函数$f(x)=\sin x-\cos x$，则函数$f(x)$的最大值为$(\quad)$

A. $2$

B. $\sqrt{{2}}$

C. $0$

D. $-2$

1. 利用辅助角公式化简函数解析式

利用辅助角公式 $a\sin x + b\cos x = \sqrt{a^2+b^2}\sin(x+\phi)$，对 $f(x)$ 进行化简：

ight) = \sqrt{2} \sin\left(x - rac{\pi}{4} ight)$$

2. 根据正弦函数的有界性求出函数的最大值

因为对于任意实数 $x$，正弦函数的值域为 $[-1, 1]$，即：

ight) \leqslant 1$$ 所以当 $\sin\left(x - rac{\pi}{4} ight) = 1$ 时，$f(x)$ 取得最大值： $$f(x)_{ ext{max}} = \sqrt{2} imes 1 = \sqrt{2}$$ 故正确选项为 B。