1. 代入 $x = \frac{\theta}{2} + \frac{\pi}{12}$ 并利用诱导公式求得 $\cos \theta$
由 (1) 知 f(x)=2sin(2x+3π)。
将 x=2θ+12π 代入,得:
f(2θ+12π)=2sin(2(2θ+12π)+3π)=2sin(θ+6π+3π)=2sin(θ+2π)=2cosθ
已知 f(2θ+12π)=56,所以:
2cosθ=56⟹cosθ=53
2. 利用同角三角函数关系求 $\sin \theta$
因为 θ∈(0,2π),所以 sinθ>0。
sinθ=1−cos2θ=1−(53)2=54
3. 用二倍角公式计算 $\sin 2\theta$
根据二倍角公式:
sin2θ=2sinθcosθ=2×54×53=2524
答案sin2θ=2524