1. 将直线的极坐标方程化为直角坐标方程
已知直线方程为 ρsin(θ+4π)=22,
利用两角和的正弦公式展开得:
ρ(sinθcos4π+cosθsin4π)=22
22(ρsinθ+ρcosθ)=22
两边同除以 22 得:
ρcosθ+ρsinθ=1
因为 x=ρcosθ,y=ρsinθ,
代入可得直角坐标方程为:x+y−1=0。
2. 将点 A 的极坐标化为直角坐标
已知点 A(2,47π),
其直角坐标为:
xA=2cos47π=2×22=2
yA=2sin47π=2×(−22)=−2
所以点 A 的直角坐标为 A(2,−2)。
3. 计算点 A 到直线的距离
由点到直线的距离公式,点 A(2,−2) 到直线 x+y−1=0 的距离为:
d=12+12∣2+(−2)−1∣=2∣−1∣=22。
故选:C。