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参数方程

简单参数方程及其图像。

这个知识点的练习题

  1. 1曲线 CC 的参数方程为 x=2cos⁡θ+cos⁡2θ,y=2sin⁡θ−sin⁡2θ,x = 2\cos\theta + \cos 2\theta, \quad y = 2\sin\theta - \sin 2\theta, 其中 0<θ<2π0 < \theta < 2\pi 且 θ≠2π3,π,4π3\theta \ne \frac{2\pi}{3}, \pi, \frac{4\pi}{3}…
  2. 2曲线 C 的参数方程为 x=at,  y=at3x = at,\; y = at^{3}，其中 aa 为正常数。 曲线上的点 P 的参数为 pp，曲线在点 P 处的切线与 yy 轴交于点 S，与 xx 轴交于点 T。点 M 是 ST 的中点。求当 pp…
  3. 3选修4−44-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOyxOy中，曲线C1C_{1}的参数方程为{x=3cos⁡α,y=sin⁡α(α\begin{cases}x= \sqrt{3}\cos α, \\ y=\sin α\end{cases}(α为参数).).…
  4. 4曲线 CC 由参数方程定义 x=t−sin⁡tx = t - \sin t，y=sin⁡2ty = \sin^{2} t，  0≤t≤π\;0 \le t \le \pi。 曲线 CC 上的点 AA 对应的参数为 π2\dfrac{\pi}{2}，且是一个极大值点。直线…
  5. 5曲线 C 由参数方程定义： x=θ2−1,y=tan⁡θ2,0≤θ<πx = \theta^2 - 1,\quad y = \tan\frac{\theta}{2},\quad 0 \le \theta < \pi。 求由 C、y 轴和 x 轴所围成且满足 x≤0x \le 0…
  6. 6在平面直角坐标系xOyxOy中，曲线CC的参数方程为{y=4sin⁡ax=4cos⁡a+2(a \begin{cases} \overset{x=4\cos a+2}{y=4\sin a}\end{cases}(a为参数))，以OO为极点，以xx轴…
  7. 7曲线 CC 的参数方程为 x=2cos⁡3θx = 2\cos^3 \theta，y=2sin⁡3θy = 2\sin^3 \theta，其中 −π2<θ<π2-\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{\pi}{2}。 证明在参数为 θ\theta 的点…
  8. 8若直线{x=1−ty=2+3t(t\begin{cases}{x=1-t}\\ {y=2+3t}\end{cases}(t为参数))与直线y=kx−1y=kx-1平行，则常数k=()k=(\quad) A. −3-3 B. −13-\dfrac{1}{3}…
  9. 9曲线上的点 (x,y)(x,y) 满足方程 x=12t2−2tx = \tfrac{1}{2}t^2 - 2t 和 dydx=12t−1\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{1}{2t - 1} 其中 tt 为参数，t>2t > 2。 已知当 t=4t = 4…
  10. 10曲线 CC 的参数方程为 x=3t2,y=6t3,where t is a real parameter.x = 3t^2, \quad y = 6t^3, \quad \text{where } t \text{ is a real parameter.} 画出 CC 的草图。 求曲线 CC 上切线平行…
  11. 11曲线 C1C_1 的方程为 y=ax2+bx+3x+2y = \frac{ax^2+bx+3}{x+2}，其中 aa 和 bb 为常数。已知 C1C_1 有一条渐近线 y=x−3y = x - 3。 写出 aa 的值并证明 b=−1b = -1。 使用代数方法，求…
  12. 12曲线 C 由参数方程定义： x=cos⁡θ−1cos⁡θ,  y=cos⁡θ+1cos⁡θ,  −π2<θ<π2.x = \cos\theta - \dfrac{1}{\cos\theta},\ \ y = \cos\theta + \dfrac{1}{\cos\theta},\ \ -\dfrac{\pi}{2} < \theta < \dfrac{\pi}{2}.…
  13. 13曲线 C1C_1 由参数方程定义为 x=2t−1andy=4t+1,t≠±1.x = \frac{2}{t-1} \quad\text{and}\quad y = \frac{4}{t+1},\qquad t \ne \pm 1. 画出 C1C_1 的草图，并进行清晰的标注…
  14. 14曲线 CC 的参数方程定义为 x=atan⁡t,y=asec⁡2tsin⁡t,−π4<t<π4,x = a \tan t, \quad y = a \sec^2 t \sin t, \quad -\frac{\pi}{4} < t < \frac{\pi}{4}, 其中 aa 是正常数。 证明…
  15. 15一位农民拥有一块土地 OABOAB，其相邻两边为 OAOA 和 OBOB。以 OO 为原点，OAOA 和 OBOB 分别平行于 xx 轴和 yy 轴。弧 ABAB 由参数方程表示： x=cos⁡θ,y=θ−12sin⁡2θ,0≤θ≤π2.x = \cos\theta, \quad y = \theta - \frac{1}{2}\sin 2\theta, \quad 0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}.…
  16. 16[Cambridge/2003] 画出参数方程为 x=3t,y=3tx = 3t, \quad y = \frac{3}{t} 的曲线草图。曲线上的点 PP 的参数为 t=2t = 2。点 PP 处的法线与曲线再次交于点 QQ。 证明点…
  17. 17在平面直角坐标系中，曲线C1C_{1}的参数方程为{x=−1+5cos⁡αy=−2+5sin⁡α(α\begin{cases}x=-1+\sqrt{5}\cos α\\ y=-2+\sqrt{5}\sin α\end{cases}(α为参数).).以坐标原点OO为极点…
  18. 18曲线 C 的参数方程为 x=2acos⁡(t+π6),y=asin⁡t,x=2a\cos\left(t+\tfrac{\pi}{6}\right),\quad y=a\sin t, 其中 0≤t<2π0\le t<2\pi，aa 是一个正常数。 下方给出了曲线 C 的草图，其中 C 与…
  19. 19曲线 CC 的参数方程为 x=2t−frac1t2,quady=2t+frac1t,quadtinmathbbR,tne0.x = 2t - \\frac{1}{t^2}, \\quad y = 2t + \\frac{1}{t}, \\quad t \\in \\mathbb{R}, t \\ne 0. 曲线上的点 PP…
  20. 20曲线 CC 由参数方程 x=t2x = t^2 和 y=2t+t3y = 2t + t^3 定义，其中 −1≤t≤1-1 \le t \le 1。 草拟 CC 的图像。 在不使用计算器的情况下，求 CC 在 t=12t = \frac{1}{2} 处的法线方程…
  21. 21已知一曲线的参数方程为 x=2tx=2t，y=e−t2y=e^{-t^2}。 草拟该曲线的图像，写出其与坐标轴任何交点的精确坐标以及任何渐近线的方程。 求该曲线在点 (2p,e−p2)\left(2p,e^{-p^2}\right) 处的法线方程。 在点 C(2,1e)C\left(2,\frac{1}{e}\right)…
  22. 22抛体运动是指发射物体的运动，其仅受重力加速度常数 g ms−2g\text{ ms}^{-2} 的作用。该物体被称为抛体，其路径被称为轨迹。 如上图所示，一个抛体从原点以大小为 u ms−1u\text{ ms}^{-1} 的初速度发射，其发射角与水平方向…
  23. 23曲线 C1C_1 的方程为 y=ax2+bx+3x+2y = \dfrac{ax^2+bx+3}{x+2}，其中 aa 和 bb 为常数。已知 C1C_1 有一条渐近线 y=x−3y = x - 3。 写出 aa 的值并证明 b=−1b = -1。 使用代数方法，求…
  24. 24把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线： (1){x=5cos⁡φ,y=4sin⁡φ(φ(1)\begin{cases} x=5\cos φ, \\ y=4\sin φ \end{cases}(φ为参数))； (2){x=1−3t,y=4t(t(2)\begin{cases} x=1-3t, \\ y=4t \end{cases}(t…
  25. 25复数 zz 随 tt 变化，满足 z=2cos⁡t+i(3sin⁡t),where 0≤t<2π.z = 2\cos t + \mathrm{i}(3\sin t), \quad \text{where } 0 \le t < 2\pi. 令 x=Re(z)x = \mathrm{Re}(z) 且 y=Im(z)y = \mathrm{Im}(z)…
  26. 26星形线（astroid）是具有参数方程 x=acos⁡3t, y=asin⁡3t.x = a \cos^3 t, \ y = a \sin^3 t. 的曲线。 画出 a=2a = 2 且 0≤t≤π20 \le t \le \frac{\pi}{2} 时的星形线草图，并清晰地标出所有…
  27. 27曲线 C 由参数方程定义： x=a(1+1t)x = a\left(1 + \dfrac{1}{t}\right) 且 y=a(t−1t2)y = a\left(t - \dfrac{1}{t^2}\right) 其中 aa 是正常数且 t≠0t \ne 0。 证明 dydx=−(2+t3t).\dfrac{dy}{dx} = -\left(\dfrac{2 + t^3}{t}\right).…
  28. 28曲线 CC 的参数方程为 x=sin⁡θ+1andy=3cos⁡θ−1, where −π2≤θ≤π2.x = \sin \theta + 1 \quad \text{and} \quad y = \sqrt{3} \cos \theta - 1, \text{ where } -\frac{\pi}{2} \le \theta \le \frac{\pi}{2}.…
  29. 29下图显示了一个由曲线 (y+5)2=x−3(y+5)^{2}=x-3 和直线 y=x−10y=x-10 所围成的区域 RR。求 RR 绕 x 轴旋转一周所形成的旋转体的体积。 下图显示了一个由曲线 (y+5)2=x−3(y+5)^{2}=x-3 和直线 y=x−10y=x-10 所围…
  30. 30曲线 CC 由以下参数方程定义： x=2cos⁡θ+1,y=sin⁡θ,where −π≤θ≤π.x = 2\cos\theta + 1, \quad y = \sin\theta, \quad \text{where } -\pi \le \theta \le \pi. 画出曲线 CC 的…
  31. 31曲线 CC 的参数方程为 x=t+2et,y=2t+e−t,t>−2.x = t + 2e^t, \quad y = 2t + e^{-t}, \quad t > -2. 草绘 CC。 求该曲线在 t=0t = 0 的点 PP 处的法线方程。
  32. 32曲线 y=f(x)y = f(x) 的图像在下方给出。 在不同的图表中，画出以下函数的图像： y=1f(x)y = \frac{1}{f(x)} y=f′(x).y = f'(x). 曲线 CC 的参数方程为 x=tx = t, y=2t2y = 2t^2。 描述一系列变换，…
  33. 33在平面直角坐标系xOyxOy中，以原点OO为极点，xx轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1{{C}_{1}}的方程为x22+y2=1\dfrac{{{x}^{2}}}{2}+{{y}^{2}}=1，曲线C2{{C}_{2}}…
  34. 34在直角坐标系xoyxoy中，直线ll过点M(3,4)M(3,4)，其倾斜角为45∘45^{\circ}，以原点为极点，以xx正半轴为极轴建立极坐标，并使得它与直角坐标系xoyxoy有相同的长度单位，圆CC的极坐标方程为ρ=4sin⁡θρ=4\sin θ…
  35. 35曲线 CC 的参数方程定义为： x=atan⁡t,y=asec⁡2tsin⁡t,−π4<t<π4,x = a\tan t, \qquad y = a\sec^{2}t\sin t, \qquad -\frac{\pi}{4} < t < \frac{\pi}{4}, 其中 aa 为正常数。 证…
  36. 36在一项测试将新型空间望远镜发射升空的设计理论的实验中，科学家们借助计算机分析程序，在一个实验系统中监测一个带电粒子的运动，该程序在 x−yx-y 平面上以曲线的形式呈现其运动路径。发射后 tt 分钟，粒子的 xx 和 yy 坐标由以下参…
  37. 37一曲线的参数方程为 x=t+2x = t + 2, y=t2t−1y = \dfrac{t}{2t - 1}， 其中 t∈Rt \in \mathbb{R}, t≠12t \ne \dfrac{1}{2}。 草拟该曲线，并给出其渐近线方程以及该曲线与坐标轴交点的…
  38. 38曲线 CC 具有参数方程 x=t−at,y=t+at, 其中 t∈R, t≠0 且 a 为正常数。x = t - \frac{a}{t}, \quad y = t + \frac{a}{t}, \text{ 其中 } t \in \mathbb{R}, \ t \ne 0 \text{ 且 } a \text{ 为正常数。}…
  39. 39曲线 CC 由参数方程 x=t2,y=t3.x = t^2, \quad y = t^3. 定义。 证明该曲线在点 (t2,t3)\left(t^2, t^3\right) 处的切线方程为 2y−3tx+t3=0.2y - 3tx + t^3 = 0. 该切线通过一个定点 (a,b)(a, b)…
  40. 40曲线 CC 的参数方程为 x=e2t, y=t2.x = \mathrm{e}^{2t}, \ y = t^2. 求切线斜率为 12e\frac{1}{2\mathrm{e}} 的点处的 tt 值。 曲线 CC 在点 P(e2p,p2)P(\mathrm{e}^{2p}, p^2)…
  41. 41曲线 CC 由参数方程定义 x=4sin⁡t,y=bcos⁡t−1,\begin{aligned} x &= 4\sin t, \\ y &= b\cos t - 1, \end{aligned} 其中 0≤t≤π0 \le t \le \pi 且 1<b<41 < b < 4。…
  42. 42曲线 CC 的参数方程为 x=1−2cos⁡2θ,y=sin⁡2θ−1,其中 0≤θ≤3π8x = 1 - 2\cos 2\theta, \quad y = \sin 2\theta - 1, \quad \text{其中 } 0 \le \theta \le \frac{3\pi}{8} 求…
  43. 43曲线 C1C_1 的参数方程为 x=3sec⁡2θx = 3\sec^2 \theta，y=2tan⁡θy = 2\tan \theta，0≤θ<π20 \le \theta < \frac{\pi}{2}。 L1L_1 和 L2L_2 是曲线 C1C_1 的切线。 画出曲…
  44. 442022年 H2 数学 CT 未考的最大最小值与变化率问题。 在一项测试将新型空间望远镜发射到太空的设计理论的实验中，科学家们借助计算机分析程序，在一个实验系统中监测一个带电粒子的运动，该程序以 xx-yy 平面上的曲线形式展示…
  45. 45复数 zz 随 tt 变化，满足： z=2cos⁡t+i(3sin⁡t),其中 0≤t<2π.z = 2\cos t + i(3\sin t),\quad \text{其中 } 0 \le t < 2\pi. 令 x=Re⁡(z)x = \operatorname{Re}(z) 且 y=Im⁡(z)y = \operatorname{Im}(z)…
  46. 46图中显示了曲线 y=f(x)y = f(x)，其极值点为 A(3,2.5)A(3, 2.5) 和 B(0,1)B(0, 1)。直线 y=1y = 1 和 x=−2x = -2 是该曲线的渐近线。 在不同的图上分别画出下列函数的图像，并视情况清晰写出渐近线的方程以及对应于 A…
  47. 47曲线 CC 的参数方程为 x=t2−1,y=4t−t3+15,x = t^2 - 1,\qquad y = 4t - t^3 + 15, 其中 t∈Rt \in \mathbb{R}。 证明曲线 CC 与 x 轴交于点 (8,0)(8, 0)，与 y 轴交于点 (0,12)(0, 12)…
  48. 48曲线 C1C_1 由参数方程定义：x=2t−1andy=4t+1,t≠±1.x = \frac{2}{t-1}\quad\text{and}\quad y = \frac{4}{t+1},\qquad t \ne \pm 1. 画出 C1C_1 的草图，并清晰地标出图中的关…
  49. 49曲线 C 的参数方程为 x=et,  y=sin⁡tx = e^{t},\ \ y = \sin t 其中 0≤t≤π0 \le t \le \pi。 求 ∫etsin⁡t dt\int e^{t}\sin t\,dt。 画出 C 的图形草图。 求由 C、x 轴以及直线 x=1x = 1…
  50. 50在平面直角坐标系xOyxOy中，以OO为极点，xx轴非负半轴为极轴建立坐标系，曲线MM的极坐标方程为ρ=4cos⁡θρ=4\cos θ，直线ll的参数方程为{y=tsin⁡αx=m+tcos⁡α(t \begin{cases} \overset{x=m+t\cos \alpha }{y=t\sin \alpha }\end{cases}(t…
  51. 51曲线 C 的参数方程为 x=2t−1t2,y=2t+1t,t∈R, t≠0.曲线上的点P的参数为x = 2t - \dfrac{1}{t^{2}},\quad y = 2t + \dfrac{1}{t},\quad t \in \mathbb{R},\ t \ne 0. 曲线上的点 P 的参数为 t = 1…
  52. 52对于 −1≤t≤1-1 \le t \le 1，曲线 C1C_1 的参数方程为 x=3t3+2t2x=3t^3+2t^2 且 y=−t3+2t2+1y=-t^3+2t^2+1。 另一条曲线 C2C_2 的方程为 x2+(y−1)2=kx^2+(y-1)^2=k，其中 k∈R+k\in\mathbb{R}^+…
  53. 53[Cambridge/9709/2010] 一条曲线的参数方程为 x=1+ln⁡(t−2),y=t+9t,for t>2.x = 1 + \ln(t - 2), \quad y = t + \frac{9}{t}, \quad \text{for } t > 2. 证明 dydx=(t2−9)(t−2)t2\frac{\text{d}y}{\text{d}x} = \frac{(t^2 - 9)(t - 2)}{t^2}…
  54. 54曲线 CC 的方程为 y=ln⁡(2−∣x∣)y=\ln\left(2-\lvert x\rvert\right)。区域 RR 由 CC、直线 y=ln⁡2y=\ln 2、x=1x=1 和 x=−1x=-1 围成。求 RR 的面积精确值。 曲线 CC 的参数方程定…
  55. 55曲线 CC 的参数方程为 x=5asec⁡θ,y=3atan⁡θ,where −π2<θ<π2x = 5a\sec\theta, \quad y = 3a\tan\theta, \quad \text{where } -\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{\pi}{2}…
  56. 56曲线 CC 的参数方程为 x=2sin⁡2t,y=cos⁡2t,for 0≤t<π.x = 2\sin 2t, \quad y = \cos 2t, \quad \text{for } 0 \le t < \pi. 证明：在参数为 θ\theta 的点 PP 处，曲线 CC 的法线…
  57. 57曲线 CC 具有参数方程 x=(a2−t2)12,y=ln⁡t,for 0<t≤a and a>1.x = (a^2 - t^2)^{\frac{1}{2}}, \quad y = \ln t, \quad \text{for } 0 < t \le a \text{ and } a > 1. CC…
  58. 58曲线 CC 的参数方程为 x=3t3, y=31+t2,t∈R.x = 3t^3,\ y = \frac{3}{1+t^2},\quad t \in \mathbb{R}. 用 tt 表示 dydx\frac{\text{d}y}{\text{d}x}。解释为什么 CC…
  59. 59曲线 CC 由参数方程定义： x=1−cos⁡t,y=sin⁡2t,where 0≤t≤π2.x = 1 - \cos t, \quad y = \sin 2t, \quad \text{where } 0 \le t \le \frac{\pi}{2}. 草拟曲线 CC 的图像，并给出 CC…
  60. 60复数 z 随 t 变化，满足 z=2cos⁡t+i(3sin⁡t),其中 0≤t<2π.z = 2\cos t + i(3\sin t),\quad\text{其中 } 0 \le t < 2\pi. 令 x=Re(z)x = \mathrm{Re}(z) 且 y=Im(z)y = \mathrm{Im}(z)…