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三角恒等式

以下内容的应用：

  • sin⁡Acos⁡A=tan⁡A\dfrac{\sin A}{\cos A} = \tan A、cos⁡Asin⁡A=cot⁡A\dfrac{\cos A}{\sin A} = \cot A、sin⁡2A+cos⁡2A=1\sin^{2}A + \cos^{2}A = 1、sec⁡2A=1+tan⁡2A\sec^{2}A = 1 + \tan^{2}A、cosec⁡2A=1+cot⁡2A\operatorname{cosec}^{2}A = 1 + \cot^{2}A
  • sin⁡(A±B)\sin(A \pm B)、cos⁡(A±B)\cos(A \pm B) 和 tan⁡(A±B)\tan(A \pm B) 的展开式
  • sin⁡2A\sin 2A、cos⁡2A\cos 2A 和 tan⁡2A\tan 2A 的公式
  • 将 acos⁡θ+bsin⁡θa\cos\theta + b\sin\theta 表示为 Rcos⁡(θ±α)R\cos(\theta \pm \alpha) 或 Rsin⁡(θ±α)R\sin(\theta \pm \alpha) 的形式

这个知识点的练习题

  1. 1解方程 2cot⁡22x=1−5sin⁡2x2 \cot^2 2x = 1 - \frac{5}{\sin 2x}，其中 −180∘≤x≤180∘-180^\circ \le x \le 180^\circ。
  2. 2已知sin⁡(α+π12)=55\sin (α+ \dfrac {π}{12} )= \dfrac { \sqrt {5}}{5}，则sin⁡(π3−2α)=(    )\sin ( \dfrac {π}{3} -2α)= (\:\:\:\:) A. 45 \dfrac {4}{5}…
  3. 38.8.设△ABC\triangle ABC的内角AA，BB，CC所对的边分别为aa，bb，cc，若bcos⁡C+ccos⁡B=asin⁡Ab\cos C+c\cos B=a\sin A，则△ABC\triangle ABC的形状为…
  4. 4证明 sin⁡3xsec⁡2x+sin⁡x=tan⁡xsec⁡x\sin^{3} x\sec^{2} x + \sin x = \tan x\sec x。 解方程 sin⁡3xsec⁡2x+sin⁡x=5\sin^{3} x\sec^{2} x + \sin x = 5，其中 0≤x≤360∘0 \le x \le 360^\circ。
  5. 5已知 cos⁡x=−45\cos x = -\frac{4}{5} 且 tan⁡x>0\tan x > 0，求 sin⁡2x\sin 2x， cos⁡x2\cos \frac{x}{2}。
  6. 6计算：cot44°•cot45°•cot46°= ．
  7. 7函数f(x)=sin⁡x−cos⁡xf(x)=\sin x-\cos x，则函数f(x)f(x)的最大值为()(\quad) A. 22 B. 2\sqrt{{2}} C. 00 D. −2-2
  8. 8曲线的方程由 y=x+sin⁡2xy = x + \sin^2 x 给出，其中 0≤x≤π0 \le x \le \pi。 写出 dydx\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} 的表达式。 求该曲线的驻点。 确定该驻点的性质。
  9. 9已知 sin⁡A=−35\sin A = -\frac{3}{5} 且 cos⁡B=−817\cos B = -\frac{8}{17}，其中角 AA 和角 BB 在同一象限，求下列各项的精确值： tan⁡(A+B)\tan(A + B) cos⁡B2\cos \frac{B}{2}
  10. 10利用 Rcos⁡(θ−α)R \cos(\theta - \alpha)（其中 R>0R > 0 且 0∘≤α≤90∘0^\circ \le \alpha \le 90^\circ），求解方程 5cos⁡θ+8sin⁡θ=65 \cos \theta + 8 \sin \theta = 6…
  11. 11选修4−44-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOyxOy中，曲线C1C_{1}的参数方程为{x=3cos⁡α,y=sin⁡α(α\begin{cases}x= \sqrt{3}\cos α, \\ y=\sin α\end{cases}(α为参数).).…
  12. 12本题中不得使用计算器。 将 sin⁡22.5∘\sin 22.5^\circ 表示为 a−aa\frac{\sqrt{a - \sqrt{a}}}{a} 的形式，其中 aa 是一个整数。 证明 tan⁡15∘=2−3\tan 15^\circ = 2 - \sqrt{3}…
  13. 13在不使用计算器的情况下，证明 sin⁡75∘=2+64\sin 75^\circ = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}。
  14. 14已知函数 f(x)=1+2sin⁡23x+4cos⁡23x\text{f}(x) = 1 + 2\sin^2 3x + 4\cos^2 3x。 将 f(x)\text{f}(x) 表示为 a+bcos⁡6xa + b\cos 6x 的形式。 由此，求满足 f(x)=3.5\text{f}(x) = 3.5 的 xx…
  15. 15图示两条弦 AB 和 CD 相交于 X，使得角 CXB = 90∘90^\circ。已知 AC=5 cmAC = 5\ \text{cm}，BD=12 cmBD = 12\ \text{cm}，且角 BDC=θBDC = \theta。 证明 AB=5cos⁡θ+12sin⁡θAB = 5\cos\theta + 12\sin\theta…
  16. 16若tan⁡α=2\tan α=2，tan⁡(β−α)=3\tan (β-α)=3，则tan⁡(β−2α)\tan (β-2α)的值为()() A. 17 \dfrac {1}{7} B. −17- \dfrac {1}{7} C. 19 \dfrac {1}{9}…
  17. 17该图显示了两个三角形 DAB 和 DBC。已知 BD = 5 米且 BC = 2 米。角 DAB = 角 DBC = 角 DEC = 90∘90^{\circ}。角 ADB = θ\theta，且 θ\theta 是可以变化的。 证明 DEDE…
  18. 18已知 sin⁡(A−B)sin⁡(A+B)=23\dfrac{\sin(A-B)}{\sin(A+B)} = \dfrac{2}{3}，证明 tan⁡A=5tan⁡B\tan A = 5\tan B。 由此或用其他方法，解方程 3sin⁡(A−45∘)=2sin⁡(A+45∘)3\sin(A-45^\circ)=2\sin(A+45^\circ)…
  19. 19已知sin⁡(α−π6)=13\sin(α-\dfrac{π}{6})=\dfrac{1}{3}，则cos⁡(π3−2α)=()\cos(\dfrac{π}{3}-2α)=(\quad) A. −79-\dfrac{7}{9} B. −23-\dfrac{2}{3} C.…
  20. 20已知αα是△ABC\triangle ABC的一个内角，tan⁡α=34\tan α= \dfrac {3}{4}，则cos⁡(α+π4)\cos (α+ \dfrac {π}{4} )等于(    )(\:\:\:\:) A. 7210 \dfrac {7 \sqrt {2}}{10}…
  21. 21下图显示了一个圆，其弦 PQPQ 和 RSRS 相交于点 XX。P,Q,RP, Q, R 和 SS 是圆上的点。已知 PQ=7 cmPQ = 7\text{ cm}，RS=24 cmRS = 24\text{ cm}，角 PXQ=90∘PXQ = 90^\circ，且角 PRS=θPRS = \theta…
  22. 22解联立方程组 y=x2−6,y=2x−3.\begin{aligned} y &= x^2 - 6, \\ y &= 2x - 3. \end{aligned} 证明 3cos⁡θ+cos⁡2θ−1cos⁡2θ+2cos⁡θ=2−sec⁡θ\frac{3 \cos \theta + \cos 2\theta - 1}{\cos^2 \theta + 2 \cos \theta} = 2 - \sec \theta…
  23. 23已知0<α<π2<β<π0 < α < \dfrac{π}{2} < β < π ，a→=(cos⁡α,3)b→=(−4,sin⁡α)\overset{→}{a}=(\cos α,3) \overset{→}{b}=(-4,\sin α)，且a→⊥b→\overset{→}{a}⊥ \overset{→}{b}…
  24. 24证明 ddx(tan⁡32x)=6sec⁡42x−6sec⁡22x\frac{d}{dx}(\tan^{3} 2x) = 6\sec^{4} 2x - 6\sec^{2} 2x。 由此求 ∫0π/8sec⁡42x dx\displaystyle \int_{0}^{\pi/8} \sec^{4} 2x\, dx 的精确值…
  25. 25已知曲线方程为 y=e−2xtan⁡xy = e^{-2x}\tan x。 证明 dydx=e−2x(1−tan⁡x)2\dfrac{dy}{dx} = e^{-2x}(1 - \tan x)^2。 用含 π\pi 的式子表示当 0<x<π20 < x < \dfrac{\pi}{2} 时驻点的…
  26. 26已知函数f(x)=sin⁡ωx+3cos⁡ωxf(x)=\sin ωx+ \sqrt {3}\cos ωx的最小正周期为ππ，x∈Rx∈R，ω>0ω > 0是常数． (1)求ωω的值； (2)若f(θ2+π12)=65f( \dfrac {θ}{2}+ \dfrac {π}{12})= \dfrac {6}{5}…
  27. 27证明 3cos⁡2x+sin⁡2x=2+cos⁡2x3\cos^2 x + \sin^2 x = 2 + \cos 2x。 因此，利用 (a) 部分的结果， 因此，利用 (a) 部分的结果， 求 3cos⁡222.5∘+sin⁡222.5∘3\cos^2 22.5^\circ + \sin^2 22.5^\circ 的精…
  28. 28已知不等式a+3b⩽∣x2−1∣a+ \sqrt{3}b\leqslant \left|{x}^{2}-1\right| 对于满足条件a2+b2=1{a}^{2}+{b}^{2}=1 的任意实数aa，bb恒成立，实数xx的取值范围是 ．
  29. 29图中显示了一个梯形 ABCDABCD。点 XX 在直线 ABAB 上，满足 DX=12 cmDX = 12\text{ cm} 且 CX=9 cmCX = 9\text{ cm}。∠ADX=θ∘\angle ADX = \theta^\circ 且 ∠DAX=∠DXC=∠XBC=90∘\angle DAX = \angle DXC = \angle XBC = 90^\circ…
  30. 30已知锐角αα，ββ满足：cos⁡α=13\cos α= \dfrac {1}{3}，cos⁡(α+β)=−13\cos (α+β)=- \dfrac {1}{3}，则cos⁡(α−β)=()\cos (α-β)=() A. −12- \dfrac {1}{2} B.…
  31. 31已知αα是第二象限的角，且sin⁡(π+α)=−35\sin (π+α)=- \dfrac {3}{5}，则tan⁡2α\tan 2α的值为 ___ ．
  32. 32证明恒等式 cos⁡xcosec x−1+cos⁡xcosec x+1=2tan⁡x\frac{\cos x}{\text{cosec } x - 1} + \frac{\cos x}{\text{cosec } x + 1} = 2 \tan x。 解方程 tan⁡x+2sec⁡2x=5\tan x + 2\sec^2 x = 5…
  33. 33下图显示了两条水平直线 ABAB 和 CDCD，其中 LL 是直线 ABAB 和 CDCD 之间的垂直距离。 矩形 PQRSPQRS 分别在 PP 和 RR 处接触直线 ABAB 和 CDCD。 已知 PQ=6 cmPQ = 6\text{ cm}…
  34. 34在平面直角坐标系中，曲线C1C_{1}的参数方程为{x=−1+5cos⁡αy=−2+5sin⁡α(α\begin{cases}x=-1+\sqrt{5}\cos α\\ y=-2+\sqrt{5}\sin α\end{cases}(α为参数).).以坐标原点OO为极点…
  35. 35下图展示了一个等腰三角形 ABCABC（其中 AB=AC=2 cmAB = AC = 2\text{ cm}）和一个正方形 BCDEBCDE。MM 是 BCBC 的中点。角 BAM=θBAM = \theta 且可以变化。 证明 ABEDC 的总面积为 16sin⁡2θ+4sin⁡θcos⁡θ cm216\sin^{2}\theta + 4\sin\theta\cos\theta\ \text{cm}^{2}…
  36. 36证明 csc⁡2x+cot⁡2x=cot⁡x\csc 2x + \cot 2x = \cot x。 由此推导 cot⁡15∘\cot 15^\circ 的根式形式的值。 利用第 (i) 部分，求解 0∘≤x≤360∘0^\circ \le x \le 360^\circ 范围内的方程 csc⁡2x+cot⁡2x=6−5tan⁡x\csc 2x + \cot 2x = 6 - 5\tan x…
  37. 37证明三角恒等式：csc⁡2A+2cot⁡A(cos⁡A+sin⁡A)2=csc⁡2A\dfrac{\csc^{2}A + 2\cot A}{(\cos A + \sin A)^{2}} = \csc^{2}A 由此求解方程：csc⁡2A+2cot⁡A=4(cos⁡A+sin⁡A)2对于   0≤x≤360∘.\csc^{2}A + 2\cot A = 4(\cos A + \sin A)^{2} \quad\text{对于 }\; 0 \le x \le 360^{\circ}.…
  38. 38在不使用计算器的情况下，化简下列三角函数。 sin⁡(x+4π3)\sin \left(x + \frac{4\pi}{3}\right) cos⁡75∘\cos 75^\circ tan⁡(θ−45∘)\tan(\theta - 45^\circ)
  39. 39计算 ∫0π3(12sin⁡3x−cos⁡2x)dx\int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \left( \frac{1}{2} \sin 3x - \cos^2 x \right) dx，结果精确到两位小数。
  40. 40已知函数 f(x)\mathrm{f}(x) 满足 f′(x)=3sin⁡xcos⁡x\mathrm{f}'(x) = 3 \sin x \cos x，且 (π2,1)\left(\frac{\pi}{2}, 1\right) 是 f(x)\mathrm{f}(x) 图像上的一点。求…
  41. 41图中显示了曲线 y=4x+5y = \sqrt{4x + 5} 的一部分。曲线在 PP 点处的法线与 xx 轴交于 TT。PP 的 xx 坐标为 5。已知 PTPT 是 PQPQ 的两倍，且 RQRQ 平行于 xx 轴， 求 PP 点…
  42. 42如图所示，一个尺寸为 14 cm ×\times 8 cm 的矩形木块 ABCEABCE 放置在斜面 VEVE 上。斜面的倾角为锐角 θ∘\theta^\circ，且 ∠VTE=90∘\angle VTE = 90^\circ。该斜面放置在水平面 ETET…
  43. 43曲线的方程为 x2+4y2=20x^2 + 4y^2 = 20，直线的方程为 y=k−xy = k - x，其中 kk 是常数。 求 kk 的取值范围，使得直线与曲线不相交。 证明 AC+BC+DE=(60sin⁡θ+25cos⁡θ) cmAC + BC + DE = (60 \sin \theta + 25 \cos \theta)\text{ cm}…
  44. 44证明恒等式 cos⁡2x−sin⁡2x1+2sin⁡xcos⁡x=1−tan⁡x1+tan⁡x\dfrac{\cos^{2} x - \sin^{2} x}{1 + 2\sin x\cos x} = \dfrac{1 - \tan x}{1 + \tan x}。 解方程 cos⁡2x−sin⁡2x1+2sin⁡xcos⁡x=23tan⁡x\dfrac{\cos^{2} x - \sin^{2} x}{1 + 2\sin x\cos x} = \dfrac{2}{3}\tan x…
  45. 45已知函数f(x)=2sin⁡ωxcos⁡ωx+23sin⁡2ωx−3(ω>0)f(x)=2\sin ωx\cos ωx+2 \sqrt {3}\sin ^{2}ωx- \sqrt {3}(ω > 0)的最小正周期为ππ． (1)求ωω的值及函数f(x)f(x)的单调减区间； (2)将函数f(x)f(x)…
  46. 46一个质点沿直线运动，在离开固定点 OO 后 tt 秒时，其速度 v m s−1v\text{ m s}^{-1} 由 v=t2−2kt−6kv = t^2 - 2kt - 6k 给出，其中 kk 为常数。 质点的最小速度发生在 t=2t = 2 时。 证明 k=2k = 2…
  47. 47在图中，BE 与 AD 交于 F。AF = 7 cm 且 FD = 4 cm。∠ABF\angle ABF、∠ACD\angle ACD 和 ∠DEF\angle DEF 是直角。BCDF 是一个梯形，θ\theta 是一个锐角。 证明 BCDF 的…
  48. 48图中显示了一对相似三角形 YUXYUX 和 VUWVUW。点 YY 在直线 VUVU 上，使得 VY=12 cmVY = 12\text{ cm} 且 YU=20 cmYU = 20\text{ cm}。角 UVW=θUVW = \theta，其中 0∘≤θ≤90∘0^\circ \le \theta \le 90^\circ…
  49. 4912 对 0<x<2π0 < x < 2\pi，解方程 0.5sin⁡2x=3sin⁡x0.5\sin 2x = 3\sin x。 对介于 0∘0^\circ 和 180∘180^\circ 之间的 θ\theta 值，解方程 csc⁡(θ2−40∘)+5=0.\csc\left(\frac{\theta}{2}-40^\circ\right)+5=0.…
  50. 50证明 ddx(cot⁡x)=−csc⁡2x\dfrac{d}{dx}(\cot x) = -\csc^{2} x。 由此求 ∫π/4π/2−cot⁡2x dx\displaystyle \int_{\pi/4}^{\pi/2} -\cot^{2} x\, dx 的值。
  51. 51如图所示，该区域由位于 ABAB、BCBC 和 ADAD 处的玻璃板围成。AB=10 mAB = 10\text{ m}，AD=30 mAD = 30\text{ m}，角 DAB=angle BCD=90∘DAB = \text{angle } BCD = 90^\circ。玻璃板 ADAD…
  52. 52如图所示为一个尺寸为 14 cm ×\times 8 cm 的矩形块 PQRSPQRS 的侧视图，它放置在一个倾角为 θ∘\theta^\circ 的锐角斜面 VSVS 上。 斜面放置在水平面 STST 上，dd 是点 QQ 到 STST…
  53. 53已知△ABC\triangle ABC的内角AA，BB，CC的对边分别为aa，bb，cc，满足bcos⁡A+acos⁡B=2ccos⁡Bb\cos A+a\cos B=2c\cos B，b=23b=2\sqrt{3}，则△ABC\triangle ABC…
  54. 54已知θ∈(π2,  π)θ∈( \dfrac {π}{2},\;π)，且sin⁡θ=35\sin θ= \dfrac {3}{5}． ((Ⅰ)tan⁡θ=)\tan θ= ___ ； ((Ⅱ))求cos⁡(θ+π3)\cos (θ+ \dfrac {π}{3})…
  55. 55证明 cos⁡(A+B)cos⁡(A−B)=cos⁡2A+cos⁡2B−1\cos(A + B) \cos(A - B) = \cos^2 A + \cos^2 B - 1。 由此，求 cos⁡15∘cos⁡75∘\cos 15^\circ \cos 75^\circ 的值（不使用计算器）。
  56. 56设△ABC\vartriangle ABC的内角AA、BB、CC所对的边分别为aa，bb，cc，若asin⁡A=bcos⁡C+ccos⁡Ba\sin A=b\cos C+c\cos B，则△ABC\vartriangle ABC的形状为…
  57. 57已知 sin⁡A=−45\sin A = -\frac{4}{5}，tan⁡B=−512\tan B = -\frac{5}{12} 且 cos⁡A>0\cos A > 0，其中 AA 和 BB 处于不同的象限，在不使用计算器的情况下，求下列各式的值： cot⁡A\cot A， cos⁡(A+B)\cos(A + B)…
  58. 58在不使用计算器的情况下，证明 cot⁡15∘=2+3\cot 15^\circ = 2 + \sqrt{3}。 由此证明 csc⁡215∘=4cot⁡15∘\csc^2 15^\circ = 4 \cot 15^\circ。
  59. 59表达式 8sin⁡θ−3cos⁡θ8 \sin \theta - 3 \cos \theta 的定义域为 0∘≤θ≤180∘0^\circ \le \theta \le 180^\circ。 通过使用 Rsin⁡(θ−α)R \sin(\theta - \alpha)（其中 R>0R > 0…
  60. 60下列叙述正确的是 ()(\quad) A. y=tan⁡xy=\tan x的定义域是R              R\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: B. y=xy=\sqrt{x}的值域为RR C. y=1xy=\dfrac{1}{x}…