数学知识点English

振幅与周期性

正弦和余弦函数的振幅、周期性与对称性

这个知识点的练习题

1函数 $f(x)=\sin x-\cos x$ ，则函数 $f(x)$ 的最大值为 $(\quad)$ A. $2$ B. $\sqrt{{2}}$ C. $0$ D. $-2$
2利用 $R \cos(\theta - \alpha)$ （其中 $R > 0$ 且 $0^\circ \le \alpha \le 90^\circ$ ），求解方程 $5 \cos \theta + 8 \sin \theta = 6$ …
3写出 $\tan^{-1} x$ 的主值范围。下方显示了在 $0 \le x \le \tfrac{3\pi}{2}$ 弧度范围内的曲线 $y = a + b \cos c x$ 。该曲线的极大值点为 $\left(\tfrac{\pi}{2},7\right)$ …
4下图展示了一段允许光波通过的塑料光纤电缆。光波的路径可以用三角函数建模。已知电缆的直径为 4 毫米。求光波的振幅。此外，已知该光波的周期为 500 纳米。求图中所示电缆部分的长度。以下哪一个可以作为该光波的合适模型？ $y = 2 sin(\pi x)$ …
5图中展示了一个叶片长度为 $25\text{ m}$ 的风力发电机。风力发电机的中心距离地面 $35\text{ m}$ 。在离开 $X$ 点 $t$ 秒后，特定叶片尖端距离地面的高度 $h\text{ m}$ 可建模为 $h = a \cos bt + c$ …
6图示两条弦 AB 和 CD 相交于 X，使得角 CXB = $90^\circ$ 。已知 $AC = 5\ \text{cm}$ ， $BD = 12\ \text{cm}$ ，且角 $BDC = \theta$ 。证明 $AB = 5\cos\theta + 12\sin\theta$ …
7图中显示了对于 $0 \le x \le \tfrac{3\pi}{2}$ 弧度，曲线 $y = a\cos bx + c$ 的图像。图中指出了一个极小值点 $(\tfrac{\pi}{2}, -2)$ 和一个极大值点 $(\tfrac{5\pi}{4}, 4)$ …
8一只时钟安装在建筑物屋顶的垂直墙壁上。从时钟中心 $O$ 到分针尖端 $M$ 的距离为 15 米。 $M$ 距离屋顶的高度 $h$ （米）由 $h = a \cos kt + b$ 给出，其中 $t$ 是超过整点的分钟数。 $O$ 距离屋顶…
9已知函数 $f(x)=\sin ωx+ \sqrt {3}\cos ωx$ 的最小正周期为 $π$ ， $x∈R$ ， $ω > 0$ 是常数． (1)求 $ω$ 的值； (2)若 $f( \dfrac {θ}{2}+ \dfrac {π}{12})= \dfrac {6}{5}$ …
10一个质点在直线上运动，其速度 $v\text{ m/s}$ 由 $v = 9\sin\left(\frac{t}{2}\right)$ 给出，其中 $t$ 是通过固定点 $O$ 之后的秒数。求质点在离开 $O$ 后首次瞬时静止时的 $t$ …
11下图显示了两条水平直线 $AB$ 和 $CD$ ，其中 $L$ 是直线 $AB$ 和 $CD$ 之间的垂直距离。矩形 $PQRS$ 分别在 $P$ 和 $R$ 处接触直线 $AB$ 和 $CD$ 。已知 $PQ = 6\text{ cm}$ …
12如图所示，一个尺寸为 14 cm $\times$ 8 cm 的矩形木块 $ABCE$ 放置在斜面 $VE$ 上。斜面的倾角为锐角 $\theta^\circ$ ，且 $\angle VTE = 90^\circ$ 。该斜面放置在水平面 $ET$ …
13函数 f 的定义为 $f(x)=1+2\cos 2x$ ，其中 $0\le x\le\pi$ 。写出 $f(x)$ 的振幅和周期。写出 $f(x)$ 的最小值和最大值。草拟 $y=f(x)$ 在 $0\le x\le\pi$ 范围内的图像…
14曲线的方程为 $x^2 + 4y^2 = 20$ ，直线的方程为 $y = k - x$ ，其中 $k$ 是常数。求 $k$ 的取值范围，使得直线与曲线不相交。证明 $AC + BC + DE = (60 \sin \theta + 25 \cos \theta)\text{ cm}$ …
15在图中，BE 与 AD 交于 F。AF = 7 cm 且 FD = 4 cm。 $\angle ABF$ 、 $\angle ACD$ 和 $\angle DEF$ 是直角。BCDF 是一个梯形， $\theta$ 是一个锐角。证明 BCDF 的…
16图中显示了一对相似三角形 $YUX$ 和 $VUW$ 。点 $Y$ 在直线 $VU$ 上，使得 $VY = 12\text{ cm}$ 且 $YU = 20\text{ cm}$ 。角 $UVW = \theta$ ，其中 $0^\circ \le \theta \le 90^\circ$ …
1712 对 $0 < x < 2\pi$ ，解方程 $0.5\sin 2x = 3\sin x$ 。对介于 $0^\circ$ 和 $180^\circ$ 之间的 $\theta$ 值，解方程 $\csc\left(\frac{\theta}{2}-40^\circ\right)+5=0.$ …
18图中显示了在 $0 \le x \le 8\pi$ 弧度内的曲线 $y = p \sin \frac{x}{q} + r$ 。该曲线在 $(2\pi, -3)$ 处有一个极小值点，在 $(6\pi, 1)$ 处有一个极大值点。证明 $r = -1$ …
19如图所示，该区域由位于 $AB$ 、 $BC$ 和 $AD$ 处的玻璃板围成。 $AB = 10\text{ m}$ ， $AD = 30\text{ m}$ ，角 $DAB = \text{angle } BCD = 90^\circ$ 。玻璃板 $AD$ …
20该图显示了曲线 $y = 2 \sin 2x + 1$ 的一部分。 $P$ 是该曲线的最高点，而 $Q$ 是曲线上切线斜率为 $-4$ 的点。求 $P$ 和 $Q$ 的坐标。求由曲线、坐标轴、直线 $PQ$ 和垂直线 $QR$ 围成的阴影…
21函数 $f$ 对于 $x \ge 0^\circ$ 定义为 $f(x) = 3\cos\left(\frac{2x}{3}\right) - 1$ 。写出 $f(x)$ 的最大值和最小值。写出 $f(x)$ 的振幅。写出 $f(x)$ …
22表达式 $8 \sin \theta - 3 \cos \theta$ 的定义域为 $0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ 。通过使用 $R \sin(\theta - \alpha)$ （其中 $R > 0$ …
23某天午夜后 $t$ 小时，港口的水位高度可以通过公式 $h = 4.8 \sin k\pi t + 5.1$ 来建模，其中 $0 \le t \le 24$ 。给出潮汐的最大和最小水位。潮汐周期从高潮开始，到下一次高潮结束。已知 24 小…
24如图所示为一块梯形纸板，其中 $\angle BAD$ 和 $\angle ABC$ 均为直角。 $CD = 20\text{ cm}$ ， $BC = 8\text{ cm}$ 且 $\angle ADC = \theta$ 弧度。证明周长…
25图中显示了 $y = a\tan(bx + c)$ 函数图像的一部分。该图像在 $x = -4\pi$ 和 $x = 4\pi$ 处有垂直渐近线，并穿过点 P 和 Q。解释为什么 $b = \tfrac{1}{8}$ 。由此求该曲线的方程…
26已知曲线方程为 $y = 3 - 4\sin 2x$ 。写出 $y$ 的最小值和最大值。画出区间 $0 \le x \le 2\pi$ 内曲线 $y = 3 - 4\sin 2x$ 的草图。
27如图所示， $OC = 4\text{ m}$ ， $OD = 7\text{ m}$ 且角 $CBO = \text{角 } DOC = \text{角 } DAO = 90^\circ$ 。已知角 $COB = \theta$ ，其中 $0^\circ \le \theta \le 90^\circ$ …
28曲线的方程为 $y = 4 - 3\cos 2x$ 。写出 $y$ 的周期和振幅。画出 $y = 4 - 3\cos 2x$ 在区间 $0 \le x \le 2\pi$ 上的函数图像。
29函数 $f$ 定义为 $f(x) = 4 \cos ax + b$ ，定义域为 $0 \le x \le \pi$ ，其中 $a$ 和 $b$ 为常数。 $f$ 的周期为 $\frac{2\pi}{3}$ ，且该函数的最大值为 2。写出 $f$ …
30设向量 $\overrightarrow{a}=\left( \cos \left( 2x-\dfrac{\pi }{3} \right),2 \right),\overrightarrow{b}=\left( 1,{{\cos }^{2}}x \right)$ …
31函数 $y = 5 \sin 3x + c$ 的图像经过点 $(50^\circ, \frac{1}{2})$ ，其中 $c$ 为常数。证明 $c = -2$ 。由此，画出 $0^\circ \le x \le 180^\circ$ 范围内…
32一座半径为 15 m 的摩天轮每 3 分钟旋转一周。乘客在摩天轮的最低点上车，该点距离地面 1 m。假设乘客在上车点登车后摩天轮开始旋转。乘客登车 $t$ 分钟后距离地面的高度 $h$ m 可以用如下方程表示： $h = - a \cos b t + c.$ …
33下图显示了仓库 $ABCD$ 的侧视图，其中 $BC = 10\text{ m}$ ， $CD = 6\text{ m}$ ， $\angle BCD = \angle BAD = 90^\circ$ 且 $\angle CBA = \theta$ …
34写出 $2\sin 3x + 1$ 的振幅和周期。绘制 $y = 2\sin 3x + 1$ 在 $0 \le x \le \pi$ 范围内的函数图像草图。通过在草图上绘制一条合适的直线，确定方程 $\pi\sin 3x - x = 0$ …
35如图所示， $AC = 35\text{ cm}$ ， $EC = 15\text{ cm}$ ，且角 $ACB = \theta$ 弧度。 $ED$ 和 $AB$ 均垂直于 $DB$ 。清晰地解释为什么角 $CED = \theta$ 弧度。…
36下图显示了当 $0 \le x \le \dfrac{2\pi}{3}$ 弧度时的曲线 $y = a\cos bx + c$ ，其中 $a$ 、 $b$ 和 $c$ 是整数。该曲线在 $\left(\dfrac{\pi}{3}, 1\right)$ …
37图示为曲线 $y = a + 6\cos bx$ （对于 $0 \le x \le \frac{2\pi}{3}$ ），其中 $a$ 和 $b$ 为正常数。该曲线与 x 轴相交于点 $\left(\frac{2\pi}{3},0\right)$ …
38在特定的一天中，某个浅水港的水深 $h$ 米可以通过公式 $h = 7 + 2\sin\left(\frac{\pi}{6}t\right)$ 来建模，其中 $t$ 是午夜过后的小时数。给出 $h$ 的周期。利用该模型预测水深达到最…
39已知 $\text{f}(x) = 2 - 3\sin 3x$ 且 $\text{g}(x) = 4\cos\left(\frac{x}{2}\right) - 1$ 。写出 $\text{f}(x)$ 的最小值和最大值。写出 $\text{g}(x)$ …
40函数 f 定义为 $f(x)=4\cos ax + b$ （其中 $0 \le x \le 3\pi$ ）， $a$ 和 $b$ 为常数。f 的最大值为 6，f 的周期为 $4\pi$ 。写出 f 的振幅。求出 $a$ 和 $b$ 的值。画出…
41竞技跳台跳水比赛包括一名或两名运动员在不同高度处向水池中进行旋转、转体和翻腾动作。图中显示了跳台设计的一个横截面，它由一个梯形塔 $ABCD$ 组成。 $AB$ 是运动员通往跳台的楼梯。已知 $\angle BAD = \theta$ （其…
42在 $0 \le A \le 2\pi$ 范围内解方程 $4\cos 2A = 3 - 2\sin A$ 。已知 $\text{f}(x) = 2\cos 6x - \frac{1}{2}$ 且 $\text{g}(x) = 1 - \sin 3x$ …
43图中显示了 $y = p\sin(qx) + r$ 图像的一部分。求常数 $p$ 、 $q$ 和 $r$ 的值。已知 $(k,2)$ 和 $(h,2)$ 如图所示位于曲线上，求一个连接 $k$ 、 $h$ 和 $\pi$ 的方程。
44图中的图象显示了在 $0 \le x \le \frac{3}{2}\pi$ 弧度范围内的曲线 $y = 4 - 2\cos 2x$ 以及一条通过点 $P$ 和 $R$ 的直线。 $P$ 的坐标为 $(0, -1)$ ，且 $R$ 是曲线的一个…
45在下方坐标轴中，草拟 $y = -3\sin x$ 和 $y = 1 - \frac{2x}{\pi}$ 在 $0 \le x \le 2\pi$ 范围内的图像。求方程 $2x = \pi + 3\pi \sin x$ 在 $0 \le x \le 2\pi$ …
46写出函数 $y=3\sin\frac{x}{2}+1$ 图像的振幅和周期。画出 $y=3\sin\frac{x}{2}+1$ 在 $0 \le x \le 4\pi$ 范围内的图像草图。通过在草图上添加另一条合适的曲线，确定方程 $\sin\frac{x}{2} = -\frac{1}{3} - \frac{2}{3}\cos\frac{x}{2}$ …
47图示为一个图形 $ABCD$ ，其中 $BC=13\ \text{m}$ ， $CD=6\ \text{m}$ ，角 $BAD = 90^\circ$ ，且角 $ADC =$ 角 $ABC = \theta$ 。证明 $ABCD$ 的周长 $L$ …
48已知 $y_1 = \sin x - 2$ 且 $y_2 = -3 \cos 2x$ 。用度数表示下列函数的振幅和周期： (a) $y_1$ ， (b) $y_2$ 。在区间 $0^\circ \le x \le 360^\circ$ 内，…
49上图显示了一个公交候车亭 $BCD$ 的侧视图，其中 $BC = 4\text{ m}$ ， $CD = 1\text{ m}$ ，角 $BCD = 90^\circ$ 且角 $CBA = \theta$ 。 $AB$ 是候车亭下的水泥路面，使得 $DA$ …
50证明 $4 \sin x + 2 \cos \left( x + \frac{\pi}{6} \right) = a \cos x + b \sin x$ ，其中 $a$ 和 $b$ 为精确值。将 $4 \sin x + 2 \cos \left( x + \frac{\pi}{6} \right)$ …
51如图所示，两个圆 $C_1$ 和 $C_2$ 在 $xy$ 平面内相互相切。 $C_1$ 的半径为 4 个单位且与 $x$ 轴相切于点 $D$ ， $C_2$ 的半径为 3 个单位且与 $y$ 轴相切于点 $E$ 。连接 $C_2$ 和 $C_1$ …
52已知 $f(x)=2\sin\frac{x}{2}$ 且 $g(x)=3\cos x+1$ ，其中 $0 \le x \le 2\pi$ 。写出 $f(x)$ 的周期。写出 $f(x)$ 的最小值。写出 $g(x)$ 的最大值。在同一坐…
53下图显示了海潮的垂直位移 $y$ m，由 $y = 2 - \frac{3}{2} \cos pt$ 表示，其中 $t$ 是以小时为单位的时间（自最低位移处开始计算）， $p$ 是一个常数。垂直位移再次达到最低点需要 12 个小时。证明 $p = \frac{\pi}{6}$ …
54证明 $\tan x + \frac{\cos x}{1 + \sin x} = \sec x$ 。在不使用计算器的情况下，解释为什么方程 $\tan x + \frac{\cos x}{1 + \sin x} = -\frac{1}{3}$ …
55已知 $\mathrm{f}(x) = 2x^3 + ax^2 + x + b$ 。求使得 $2x^2 + x - 1$ 是 $\mathrm{f}(x)$ 的因式的 $a$ 和 $b$ 的值。解方程 $\mathrm{f}(x) = 0$ …
56在同一坐标系中，画出当 $0 \le x \le \pi$ 时 $y=-2\cos 3x+1$ 与 $y= -\dfrac{2}{\pi}x+1$ 的图象。解释如何利用图象求方程 $2\cos 3x = \dfrac{2}{\pi}x$ …
57解方程 $2\sin^4 x + 7\cos^2 x = 4$ ，其中 $0^\circ \le x \le 360^\circ$ 。
58在新加坡，公用事业公司向家庭提供频率为 50 Hz（即每秒 50 个周期）的交流（AC）电源。在每个周期中，交流电压以正弦方式在 230 伏和 -230 伏之间振荡。电源电压 $V$ 可以由以下方程表示： $V = 230\sin(100\pi t)$ …
59已知 $y = p \sin 2x + q$ ，其中 $p$ 和 $q$ 是正整数。 $y$ 的最大值和最小值分别为 8 和 -2。求 $p$ 和 $q$ 的值。由此，画出 $y$ 在 $0^\circ \le x \le 360^\circ$ …
60函数 $f$ 定义在 $0 \le x \le 2\pi$ 上，其表达式为 $f(x) = 1 - 2 \cos 2x$ 。写出 $f$ 的周期和振幅。画出 $y = f(x)$ 在 $0 \le x \le 2\pi$ 范围内的图像草图…