已知αα是第二象限的角，且sin⁡(π+α)=−35\sin (π+α)=- \dfrac {3}{5}，则tan⁡2α\tan 2α的值为 ___ ．

三角恒等式三角函数概念和性质同角三角函数的基本关系式
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完整解法

1. 利用诱导公式化简并求出 $\sin \alpha$ 的值

由 sin⁡(π+α)=−sin⁡α\sin (\pi+\alpha) = -\sin \alpha，且已知 sin⁡(π+α)=−35\sin (\pi+\alpha) = -\dfrac{3}{5}，
得：−sin⁡α=−35-\sin \alpha = -\dfrac{3}{5}，
即 sin⁡α=35\sin \alpha = \dfrac{3}{5}。

2. 结合角 $\alpha$ 的象限求出 $\cos \alpha$ 与 $\tan \alpha$ 的值

因为 α\alpha 是第二象限的角，所以 cos⁡α<0\cos \alpha < 0。
根据同角三角函数平方关系：
cos⁡α=−1−sin⁡2α=−1−(35)2=−45\cos \alpha = -\sqrt{1 - \sin^2 \alpha} = -\sqrt{1 - \left(\dfrac{3}{5}\right)^2} = -\dfrac{4}{5}。
进而求得：
tan⁡α=sin⁡αcos⁡α=35−45=−34\tan \alpha = \dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \dfrac{\frac{3}{5}}{-\frac{4}{5}} = -\dfrac{3}{4}。

3. 使用二倍角公式计算 $\tan 2\alpha$ 的值

根据二倍角正切公式：
tan⁡2α=2tan⁡α1−tan⁡2α\tan 2\alpha = \frac{2\tan \alpha}{1-\tan^{2}\alpha}
将 tan⁡α=−34\tan \alpha = -\dfrac{3}{4} 代入上式得：

ight)^2} = \frac{-\dfrac{3}{2}}{1 - \dfrac{9}{16}} = \frac{-\dfrac{3}{2}}{\dfrac{7}{16}} = -\frac{24}{7}$$ 所以 $\tan 2\alpha$ 的值为 $-\dfrac{24}{7}$。
答案

-\frac{24}{7}

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