同角三角函数的基本关系式

单位圆与角的坐标表示

在前置学习中，我们引入了单位圆（半径 $r=1$ 的圆）来定义任意角的三角函数。

• 定义：对于任意角 $x$，其终边与单位圆交于点 $P(x_P, y_P)$，则：
  • 横坐标：$x_P = \cos x$
  • 纵坐标：$y_P = \sin x$

核心思考：同一角的正弦值与余弦值之间，存在着什么固定的代数关系？

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平方关系：$\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ 的推导

观察以原点 $O$、点 $P(\cos x, \sin x)$ 及 $P$ 在 $x$ 轴上的投影构成的直角三角形：

• 直角边长分别为：$|\cos x|$ 与 $|\sin x|$
• 斜边长为单位圆半径：$1$
• 由勾股定理：$|\cos x|^2 + |\sin x|^2 = 1^2$
• 整理可得：
  $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$

前提条件：必须是同一个角 $x$。例如 $\sin^2 \alpha + \cos^2 \beta = 1$ 通常不成立。

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公式变形与商数关系

除平方关系外，同角三角函数还有商数关系，且平方关系在解题中有多种变形方式：

1. 同角三角函数基本关系式：

   • 平方关系：$\sin^2 x + \cos^2 x = 1$
   • 商数关系：$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x} \quad \left(x \neq k\pi + \frac{\pi}{2}, k \in \mathbb{Z}\right)$

2. 常用代数变形：

   • 知一求一：$\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$ 或 $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$
   • “巧用 1”：在化简或求值时，常将 $1$ 逆向替换为 $\sin^2 x + \cos^2 x$ 进行升次或二次齐次化处理。

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例题精讲：已知三角函数值求其他值（上）

题目：已知 $\sin x = \frac{3}{5}$，且 $x$ 是第二象限角，求 $\cos x$ 和 $\tan x$ 的值。

分步解法（第一步：计算平方值）：
利用平方关系 $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$，代入已知条件：
$\left(\frac{3}{5}\right)^2 + \cos^2 x = 1 \implies \cos^2 x = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$

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例题精讲：符号判断与商数关系（下）

题目：已知 $\sin x = \frac{3}{5}$，且 $x$ 是第二象限角，求 $\cos x$ 和 $\tan x$ 的值。

分步解法（第二步：确定符号与计算切值）：

1. 因为 $x$ 是第二象限角，横坐标为负，所以 $\cos x < 0$：
   $\cos x = -\sqrt{\frac{16}{25}} = -\frac{4}{5}$
2. 由商数关系可得 $\tan x$：
   $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{\frac{3}{5}}{-\frac{4}{5}} = -\frac{3}{4}$

易错提醒：开平方求三角函数值时，必须先明确角所在的象限以确定正负号，切忌漏解或误判符号！