已知函数f(x)=sin⁡ωx+3cos⁡ωxf(x)=\sin ωx+ \sqrt {3}\cos ωx的最小正周期为ππ,x∈Rx∈R,ω>0ω > 0是常数. (1)求ωω的值; (2)若f(θ2+π12)=65f( \dfrac {θ}{2}+ \dfrac {π}{12})= \dfrac {6}{5},θ∈(0,π2)θ∈(0, \dfrac {π}{2}),求sin⁡2θ\sin 2θ.

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完整解法

(1)

1. 用辅助角公式化简 $f(x)$

由辅助角公式,得:

ight) = 2\sin\left(\omega x + rac{\pi}{3} ight)$$

2. 根据最小正周期求出 $\omega$ 的值

因为 f(x)f(x) 的最小正周期为 π\pi,且 ω>0\omega > 0,
所以 T=2πω=πT = \frac{2\pi}{\omega} = \pi,
解得 ω=2\omega = 2。

答案

ω=2\omega = 2

(2)

1. 代入 $x = \frac{\theta}{2} + \frac{\pi}{12}$ 并利用诱导公式求得 $\cos \theta$

由 (1) 知 f(x)=2sin⁡(2x+π3)f(x) = 2\sin\left(2x + \frac{\pi}{3}\right)。
将 x=θ2+π12x = \frac{\theta}{2} + \frac{\pi}{12} 代入,得:
f(θ2+π12)=2sin⁡(2(θ2+π12)+π3)=2sin⁡(θ+π6+π3)=2sin⁡(θ+π2)=2cos⁡θf\left(\frac{\theta}{2} + \frac{\pi}{12}\right) = 2\sin\left(2\left(\frac{\theta}{2} + \frac{\pi}{12}\right) + \frac{\pi}{3}\right) = 2\sin\left(\theta + \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3}\right) = 2\sin\left(\theta + \frac{\pi}{2}\right) = 2\cos \theta
已知 f(θ2+π12)=65f\left(\frac{\theta}{2} + \frac{\pi}{12}\right) = \frac{6}{5},所以:
2cos⁡θ=65  ⟹  cos⁡θ=352\cos \theta = \frac{6}{5} \implies \cos \theta = \frac{3}{5}

2. 利用同角三角函数关系求 $\sin \theta$

因为 θ∈(0,π2)\theta \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right),所以 sin⁡θ>0\sin \theta > 0。
sin⁡θ=1−cos⁡2θ=1−(35)2=45\sin \theta = \sqrt{1 - \cos^2 \theta} = \sqrt{1 - \left(\frac{3}{5}\right)^2} = \frac{4}{5}

3. 用二倍角公式计算 $\sin 2\theta$

根据二倍角公式:
sin⁡2θ=2sin⁡θcos⁡θ=2×45×35=2425\sin 2\theta = 2\sin \theta \cos \theta = 2 \times \frac{4}{5} \times \frac{3}{5} = \frac{24}{25}

答案

sin⁡2θ=2425\sin 2\theta = \frac{24}{25}

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