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解三角方程

给定区间内简单三角方程的求解（不含通解）

这个知识点的练习题

  1. 1解方程 2cot⁡22x=1−5sin⁡2x2 \cot^2 2x = 1 - \frac{5}{\sin 2x}，其中 −180∘≤x≤180∘-180^\circ \le x \le 180^\circ。
  2. 28.8.设△ABC\triangle ABC的内角AA，BB，CC所对的边分别为aa，bb，cc，若bcos⁡C+ccos⁡B=asin⁡Ab\cos C+c\cos B=a\sin A，则△ABC\triangle ABC的形状为…
  3. 3证明 sin⁡3xsec⁡2x+sin⁡x=tan⁡xsec⁡x\sin^{3} x\sec^{2} x + \sin x = \tan x\sec x。 解方程 sin⁡3xsec⁡2x+sin⁡x=5\sin^{3} x\sec^{2} x + \sin x = 5，其中 0≤x≤360∘0 \le x \le 360^\circ。
  4. 4已知 cos⁡x=−45\cos x = -\frac{4}{5} 且 tan⁡x>0\tan x > 0，求 sin⁡2x\sin 2x， cos⁡x2\cos \frac{x}{2}。
  5. 5曲线的方程由 y=x+sin⁡2xy = x + \sin^2 x 给出，其中 0≤x≤π0 \le x \le \pi。 写出 dydx\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} 的表达式。 求该曲线的驻点。 确定该驻点的性质。
  6. 6利用 Rcos⁡(θ−α)R \cos(\theta - \alpha)（其中 R>0R > 0 且 0∘≤α≤90∘0^\circ \le \alpha \le 90^\circ），求解方程 5cos⁡θ+8sin⁡θ=65 \cos \theta + 8 \sin \theta = 6…
  7. 7图中展示了一个叶片长度为 25 m25\text{ m} 的风力发电机。风力发电机的中心距离地面 35 m35\text{ m}。在离开 XX 点 tt 秒后，特定叶片尖端距离地面的高度 h mh\text{ m} 可建模为 h=acos⁡bt+ch = a \cos bt + c…
  8. 8已知函数 f(x)=1+2sin⁡23x+4cos⁡23x\text{f}(x) = 1 + 2\sin^2 3x + 4\cos^2 3x。 将 f(x)\text{f}(x) 表示为 a+bcos⁡6xa + b\cos 6x 的形式。 由此，求满足 f(x)=3.5\text{f}(x) = 3.5 的 xx…
  9. 9图示两条弦 AB 和 CD 相交于 X，使得角 CXB = 90∘90^\circ。已知 AC=5 cmAC = 5\ \text{cm}，BD=12 cmBD = 12\ \text{cm}，且角 BDC=θBDC = \theta。 证明 AB=5cos⁡θ+12sin⁡θAB = 5\cos\theta + 12\sin\theta…
  10. 10已知 sin⁡(A−B)sin⁡(A+B)=23\dfrac{\sin(A-B)}{\sin(A+B)} = \dfrac{2}{3}，证明 tan⁡A=5tan⁡B\tan A = 5\tan B。 由此或用其他方法，解方程 3sin⁡(A−45∘)=2sin⁡(A+45∘)3\sin(A-45^\circ)=2\sin(A+45^\circ)…
  11. 11下图显示了一个圆，其弦 PQPQ 和 RSRS 相交于点 XX。P,Q,RP, Q, R 和 SS 是圆上的点。已知 PQ=7 cmPQ = 7\text{ cm}，RS=24 cmRS = 24\text{ cm}，角 PXQ=90∘PXQ = 90^\circ，且角 PRS=θPRS = \theta…
  12. 12三角形 ABC 的面积为 7.5 cm^2。其中两边长分别为 5 cm 和 6 cm。求第三边的长度。 答案 ...cm
  13. 13一只时钟安装在建筑物屋顶的垂直墙壁上。 从时钟中心 OO 到分针尖端 MM 的距离为 15 米。 MM 距离屋顶的高度 hh（米）由 h=acos⁡kt+bh = a \cos kt + b 给出，其中 tt 是超过整点的分钟数。OO 距离屋顶…
  14. 14已知曲线方程为 y=e−2xtan⁡xy = e^{-2x}\tan x。 证明 dydx=e−2x(1−tan⁡x)2\dfrac{dy}{dx} = e^{-2x}(1 - \tan x)^2。 用含 π\pi 的式子表示当 0<x<π20 < x < \dfrac{\pi}{2} 时驻点的…
  15. 15证明 3cos⁡2x+sin⁡2x=2+cos⁡2x3\cos^2 x + \sin^2 x = 2 + \cos 2x。 因此，利用 (a) 部分的结果， 因此，利用 (a) 部分的结果， 求 3cos⁡222.5∘+sin⁡222.5∘3\cos^2 22.5^\circ + \sin^2 22.5^\circ 的精…
  16. 16图中显示了一个梯形 ABCDABCD。点 XX 在直线 ABAB 上，满足 DX=12 cmDX = 12\text{ cm} 且 CX=9 cmCX = 9\text{ cm}。∠ADX=θ∘\angle ADX = \theta^\circ 且 ∠DAX=∠DXC=∠XBC=90∘\angle DAX = \angle DXC = \angle XBC = 90^\circ…
  17. 17证明恒等式 cos⁡xcosec x−1+cos⁡xcosec x+1=2tan⁡x\frac{\cos x}{\text{cosec } x - 1} + \frac{\cos x}{\text{cosec } x + 1} = 2 \tan x。 解方程 tan⁡x+2sec⁡2x=5\tan x + 2\sec^2 x = 5…
  18. 18一个质点在直线上运动，其速度 v m/sv\text{ m/s} 由 v=9sin⁡(t2)v = 9\sin\left(\frac{t}{2}\right) 给出，其中 tt 是通过固定点 OO 之后的秒数。 求质点在离开 OO 后首次瞬时静止时的 tt…
  19. 19下图显示了两条水平直线 ABAB 和 CDCD，其中 LL 是直线 ABAB 和 CDCD 之间的垂直距离。 矩形 PQRSPQRS 分别在 PP 和 RR 处接触直线 ABAB 和 CDCD。 已知 PQ=6 cmPQ = 6\text{ cm}…
  20. 20证明 csc⁡2x+cot⁡2x=cot⁡x\csc 2x + \cot 2x = \cot x。 由此推导 cot⁡15∘\cot 15^\circ 的根式形式的值。 利用第 (i) 部分，求解 0∘≤x≤360∘0^\circ \le x \le 360^\circ 范围内的方程 csc⁡2x+cot⁡2x=6−5tan⁡x\csc 2x + \cot 2x = 6 - 5\tan x…
  21. 21证明三角恒等式：csc⁡2A+2cot⁡A(cos⁡A+sin⁡A)2=csc⁡2A\dfrac{\csc^{2}A + 2\cot A}{(\cos A + \sin A)^{2}} = \csc^{2}A 由此求解方程：csc⁡2A+2cot⁡A=4(cos⁡A+sin⁡A)2对于   0≤x≤360∘.\csc^{2}A + 2\cot A = 4(\cos A + \sin A)^{2} \quad\text{对于 }\; 0 \le x \le 360^{\circ}.…
  22. 22把函数y=sin⁡(2x+4π3)y=\sin (2x+ \dfrac {4π}{3})的图象向右平移φ(φ>0)φ(φ > 0)个单位，所得图象关于yy轴对称，则φφ的最小值为 ___ ．
  23. 23图中显示了曲线 y=4x+5y = \sqrt{4x + 5} 的一部分。曲线在 PP 点处的法线与 xx 轴交于 TT。PP 的 xx 坐标为 5。已知 PTPT 是 PQPQ 的两倍，且 RQRQ 平行于 xx 轴， 求 PP 点…
  24. 24如图所示，一个尺寸为 14 cm ×\times 8 cm 的矩形木块 ABCEABCE 放置在斜面 VEVE 上。斜面的倾角为锐角 θ∘\theta^\circ，且 ∠VTE=90∘\angle VTE = 90^\circ。该斜面放置在水平面 ETET…
  25. 25已知函数y=cos⁡xy=\cos x与y=sin⁡(2x+φ)(0⩽φ⩽π)y=\sin (2x+φ)(0\leqslant φ\leqslant π)，它们的图象有一个横坐标为π3 \dfrac {π}{3}的交点，则φ=()φ=() A. π6 \dfrac {π}{6}…
  26. 26曲线的方程为 x2+4y2=20x^2 + 4y^2 = 20，直线的方程为 y=k−xy = k - x，其中 kk 是常数。 求 kk 的取值范围，使得直线与曲线不相交。 证明 AC+BC+DE=(60sin⁡θ+25cos⁡θ) cmAC + BC + DE = (60 \sin \theta + 25 \cos \theta)\text{ cm}…
  27. 27证明恒等式 cos⁡2x−sin⁡2x1+2sin⁡xcos⁡x=1−tan⁡x1+tan⁡x\dfrac{\cos^{2} x - \sin^{2} x}{1 + 2\sin x\cos x} = \dfrac{1 - \tan x}{1 + \tan x}。 解方程 cos⁡2x−sin⁡2x1+2sin⁡xcos⁡x=23tan⁡x\dfrac{\cos^{2} x - \sin^{2} x}{1 + 2\sin x\cos x} = \dfrac{2}{3}\tan x…
  28. 28已知函数f(x)=2sin⁡ωxcos⁡ωx+23sin⁡2ωx−3(ω>0)f(x)=2\sin ωx\cos ωx+2 \sqrt {3}\sin ^{2}ωx- \sqrt {3}(ω > 0)的最小正周期为ππ． (1)求ωω的值及函数f(x)f(x)的单调减区间； (2)将函数f(x)f(x)…
  29. 29在图中，BE 与 AD 交于 F。AF = 7 cm 且 FD = 4 cm。∠ABF\angle ABF、∠ACD\angle ACD 和 ∠DEF\angle DEF 是直角。BCDF 是一个梯形，θ\theta 是一个锐角。 证明 BCDF 的…
  30. 30图中显示了一对相似三角形 YUXYUX 和 VUWVUW。点 YY 在直线 VUVU 上，使得 VY=12 cmVY = 12\text{ cm} 且 YU=20 cmYU = 20\text{ cm}。角 UVW=θUVW = \theta，其中 0∘≤θ≤90∘0^\circ \le \theta \le 90^\circ…
  31. 3112 对 0<x<2π0 < x < 2\pi，解方程 0.5sin⁡2x=3sin⁡x0.5\sin 2x = 3\sin x。 对介于 0∘0^\circ 和 180∘180^\circ 之间的 θ\theta 值，解方程 csc⁡(θ2−40∘)+5=0.\csc\left(\frac{\theta}{2}-40^\circ\right)+5=0.…
  32. 32如图所示，该区域由位于 ABAB、BCBC 和 ADAD 处的玻璃板围成。AB=10 mAB = 10\text{ m}，AD=30 mAD = 30\text{ m}，角 DAB=angle BCD=90∘DAB = \text{angle } BCD = 90^\circ。玻璃板 ADAD…
  33. 33如图所示为一个尺寸为 14 cm ×\times 8 cm 的矩形块 PQRSPQRS 的侧视图，它放置在一个倾角为 θ∘\theta^\circ 的锐角斜面 VSVS 上。 斜面放置在水平面 STST 上，dd 是点 QQ 到 STST…
  34. 34该图显示了曲线 y=2sin⁡2x+1y = 2 \sin 2x + 1 的一部分。PP 是该曲线的最高点，而 QQ 是曲线上切线斜率为 −4-4 的点。 求 PP 和 QQ 的坐标。 求由曲线、坐标轴、直线 PQPQ 和垂直线 QRQR 围成的阴影…
  35. 35设△ABC\vartriangle ABC的内角AA、BB、CC所对的边分别为aa，bb，cc，若asin⁡A=bcos⁡C+ccos⁡Ba\sin A=b\cos C+c\cos B，则△ABC\vartriangle ABC的形状为…
  36. 36表达式 8sin⁡θ−3cos⁡θ8 \sin \theta - 3 \cos \theta 的定义域为 0∘≤θ≤180∘0^\circ \le \theta \le 180^\circ。 通过使用 Rsin⁡(θ−α)R \sin(\theta - \alpha)（其中 R>0R > 0…
  37. 37某天午夜后 tt 小时，港口的水位高度可以通过公式 h=4.8sin⁡kπt+5.1h = 4.8 \sin k\pi t + 5.1 来建模，其中 0≤t≤240 \le t \le 24。 给出潮汐的最大和最小水位。 潮汐周期从高潮开始，到下一次高潮结束。已知 24 小…
  38. 38如图所示为一块梯形纸板，其中 ∠BAD\angle BAD 和 ∠ABC\angle ABC 均为直角。CD=20 cmCD = 20\text{ cm}，BC=8 cmBC = 8\text{ cm} 且 ∠ADC=θ\angle ADC = \theta 弧度。 证明周长…
  39. 39证明恒等式 csc⁡4x+cot⁡4x=cot⁡2x\csc 4x + \cot 4x = \cot 2x。 由此，求在 −180∘≤θ≤180∘-180^\circ \le \theta \le 180^\circ 范围内，使 csc⁡2θ+cot⁡2θ=−3\csc 2\theta + \cot 2\theta = -\sqrt{3}…
  40. 40在△ABC\triangle ABC中，角AA，BB，CC的对边分别是aa，bb，cc，已知a2=b2+c2+bc{{a}^{2}}={{b}^{2}}+{{c}^{2}}+bc，则A=()A=(\quad) A. π3\dfrac{\pi}{3}…
  41. 41a→=(32,sin⁡α)\overrightarrow{a}=(\dfrac{3}{2},\sin \alpha )，b→=(cos⁡α,13)\overrightarrow{b}=(\cos \alpha ,\dfrac{1}{3})且a→/ ⁣/b→\overrightarrow{a}/\!/\overrightarrow{b}…
  42. 42“α=π4α=\dfrac{π}{4}”是“sin⁡α=22\sin α=\dfrac{\sqrt{2}}{2}”的()(\quad) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件
  43. 43证明恒等式 1+cos⁡θsin⁡θ+sin⁡θ1+cos⁡θ=2csc⁡θ\frac{1+\cos \theta}{\sin \theta} + \frac{\sin \theta}{1+\cos \theta} = 2\csc \theta。 由此，求在 0∘≤θ≤360∘0^\circ \le \theta \le 360^\circ…
  44. 44求满足以下方程的 xx 的主值（以度为单位）： 2sin⁡2x+3cos⁡x=02 \sin 2x + 3 \cos x = 0
  45. 45图示为当 0≤x≤π0 \le x \le \pi 时，曲线 y=cos⁡x+sin⁡xy = \cos x + \sin x。该曲线与 yy 轴交于点 AA，与 xx 轴交于点 BB。 证明点 BB 的 xx 坐标为 3π4\frac{3\pi}{4}。…
  46. 46写出 sin⁡−1(−32)\sin^{-1}\left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right) 的主值， tan⁡−1x\tan^{-1}x 的主值必须介于其间的数值， 使方程 4sin⁡2x=k4\sin^{2}x = k 有解的 kk 的取值范围。 证明恒等…
  47. 47如果函数y=3cos⁡(2x+φ)y=3\cos (2x+φ)的图象关于点(4π3,0)( \dfrac {4π}{3},0)中心对称，那么∣φ∣|φ|的最小值为()() A. π6 \dfrac {π}{6} B. π4 \dfrac {π}{4}…
  48. 48图中显示了一个长为 5 m、宽为 2 m 的矩形木板 ABCDABCD 靠在垂直墙壁上。ADAD 与水平地面成锐角 θ\theta。 EE 是垂直墙壁上的一点，使得 EBEB 平行于地面；FF 是地面上的一点，使得 AFAF 垂直于 FDFD…
  49. 49证明 sin⁡θ(sec⁡θ−tan⁡θ)(sin⁡θ+1)=tan⁡θ\dfrac{\sin \theta}{(\sec \theta - \tan \theta)(\sin \theta + 1)} = \tan \theta。 求在 00 到 π\pi 之间，满足 sin⁡θ(sec⁡θ−tan⁡θ)(sin⁡θ+1)=1−sec⁡2θ\dfrac{\sin \theta}{(\sec \theta - \tan \theta)(\sin \theta + 1)} = 1 - \sec^2 \theta…
  50. 50证明 (sin⁡θ−cos⁡θ)(1+sin⁡θcos⁡θ)cos⁡3θ=tan⁡3θ−1.\frac{(\sin\theta-\cos\theta)(1+\sin\theta\cos\theta)}{\cos^{3}\theta}=\tan^{3}\theta-1. 由此，对于 0<θ<2π0<\theta<2\pi，求满…
  51. 51下图显示了一个带围栏的场地 PQRSPQRS。已知 PS=40 mPS = 40\text{ m}，SR=100 mSR = 100\text{ m}，角 PQRPQR 和 PSRPSR 均为直角，且角 QRS=θQRS = \theta，其中 θ\theta 是以度为单位…
  52. 52点 (a,2)(a, 2) 是函数图像 y=x3−x2−x+by = x^3 - x^2 - x + b 的一个驻点，其中 aa 和 bb 为正常数。 证明 a=1a = 1。 求 bb 的值。 求另一个驻点的坐标。 判断每个驻点的类型。 解方程 2cos⁡2x−3sec⁡x+2=02 \cos 2x - 3 \sec x + 2 = 0…
  53. 53证明恒等式 sin⁡2A+cos⁡A1−cos⁡2A+sin⁡A=cot⁡A\frac{\sin 2A + \cos A}{1 - \cos 2A + \sin A} = \cot A 由此，针对 −π≤x≤π-\pi \le x \le \pi，解方程 1−cos⁡4x+sin⁡2xsin⁡4x+cos⁡2x=5−2sec⁡22x\frac{1 - \cos 4x + \sin 2x}{\sin 4x + \cos 2x} = 5 - 2\sec^2 2x…
  54. 54图中显示了一个尺寸为 14 cm×8 cm14\text{ cm} \times 8\text{ cm} 的矩形块 PQRSPQRS 放置在倾斜角为锐角 θ∘\theta^\circ 的斜面 VSVS 上的侧视图。 斜面放置在水平面 STST 上，且 dd…
  55. 55将 sin⁡3x+cos⁡3x\sin^3 x + \cos^3 x 彻底因式分解。 证明 sin⁡3x+cos⁡3xsin⁡x+cos⁡x=1−12sin⁡2x\frac{\sin^3 x + \cos^3 x}{\sin x + \cos x} = 1 - \frac{1}{2}\sin 2x。 由此解方程 sin⁡3x+cos⁡3xsin⁡x+cos⁡x=54\frac{\sin^3 x + \cos^3 x}{\sin x + \cos x} = \frac{5}{4}…
  56. 56如图所示，OC=4 mOC = 4\text{ m}，OD=7 mOD = 7\text{ m} 且角 CBO=角 DOC=角 DAO=90∘CBO = \text{角 } DOC = \text{角 } DAO = 90^\circ。 已知角 COB=θCOB = \theta，其中 0∘≤θ≤90∘0^\circ \le \theta \le 90^\circ…
  57. 57一个质点沿直线运动，在经过定点 OO 后的 tt 秒时，它相对于 OO 的位移为 ss 米。质点的速度 v ms−1v\ \mathrm{ms}^{-1} 满足 v=6cos⁡4tv = 6\cos 4t。 写出质点的初速度。 求当质点的加速度等于 8 ms−28\ \mathrm{ms}^{-2}…
  58. 58已知在△ABC\triangle ABC中，2cos⁡Bsin⁡C=sin⁡A2\cos B\sin C=\sin A，则△ABC\triangle ABC一定为()() A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 正三角形
  59. 59质点 PP 沿直线运动，其速度 vv m/s 由 v=4sin⁡2(t2)−1v = 4\sin^2\left(\frac{t}{2}\right) - 1 给出，其中 tt 是通过固定点 O 后的时间（以秒为单位）。 求： PP 的初速度， 加速度首次达…
  60. 60函数 ff 定义为 f(x)=4cos⁡ax+bf(x) = 4 \cos ax + b，定义域为 0≤x≤π0 \le x \le \pi，其中 aa 和 bb 为常数。ff 的周期为 2π3\frac{2\pi}{3}，且该函数的最大值为 2。 写出 ff…