在$\Delta ABC$中，$\angle B={{30}^{0}},AC=2\sqrt{5},D$是$AB$边上的一点，$CD=2$，若$\angle ACD$为锐角， $\Delta ACD$的面积为$4$，则$BC=$ ___．

1. 利用面积公式求出 $\sin \angle ACD$

由 $\Delta ACD$ 的面积为 $4$，可得 $S_{\Delta ACD} = \frac{1}{2} CD \cdot AC \cdot \sin \angle ACD = 4$．
代入 $CD = 2$ 和 $AC = 2\sqrt{5}$ 得：
$\frac{1}{2} \times 2 \times 2\sqrt{5} \cdot \sin \angle ACD = 4 \implies 2\sqrt{5} \sin \angle ACD = 4$
解得：
$\sin \angle ACD = \frac{2}{\sqrt{5}}$

2. 利用同角三角函数关系求出 $\cos \angle ACD$

因为 $\angle ACD$ 为锐角，所以 $\cos \angle ACD > 0$．
利用同角三角函数平方关系：
$\cos \angle ACD = \sqrt{1 - \sin^2 \angle ACD} = \sqrt{1 - \left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{4}{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}}$

3. 在 $\Delta ACD$ 中利用余弦定理求出 $AD$

由余弦定理得：
$AD^2 = CD^2 + AC^2 - 2 \cdot CD \cdot AC \cdot \cos \angle ACD$
代入已知数值：
$AD^2 = 2^2 + (2\sqrt{5})^2 - 2 \times 2 \times 2\sqrt{5} \times \frac{1}{\sqrt{5}} = 4 + 20 - 8 = 16$
因为 $AD > 0$，所以 $AD = 4$．

4. 在 $\Delta ACD$ 中利用正弦定理求出 $\sin A$

由正弦定理得：
$\frac{AD}{\sin \angle ACD} = \frac{CD}{\sin A}$
代入已知数值：
$\frac{4}{\frac{2}{\sqrt{5}}} = \frac{2}{\sin A} \implies 2\sqrt{5} = \frac{2}{\sin A}$
解得：
$\sin A = \frac{1}{\sqrt{5}}$

5. 在 $\Delta ABC$ 中利用正弦定理求出 $BC$

在 $\Delta ABC$ 中，由正弦定理得：
$\frac{BC}{\sin A} = \frac{AC}{\sin B}$
因为 $\angle B = 30^\circ$，所以 $\sin B = \frac{1}{2}$．
代入已知数值可得：
$BC = \frac{AC \cdot \sin A}{\sin B} = \frac{2\sqrt{5} \times \frac{1}{\sqrt{5}}}{\frac{1}{2}} = \frac{2}{\frac{1}{2}} = 4$