)$ C. $\left( \left. 0, \dfrac{1}{4} \right. \right)$ …
22下列函数，在区间 $(0,+∞)$ 上为增函数的是 $()$ A. $y=\ln (x+2)$ B. $y=- \sqrt {x+1}$ C. $y=( \dfrac {1}{2})^{x}$ D. $y=x+ \dfrac {1}{x}$ …
23 $e^{\ln 2}{+}8^{\frac{1}{3}}{+}\lg 20{-}\lg 2{=}$ ___
24已知 $a=1.6^{0.8}$ ， $b=\log_{3}10$ ， $c=\sin 1-\cos 1$ ，则 $a$ ， $b$ ， $c$ 的大小关系是 $(\quad)$ A. $a>b>c$ B. $c>b>a$ C.…
25已知 $a=\dfrac{\ln 2}{2}$ ， $b=\dfrac{\ln 3}{3}$ ， $c=\dfrac{\ln 6}{6}$ ，则 $a$ ， $b$ ， $c$ 的大小关系是 $(\quad)$ A. $c>b>a$ …
26设 $a={2020}^{ \frac{1}{2019}},b=lo{g}_{2019} \sqrt{2020},c=lo{g}_{2020} \sqrt{2019}$ ，则 $(\:\:\:\:)$ A. $c > b > a$ B…
27函数 $f(x)= \dfrac {\ln (x+3)}{ \sqrt {1-2^{x}}}$ 的定义域是 ___ $($ 用区间表示 $)$ ．
28已知 $0< a< b< 1$ ， $c>1$ ，则下列不等式不成立的是 $(\quad)$ A. $ac< bc$ B. $a^{c}>b^{c}$ C. $\dfrac{c}{a}>\dfrac{c}{b}$ D. $\log_{c}a< \log _{c}b$ …
29已知实数 $a$ ， $b$ 满足 $\log_{2}a=\log_{5}b=\sqrt{2}$ ，则 $\lg((ab)^{\sqrt{2}})=$ ___.
30方程 $\log _{2}x+x-5=0$ 在下列哪个区间必有实数解 $()$ A. $(1,2)$ B. $(2,3)$ C. $(3,4)$ D. $(4,5)$
31设 $a={{\log }_{3}}2$ ， $b=\ln 2$ ， $c={{5}^{-\frac{1}{2}}}$ ，则 $()$ A. $c < b < a$ B. $b < c < a$ C. $c < a < b$ …
32已知函数 $f(x)=1- \dfrac {2}{2a^{x-1}+1}(a > 0$ 且 $a\neq 1)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数． $($ Ⅰ $)$ 求实数 $a$ 的值； $($ Ⅱ $)$ 证明函数 $f(x)$ …
33与函数 $y=x$ 有相同图象的一个函数是 $()$ A. $y= \sqrt {x^{2}}$ B. $y=( \sqrt {x})^{2}$ C. $y= \dfrac {x^{2}}{x}$ D. $y=\log _{a}a^{x}(a > 0{且}a\neq 1)$ …
34已知集合 $A=\left\{ x\left|y=\sqrt{-{{x}^{2}}-x+2}\right.\right\},B=\left\{ x\left|\ln x< {{1}_{{}}}\right.\right\},$ 则 $A\cap B=(\quad)$ …
35已知 $a=\log _{3}6$ ， $b=1+3\;^{-\log _{3}e}$ ， $c=( \dfrac {2}{3})^{-1}$ 则 $a$ ， $b$ ， $c$ 的大小关系为 $()$ A. $a > b > c$ …
36设函数 $f(x)=ax- \dfrac {a}{x}-2\ln x$ ． (1)若 $f(x)$ 在 $x=2$ 时有极值，求实数 $a$ 的值和 $f(x)$ 的极大值； (2)若 $f(x)$ 在定义域上是增函数，求实数 $a$ 的取…
37已知函数 $f\left(x\right)=\dfrac{{\rm\ln}x}{x}-a\left(a\in R\right).(1)$ 若函数 $f(x)$ 有两个零点，求 $a$ 的取值范围； (2)设函数 $f(x)$ 的两个零点为 $m$ …
38函数 $y=\log \;_{ \frac {1}{3}}(x^{2}-9)$ 的单调递增区间是 $()$ A. $(-∞,0)$ B. $(-∞,-3)$ C. $(3,+∞)$ D. $(-3,0)$
39已知函数 $f(x)=\ln(x+\sqrt{{{x}^{2}}+1})+1$ ，若正实数 $a\text{ },\text{ }b$ 满足 $f(4a)+f(b-1)=2$ ，则 $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}$ 的…
40规定两数 $a$ ， $b$ 之间的一种运算，记作 $(a,b)$ ：如果 $a^{c}=b$ ，那么 $(a,b)=c$ ．例如：因为 $2^{3}=8$ ，所以 $(2,8)=3$ ． (1) 根据上述规定，填空： $(3,27)=$ …
41对于下列结论： $\text{①}$ 函数 $y\text{=}a^{x\text{+}2}(x{\in}R)$ 的图象可以由函数 $y\text{=}a^{x}(a\text{ > }0$ 且 $a\neq 1)$ 的图象平移得到； $\text{②}$ …
42已知函数 $f\left(x\right)={{\log}_{4}}\dfrac{x-1}{x+1}(1)$ 若 $f\left(a\right)=\dfrac{1}{2}$ ，求 $a$ 的值； (2)判断 $f\left(x\right)$ …
43函数 $y=\log_{2}(x+\dfrac{1}{x-1}+5)(x>1)$ 的最小值为 $(\quad)$ A. $4$ B. $-4$ C. $-3$ D. $3$
44已知 $\dfrac{1}{|\sin \:α|} =- \dfrac{1}{\sin \:α}$ ，且 $\lg (\cos \:α)$ 有意义． (1)试判断角 $α$ 所在的象限． (2)若角 $α$ 的终边上一点是 $M( \dfrac{3}{5} , m)$ …
45若 $a > b > 1,0 < c < 1$ ，则 $()$ A. ${{a}^{c}} > {{b}^{c}}$ B. $a{{b}^{c}} < b{{a}^{c}}$ C. ${{\log }_{a}}c > {{\log }_{b}}c$ …
46设函数 $f(x)=\left\{\begin{align}&2{{e}^{x-1}},x< 2\\ &{{\log}_{3}}\left({{x}^{2}}-1\right),x\geqslant 2\\\end{align}\right.$ …
47（1）求值： $(\sqrt[] { 3 }) ^ { 2 } +16 ^ { \frac { 3 } { 4 } } +(\sqrt[] { 3 }-1) ^ { 0 }$ ；（2）求值： ${ \rm{ l } }{ \rm{ g } }25+{ \rm{ l } }{ \rm{ g } }4+5 ^ { { \rm{ l } }{ \rm{ o } }{ \rm{ g } }_{ 5 } 2 } +{ \rm{ l } }{ \rm{ o } }{ \rm{ g } }_{ 3 } \sqrt[] { 27 }$ …
48若集合 $A=\{x|\log _{ \frac {1}{2}}x\geqslant \dfrac {1}{2}\}$ ，则 $∁_{R}A=()$ A. $(-∞,0]∪( \dfrac { \sqrt {2}}{2}$ ， $+∞)$ …
49使式子 ${\log}_{(2x-1)}(2-x)$ 有意义的 $x$ 的取值范围是 $(\quad)$ A. $x>2$ B. $x< 2$ C. $\dfrac{1}{2}< x< 2$ D. $\dfrac{1}{2}< x< 2$ …
50已知函数 $f(x)=ax^{2}+x\ln x+x$ ． (1)若 $a=1$ ，求函数 $f(x)$ 在 $(1,f(1))$ 处的切线方程； (2)若 $a=-e$ ，证明：方程 $|f(x)|-\ln x= \dfrac {1}{2}x$ …
51已知函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}\ln x,x>0\\ {x}^{2}+2x,x⩽0\end{array}\right.$ ，则 $g(x)=f(x)+1$ 的零点个数为___.
52已知 $a=3^{0.5}$ ， $b=\log_{3}2$ ， $c=\tan\dfrac{2π}{3}$ ，则 $(\quad)$ A. $a>b>c$ B. $b>a>c$ C. $c>a>b$ D. $a>c>b$
53 $16$ 、 $17$ 世纪，随着社会各领域的科学知识迅速发展，庞大的数学计算需求对数学运算提出了更高要求，改进计算方法，提高计算速度和准确度成了当务之急．苏格兰数学家纳皮尔发明了对数，是简化大数运算的有效工具，恩格斯曾把纳皮尔的对数称为…
54定义在 $R$ 上的奇函数 $f(x)$ 在 $(0,+∞)$ 上单调递增， $f\left(\dfrac{1}{3}\right)=0$ ，则满足 $f\left({{\log}_{\frac{1}{8}}}x\right)>0$ 的 $x$ …
55命题 $p$ ：“ $∀x\in[1,2]$ ， $2x^{2}-x-m>0$ ”，命题 $q$ ：“ $∃x_{0}\in[1,2]$ ， $\log_{2}x_{0}+m>0$ ”，若“ $p∧q$ ”为真命题，则实数 $m$ 的取值范…
56已知命题 $p$ ：不等式 $|x-1|+|x+2|>m$ 的解集为 $R$ ：命题 $q$ ： $f(x)=\log_{(5-2m)}x$ 为减函数．则 $¬p$ 是 $¬q$ 成立的 $(\quad)$ A. 充分不必要条件 B. 必…
57已知函数 $f\left(x\right)={\left({\log }_{2}x\right)}^{2}-{\log }_{2}{x}^{2}+3$ ，当 $x∈\left[1,4\right]$ 时， $f\left(x\right)$ …
58设 $a$ ， $b$ 为正实数，则“ $a>b>1$ ”是“ $\log_{2}a>\log_{2}b>0$ ”的 $(\quad)$ A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
59已知直线 $y=ax+b(a\in R,b>0)$ 是曲线 $f(x)=e^{x}$ 与曲线 $g(x)=\ln x+2$ 的公切线，则 $a+b$ 等于 $(\quad)$ A. $e+2$ B. $3$ C. $e+1$ …
60设函数 $f(x)=-4^{x}+2^{x+1}-1$ ， $g(x)=\lg(ax^{2}-4x+1)$ ，若对任意 $x_{1}\in R$ ，都存在 $x_{2}\in R$ ，使 $f(x_{1})=g(x_{2})$ ，则实数 $a$ …