已知sin⁡(α+π12)=55\sin (α+ \dfrac {π}{12} )= \dfrac { \sqrt {5}}{5},则sin⁡(π3−2α)=(    )\sin ( \dfrac {π}{3} -2α)= (\:\:\:\:)
A. 45 \dfrac {4}{5}
B. 35 \dfrac {3}{5}
C. −35- \dfrac {3}{5}
D. −45- \dfrac {4}{5}

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完整解法

1. 分析已知角与所求角之间的数量关系

令 θ=α+π12\theta = \alpha + \dfrac{\pi}{12},则 2θ=2α+π62\theta = 2\alpha + \dfrac{\pi}{6}。
由此可得:
π3−2α=π2−(2α+π6)=π2−2θ\dfrac{\pi}{3} - 2\alpha = \dfrac{\pi}{2} - \left(2\alpha + \dfrac{\pi}{6}\right) = \dfrac{\pi}{2} - 2\theta

2. 利用诱导公式转化所求的三角函数式

利用诱导公式 sin⁡(π2−x)=cos⁡x\sin\left(\dfrac{\pi}{2} - x\right) = \cos x 得到:
sin⁡(π3−2α)=sin⁡(π2−2θ)=cos⁡2θ\sin\left(\dfrac{\pi}{3} - 2\alpha\right) = \sin\left(\dfrac{\pi}{2} - 2\theta\right) = \cos 2\theta

3. 利用二倍角公式求出最终结果

利用余弦的二倍角公式 cos⁡2θ=1−2sin⁡2θ\cos 2\theta = 1 - 2\sin^2 \theta 展开:
cos⁡2θ=1−2sin⁡2(α+π12)\cos 2\theta = 1 - 2\sin^2\left(\alpha + \dfrac{\pi}{12}\right)
将 sin⁡(α+π12)=55\sin\left(\alpha + \dfrac{\pi}{12}\right) = \dfrac{\sqrt{5}}{5} 代入式中:
cos⁡2θ=1−2×(55)2=1−2×15=35\cos 2\theta = 1 - 2 \times \left(\dfrac{\sqrt{5}}{5}\right)^2 = 1 - 2 \times \dfrac{1}{5} = \dfrac{3}{5}
因此,sin⁡(π3−2α)=35\sin\left(\dfrac{\pi}{3} - 2\alpha\right) = \dfrac{3}{5}。
故选 B。

答案

B

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