在平面直角坐标系$xOy$中，以原点$O$为极点，$x$轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线${{C}_{1}}$的方程为$\dfrac{{{x}^{2}}}{2}+{{y}^{2}}=1$，曲线${{C}_{2}}$的参数方程为$\begin{cases}&x=\cos\varphi\\ &y=1+\sin\varphi\\\end{cases}(\varphi$为参数$)$，曲线${{C}_{3}}$的方程为$y=x\tan\alpha$，$(0< \alpha < \dfrac{\pi}{2},x>0)$，曲线${{C}_{3}}$与曲线${C}_{1},{C}_{2}$分别交于$P,Q$两点． $(Ⅰ)$求曲线${C}_{1},{C}_{2}$的极坐标方程； $(Ⅱ)$求${{\left|OP\right|}^{2}}\cdot{{\left|OQ\right|}^{2}}$的取值范围．

1. 求曲线 $C_1$ 的极坐标方程

将 $x=\rho\cos\theta$，$y=\rho\sin\theta$ 代入曲线 $C_1$ 的直角坐标方程 $\dfrac{x^2}{2}+y^2=1$ 得：
$\dfrac{\rho^2\cos^2\theta}{2}+\rho^2\sin^2\theta=1$
两边同乘以 $2$ 并整理得：
$\rho^2(\cos^2\theta+2\sin^2\theta)=2$
利用 $\cos^2\theta+\sin^2\theta=1$，化简为：
$\rho^2(1+\sin^2\theta)=2$
即曲线 $C_1$ 的极坐标方程为 $\rho^2(1+\sin^2\theta)=2$（或 $\rho^2=\dfrac{2}{1+\sin^2\theta}$）．

2. 求曲线 $C_2$ 的极坐标方程

曲线 $C_2$ 的参数方程为 $\begin{cases} x=\cos\varphi \\ y=1+\sin\varphi \end{cases}$（$\varphi$ 为参数）．
由 $x^2+(y-1)^2=\cos^2\varphi+\sin^2\varphi=1$，消去参数 $\varphi$ 得普通方程：
$x^2+y^2-2y=0$
将 $x=\rho\cos\theta$，$y=\rho\sin\theta$ 代入得：
$\rho^2-2\rho\sin\theta=0$
由于 $\rho>0$，约去 $\rho$ 得曲线 $C_2$ 的极坐标方程为：
$\rho=2\sin\theta$

1. 利用极坐标表示 $|OP|^2$ 和 $|OQ|^2$

曲线 $C_3$ 的方程为 $y=x\tan\alpha$ ($0<\alpha<\dfrac{\pi}{2}, x>0$)，其极坐标方程为 $\theta=\alpha$ ($\rho>0$)．
由 $C_3$ 与 $C_1$ 交于点 $P$，结合 $C_1$ 的极坐标方程得：
$|OP|^2=\rho_P^2=\dfrac{2}{1+\sin^2\alpha}$
由 $C_3$ 与 $C_2$ 交于点 $Q$，结合 $C_2$ 的极坐标方程得：
$|OQ|=\rho_Q=2\sin\alpha \implies |OQ|^2=4\sin^2\alpha$

2. 写出乘积表达式并求其取值范围

计算乘积得：
$|OP|^2\cdot|OQ|^2=\dfrac{2}{1+\sin^2\alpha}\cdot 4\sin^2\alpha=\dfrac{8\sin^2\alpha}{1+\sin^2\alpha}$
令 $t=\sin^2\alpha$．
因为 $0<\alpha<\dfrac{\pi}{2}$，所以 $0<\sin\alpha<1$，从而 $t\in(0, 1)$．
定义函数 $f(t)=\dfrac{8t}{1+t}=8\left(1-\dfrac{1}{1+t}\right)$．
因为 $f(t)$ 在 $t\in(0, 1)$ 上严格单调递增，
当 $t\to 0$ 时，$f(t)\to 0$；
当 $t\to 1$ 时，$f(t)\to \dfrac{8\times 1}{1+1}=4$．
故 $|OP|^2\cdot|OQ|^2$ 的取值范围为 $(0, 4)$．