设$f(x)=2 \sqrt{3}\sin (π-x)\sin x-(\sin x-\cos x{)}^{2}$ ． $(I)$求$f(x)$得单调递增区间； $(II)$把$y=f(x)$的图象上所有点的横坐标伸长到原来的$2$倍$($纵坐标不变$)$，再把得到的图象向左平移$\dfrac{π}{3}$个单位，得到函数$y=g(x)$的图象，求$g( \dfrac{π}{6})$的值.

1. 利用三角恒等式化简函数 $f(x)$ 的解析式

首先，利用诱导公式 $\sin(\pi - x) = \sin x$，原式可化为：
$f(x) = 2\sqrt{3}\sin^2 x - (\sin x - \cos x)^2$
展开并利用同角三角函数关系及二倍角公式：
$(\sin x - \cos x)^2 = \sin^2 x + \cos^2 x - 2\sin x\cos x = 1 - \sin 2x$
由于 $2\sin^2 x = 1 - \cos 2x$，则 $2\sqrt{3}\sin^2 x = \sqrt{3}(1 - \cos 2x)$。
代入原解析式：
$f(x) = \sqrt{3}(1 - \cos 2x) - (1 - \sin 2x) = \sin 2x - \sqrt{3}\cos 2x + \sqrt{3} - 1$
利用辅助角公式化简得：
$f(x) = 2\sin\left(2x - \frac{\pi}{3}\right) + \sqrt{3} - 1$

2. 求函数 $f(x)$ 的单调递增区间

令 $2k\pi - \frac{\pi}{2} \leqslant 2x - \frac{\pi}{3} \leqslant 2k\pi + \frac{\pi}{2}, \quad k \in \mathbb{Z}$
解得：
$2k\pi - \frac{\pi}{6} \leqslant 2x \leqslant 2k\pi + \frac{5\pi}{6}$
$k\pi - \frac{\pi}{12} \leqslant x \leqslant k\pi + \frac{5\pi}{12}$
因此，函数 $f(x)$ 的单调递增区间为 $[k\pi - \frac{\pi}{12}, k\pi + \frac{5\pi}{12}]$ ($k \in \mathbb{Z}$)。

1. 利用图象变换规律求函数 $g(x)$ 的解析式

由第 (I) 问可知，$f(x) = 2\sin\left(2x - \frac{\pi}{3}\right) + \sqrt{3} - 1$。
将 $y = f(x)$ 图象上所有点的横坐标伸长到原来的 $2$ 倍（纵坐标不变），得到：
$y = 2\sin\left(x - \frac{\pi}{3}\right) + \sqrt{3} - 1$
再向左平移 $\frac{\pi}{3}$ 个单位长度，得到：
$y = g(x) = 2\sin\left(x + \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{3}\right) + \sqrt{3} - 1 = 2\sin x + \sqrt{3} - 1$

2. 求 $g\left(\frac{\pi}{6}\right)$ 的值

将 $x = \frac{\pi}{6}$ 代入 $g(x)$ 的解析式：
$g\left(\frac{\pi}{6}\right) = 2\sin\frac{\pi}{6} + \sqrt{3} - 1$
因为 $\sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$，所以：
$g\left(\frac{\pi}{6}\right) = 2 \times \frac{1}{2} + \sqrt{3} - 1 = \sqrt{3}$