1. 利用正弦定理将已知边角关系式转化为纯角关系式
由正弦定理 sinAa=sinBb=sinCc=2R(其中 2R 为 △ABC 外接圆直径),可得:
a=2RsinA, b=2RsinB, c=2RsinC。
将其代入已知条件 bcosC+ccosB=asinA 中,得:
2RsinBcosC+2RsinCcosB=2RsinAsinA。
两边同除以 2R(其中 2R=0),整理得:
sinBcosC+sinCcosB=sin2A。
2. 利用三角恒等变换和三角形内角和关系简化等式
利用两角和的正弦公式,等式左边可化简为:
sin(B+C)=sin2A。
在 △ABC 中,有 A+B+C=π,从而 B+C=π−A。
根据三角函数的诱导公式,可得:
sin(B+C)=sin(π−A)=sinA。
将其代入上式,得:
sinA=sin2A。
3. 求解三角方程,确定角 A 的大小进而判断三角形形状
因为 A 是 △ABC 的内角,所以 0<A<π,从而 sinA>0。
在等式 sinA=sin2A 两边同除以 sinA,得:
sinA=1。
由于 0<A<π,故有 A=2π(即 90∘)。
因此,△ABC 为直角三角形。
结合选项,应选 B。