在平面直角坐标系$xOy$中，以$O$为极点，$x$轴非负半轴为极轴建立坐标系，曲线$M$的极坐标方程为$ρ=4\cos θ$，直线$l$的参数方程为$\begin{cases} \overset{x=m+t\cos \alpha }{y=t\sin \alpha }\end{cases}(t$为参数，$0\leqslant α < π)$，射线$θ=φ$，$θ=φ+ \dfrac {π}{4},θ=φ- \dfrac {π}{4}$与曲线$M$交于$A$，$B$，$C$三点$($异于$O$点$)(I)$求证：$|OB|+|OC|= \sqrt {2}|OA|$； $(II)$当$φ= \dfrac {π}{12}$时，直线$l$经过$B$，$C$两点，求$m$与$α$的值．

1. 写出 $A, B, C$ 三点的极径表达式

由极坐标方程 $\rho = 4\cos\theta$ 及 $A, B, C$ 的极角，可得：
$|OA| = 4\cos\varphi$
$|OB| = 4\cos\left(\varphi + \dfrac{\pi}{4}\right)$
$|OC| = 4\cos\left(\varphi - \dfrac{\pi}{4}\right)$

2. 利用和差化积或两角和与差的余弦公式化简 $|OB| + |OC|$

因为 $\cos\left(\varphi + \dfrac{\pi}{4}\right) + \cos\left(\varphi - \dfrac{\pi}{4}\right) = 2\cos\varphi\cos\dfrac{\pi}{4} = \sqrt{2}\cos\varphi$，
所以 $|OB| + |OC| = 4\left[\cos\left(\varphi + \dfrac{\pi}{4}\right) + \cos\left(\varphi - \dfrac{\pi}{4}\right)\right] = 4 \times \sqrt{2}\cos\varphi = 4\sqrt{2}\cos\varphi$。

3. 完成证明

由于 $|OA| = 4\cos\varphi$，所以 $|OB| + |OC| = \sqrt{2}(4\cos\varphi) = \sqrt{2}|OA|$。得证。

1. 求当 $\varphi = \dfrac{\pi}{12}$ 时，点 $B$ 和 $C$ 的极坐标

当 $\varphi = \dfrac{\pi}{12}$ 时，
$B$ 的极角 $\theta_B = \varphi + \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\pi}{12} + \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\pi}{3}$，极径 $\rho_B = 4\cos\dfrac{\pi}{3} = 2$；
$C$ 的极角 $\theta_C = \varphi - \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\pi}{12} - \dfrac{\pi}{4} = -\dfrac{\pi}{6}$，极径 $\rho_C = 4\cos\left(-\dfrac{\pi}{6}\right) = 2\sqrt{3}$。
即 $B\left(2, \dfrac{\pi}{3}\right)$，$C\left(2\sqrt{3}, -\dfrac{\pi}{6}\right)$。

2. 将 $B, C$ 两点的极坐标转换为直角坐标

利用直角坐标与极坐标的转换公式 $x = \rho\cos\theta, y = \rho\sin\theta$：
对于 $B$：$x_B = 2\cos\dfrac{\pi}{3} = 1$，$y_B = 2\sin\dfrac{\pi}{3} = \sqrt{3}$，得 $B(1, \sqrt{3})$；
对于 $C$：$x_C = 2\sqrt{3}\cos\left(-\dfrac{\pi}{6}\right) = 3$，$y_C = 2\sqrt{3}\sin\left(-\dfrac{\pi}{6}\right) = -\sqrt{3}$，得 $C(3, -\sqrt{3})$。

3. 求出直线 $BC$ 的斜率及方程

直线 $BC$ 的斜率 $k = \dfrac{-\sqrt{3} - \sqrt{3}}{3 - 1} = -\sqrt{3}$。
直角坐标方程为：$y - \sqrt{3} = -\sqrt{3}(x - 1)$，整理得 $\sqrt{3}x + y - 2\sqrt{3} = 0$。

4. 对比参数方程确定 $m$ 和 $\alpha$ 的值

直线 $l$ 的参数方程为 $\begin{cases} x = m + t\cos\alpha \\ y = t\sin\alpha \end{cases}$，这表示直线经过点 $(m, 0)$，其倾斜角为 $\alpha$。
因为斜率 $k = -\sqrt{3}$ 且 $0 \le \alpha < \pi$，所以 $\tan\alpha = -\sqrt{3} \implies \alpha = \dfrac{2\pi}{3}$。
令 $y = 0$ 代入直角坐标方程 $\sqrt{3}x + y - 2\sqrt{3} = 0$，解得 $x = 2$。
因此直线与 $x$ 轴的交点为 $(2, 0)$，从而 $m = 2$。