三角形 ABC 的面积为 7.5 cm^2。其中两边长分别为 5 cm 和 6 cm。求第三边的长度。 答案 ...cm

1. 利用三角形面积公式求出已知两边夹角的两个可能取值

设已知两边分别为 $a = 5\text{ cm}$，$b = 6\text{ cm}$，两边夹角为 $C$。
根据三角形面积公式：
$\text{面积} = \frac{1}{2}ab \sin C$
$\frac{1}{2} \times 5 \times 6 \times \sin C = 7.5$
$15\sin C = 7.5 \implies \sin C = 0.5$
因为 $0^\circ < C < 180^\circ$，所以夹角 $C$ 有两个可能的解：
$C = 30^\circ \quad \text{或} \quad C = 180^\circ - 30^\circ = 150^\circ$

2. 分别针对两种可能角运用余弦定理求解第三边的长度

设第三边长度为 $c$。由余弦定理：
$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C = 5^2 + 6^2 - 2(5)(6)\cos C = 61 - 60\cos C$

当 $C = 30^\circ$ 时：
$c^2 = 61 - 60\cos 30^\circ = 61 - 30\sqrt{3} \approx 9.0385$
$c = \sqrt{9.0385} \approx 3.01\text{ cm}$

当 $C = 150^\circ$ 时：
$c^2 = 61 - 60\cos 150^\circ = 61 + 30\sqrt{3} \approx 112.9615$
$c = \sqrt{112.9615} \approx 10.6\text{ cm}$