选修$4-4$：坐标系与参数方程 在直角坐标系$xOy$中，曲线$C_{1}$的参数方程为$\begin{cases}x= \sqrt{3}\cos α, \\ y=\sin α\end{cases}(α$为参数$).$以坐标原点为极点，以$x$轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线$C_{2}$的极坐标方程为$ρ\sin (θ+ \dfrac{π}{4})=2 \sqrt{2}$． (1)写出$C_{1}$的普通方程和$C_{2}$的直角坐标方程； (2)设点$P$在$C_{1}$上，点$Q$在$C_{2}$上，求$|PQ|$的最小值及此时$P$的直角坐标．

1. 求曲线$C_1$的普通方程

曲线$C_1$的参数方程为$\begin{cases}x= \sqrt{3}\cos \alpha \\ y=\sin \alpha\end{cases}$，
将其变形为$\begin{cases}\dfrac{x}{\sqrt{3}}=\cos \alpha \\ y=\sin \alpha\end{cases}$．
利用同角三角函数关系式$\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1$，消去参数$\alpha$可得：
$\dfrac{x^2}{3}+y^2=1$．
所以，曲线$C_1$的普通方程为$\dfrac{x^2}{3}+y^2=1$．

2. 求曲线$C_2$的直角坐标方程

曲线$C_2$的极坐标方程为$\rho\sin \left(\theta+ \dfrac{\pi}{4}\right)=2 \sqrt{2}$．
展开左侧可得：
$\rho\left(\sin \theta \cos \dfrac{\pi}{4} + \cos \theta \sin \dfrac{\pi}{4}\right) = 2 \sqrt{2}$
$\rho\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\sin \theta + \dfrac{\sqrt{2}}{2}\cos \theta\right) = 2 \sqrt{2}$
化简得：
$\rho\cos \theta + \rho\sin \theta = 4$．
由极坐标与直角坐标的转换公式 $\begin{cases}x = \rho\cos \theta \\ y = \rho\sin \theta\end{cases}$，代入上式得：
$x+y-4=0$．
所以，曲线$C_2$的直角坐标方程为$x+y-4=0$．

1. 用参数表示点P到直线C2的距离

由已知，点$P$在曲线$C_1$上，可设点$P$的坐标为$(\sqrt{3}\cos \alpha, \sin \alpha)$．
点$Q$在直线$C_2: x+y-4=0$上，则$|PQ|$的最小值即为点$P$到直线$C_2$的距离$d$的最小值．
根据点到直线的距离公式：
$d = \dfrac{|\sqrt{3}\cos \alpha + \sin \alpha - 4|}{\sqrt{1^2+1^2}} = \dfrac{|\sqrt{3}\cos \alpha + \sin \alpha - 4|}{\sqrt{2}}$．

2. 利用三角恒等变换简化距离表达式

利用辅助角公式将$\sqrt{3}\cos \alpha + \sin \alpha$进行化简：
$\sqrt{3}\cos \alpha + \sin \alpha = 2\sin\left(\alpha + \dfrac{\pi}{3}\right)$．
所以距离 $d = \dfrac{\left|2\sin\left(\alpha + \dfrac{\pi}{3}\right) - 4\right|}{\sqrt{2}}$．

3. 求距离的最值以及此时的参数值和点P坐标

因为 $-1 \le \sin\left(\alpha + \dfrac{\pi}{3}\right) \le 1$，
所以当 $\sin\left(\alpha + \dfrac{\pi}{3}\right) = 1$ 时，分子达到最小值：
$d_{\min} = \dfrac{|2 \times 1 - 4|}{\sqrt{2}} = \dfrac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$．
由 $\sin\left(\alpha + \dfrac{\pi}{3}\right) = 1$，取 $\alpha + \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{\pi}{2}$，得 $\alpha = \dfrac{\pi}{6}$．
此时点$P$的直角坐标为：
$x = \sqrt{3}\cos \dfrac{\pi}{6} = \sqrt{3} \times \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{3}{2}$，
$y = \sin \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{1}{2}$．
故 $P\left(\dfrac{3}{2}, \dfrac{1}{2}\right)$．