已知函数$f\left(x\right)={\left({\log }_{2}x\right)}^{2}-{\log }_{2}{x}^{2}+3$，当$x∈\left[1,4\right]$时，$f\left(x\right)$的最大值为$m$，最小值为$n$． (1)若角$α$的终边经过点$p\left(m,n\right)$，求$\sin α+\cos α$的值； (2)设$g\left(x\right)=m\cos (nx+ \dfrac{π}{m})-n$，$h\left(x\right)=g\left(x\right)-k$在$[0, \dfrac{π}{2}]$上有两个不同的零点${x}_{1},{x}_{2}$，求$k$的取值范围．

1. 引入换元法，确定新变量 $t$ 的范围

已知函数 $f(x) = (\log_2 x)^2 - \log_2 x^2 + 3$，根据对数的运算性质，可以化简为：
$f(x) = (\log_2 x)^2 - 2\log_2 x + 3$
令 $t = \log_2 x$。
因为 $x \in [1, 4]$，且对数函数 $y = \log_2 x$ 在其定义域上单调递增，
所以 $t \in [\log_2 1, \log_2 4]$，即 $t \in [0, 2]$。

2. 利用配方法求出二次函数在闭区间上的最大值 $m$ 和最小值 $n$

原函数关于 $t$ 可表示为：
$g(t) = t^2 - 2t + 3 = (t-1)^2 + 2$
当 $t = 1$ 时，函数取得最小值 $n = 2$；
当 $t = 0$ 或 $t = 2$ 时，函数取得最大值 $m = 3$。
因此，$m = 3$ 且 $n = 2$。

3. 利用三角函数的坐标定义求出目标三角函数值

由题意可知，角 $\alpha$ 的终边经过点 $P(m, n) = P(3, 2)$。
所以 $x = 3, y = 2$，其到原点的距离为：
$r = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{3^2 + 2^2} = \sqrt{13}$
根据任意角三角函数的定义：
$\sin \alpha = \frac{y}{r} = \frac{2}{\sqrt{13}}$
$\cos \alpha = \frac{x}{r} = \frac{3}{\sqrt{13}}$
所以：
$\sin \alpha + \cos \alpha = \frac{2}{\sqrt{13}} + \frac{3}{\sqrt{13}} = \frac{5}{\sqrt{13}} = \frac{5\sqrt{13}}{13}$

1. 代入第一问结论，将零点个数问题转换为方程根的个数问题

复用 (1) 中的结论 $m = 3, n = 2$ 代入函数解析式：
$g(x) = 3\cos(2x + \frac{\pi}{3}) - 2$
$h(x) = g(x) - k = 3\cos(2x + \frac{\pi}{3}) - 2 - k$
令 $h(x) = 0$，得：
$3\cos(2x + \frac{\pi}{3}) - 2 = k \iff \cos(2x + \frac{\pi}{3}) = \frac{k+2}{3}$
因此，函数 $h(x)$ 在 $[0, \frac{\pi}{2}]$ 上有两个不同的零点，等价于关于 $x$ 的方程 $\cos(2x + \frac{\pi}{3}) = \frac{k+2}{3}$ 在 $[0, \frac{\pi}{2}]$ 上有两个不同的实数解。

2. 进行换元，求出复合角 $\theta$ 的取值范围

设 $\theta = 2x + \frac{\pi}{3}$。
因为 $x \in [0, \frac{\pi}{2}]$，
所以 $2x \in [0, \pi]$，则 $\theta = 2x + \frac{\pi}{3} \in [\frac{\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}]$。
问题转化为：方程 $\cos\theta = \frac{k+2}{3}$ 在 $\theta \in [\frac{\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}]$ 上有两个不同的解。

3. 结合余弦函数图象，求出方程有两个解时函数值所满足的范围

分析余弦函数 $y = \cos\theta$ 在区间 $[\frac{\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}]$ 上的图象性质：

• 当 $\theta \in [\frac{\pi}{3}, \pi]$ 时，$\cos\theta$ 单调递减，且有 $\cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$，$\cos\pi = -1$；
• 当 $\theta \in [\pi, \frac{4\pi}{3}]$ 时，$\cos\theta$ 单调递增，且有 $\cos\frac{4\pi}{3} = -\frac{1}{2}$。
  要使水平直线 $y = \frac{k+2}{3}$ 与 $y = \cos\theta$ 的图象在 $[\frac{\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}]$ 上有两个不同的交点，该直线必须介于最低点上方与 $\theta = \frac{4\pi}{3}$ 时的高度之间（含端点）。
  即满足：
  $-1 < \frac{k+2}{3} \le -\frac{1}{2}$

4. 解一元一次不等式组求得 $k$ 的范围

由 $-1 < \frac{k+2}{3} \le -\frac{1}{2}$ 展开计算：
同时乘以 3 得：$-3 < k + 2 \le -\frac{3}{2}$
同时减去 2 得：$-5 < k \le -\frac{7}{2}$
所以 $k$ 的取值范围为 $(-5, -\frac{7}{2}]$。