8.8.设△ABC\triangle ABC的内角AA,BB,CC所对的边分别为aa,bb,cc,若bcos⁡C+ccos⁡B=asin⁡Ab\cos C+c\cos B=a\sin A,则△ABC\triangle ABC的形状为()()
A. 锐角三角形
B. 直角三角形
C. 钝角三角形
D. 不确定

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完整解法

1. 利用正弦定理将已知边角关系式转化为纯角关系式

由正弦定理 asin⁡A=bsin⁡B=csin⁡C=2R\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R(其中 2R2R 为 △ABC\triangle ABC 外接圆直径),可得:
a=2Rsin⁡Aa = 2R\sin A, b=2Rsin⁡Bb = 2R\sin B, c=2Rsin⁡Cc = 2R\sin C。
将其代入已知条件 bcos⁡C+ccos⁡B=asin⁡Ab\cos C + c\cos B = a\sin A 中,得:
2Rsin⁡Bcos⁡C+2Rsin⁡Ccos⁡B=2Rsin⁡Asin⁡A2R\sin B\cos C + 2R\sin C\cos B = 2R\sin A\sin A。
两边同除以 2R2R(其中 2R≠02R \neq 0),整理得:
sin⁡Bcos⁡C+sin⁡Ccos⁡B=sin⁡2A\sin B\cos C + \sin C\cos B = \sin^2 A。

2. 利用三角恒等变换和三角形内角和关系简化等式

利用两角和的正弦公式,等式左边可化简为:
sin⁡(B+C)=sin⁡2A\sin(B+C) = \sin^2 A。
在 △ABC\triangle ABC 中,有 A+B+C=πA + B + C = \pi,从而 B+C=π−AB+C = \pi - A。
根据三角函数的诱导公式,可得:
sin⁡(B+C)=sin⁡(π−A)=sin⁡A\sin(B+C) = \sin(\pi - A) = \sin A。
将其代入上式,得:
sin⁡A=sin⁡2A\sin A = \sin^2 A。

3. 求解三角方程,确定角 A 的大小进而判断三角形形状

因为 AA 是 △ABC\triangle ABC 的内角,所以 0<A<π0 < A < \pi,从而 sin⁡A>0\sin A > 0。
在等式 sin⁡A=sin⁡2A\sin A = \sin^2 A 两边同除以 sin⁡A\sin A,得:
sin⁡A=1\sin A = 1。
由于 0<A<π0 < A < \pi,故有 A=π2A = \frac{\pi}{2}(即 90∘90^\circ)。
因此,△ABC\triangle ABC 为直角三角形。
结合选项,应选 B。

答案

B

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