在极坐标系中,已知直线方程为ρsin⁡(θ+π4)=22ρ\sin (θ+ \dfrac {π}{4})= \dfrac { \sqrt {2}}{2},则点A(2,7π4)A(2, \dfrac {7π}{4})到这条直线的距离为()()
A. 2 \sqrt {2}
B. 2−122- \dfrac {1}{ \sqrt {2}}
C. 22 \dfrac { \sqrt {2}}{2}
D. 24 \dfrac { \sqrt {2}}{4}

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完整解法

1. 将直线的极坐标方程化为直角坐标方程

已知直线方程为 ρsin⁡(θ+π4)=22\rho\sin \left(\theta+ \dfrac {\pi}{4}\right)= \dfrac { \sqrt {2}}{2},
利用两角和的正弦公式展开得:
ρ(sin⁡θcos⁡π4+cos⁡θsin⁡π4)=22\rho\left(\sin \theta \cos \dfrac{\pi}{4} + \cos \theta \sin \dfrac{\pi}{4}\right) = \dfrac{\sqrt{2}}{2}
22(ρsin⁡θ+ρcos⁡θ)=22\dfrac{\sqrt{2}}{2}(\rho\sin \theta + \rho\cos \theta) = \dfrac{\sqrt{2}}{2}
两边同除以 22\dfrac{\sqrt{2}}{2} 得:
ρcos⁡θ+ρsin⁡θ=1\rho\cos\theta + \rho\sin\theta = 1
因为 x=ρcos⁡θx = \rho\cos\theta,y=ρsin⁡θy = \rho\sin\theta,
代入可得直角坐标方程为:x+y−1=0x + y - 1 = 0。

2. 将点 A 的极坐标化为直角坐标

已知点 A(2,7π4)A\left(2, \dfrac {7\pi}{4}\right),
其直角坐标为:
xA=2cos⁡7π4=2×22=2x_A = 2\cos \dfrac {7\pi}{4} = 2 \times \dfrac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}
yA=2sin⁡7π4=2×(−22)=−2y_A = 2\sin \dfrac {7\pi}{4} = 2 \times \left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right) = -\sqrt{2}
所以点 AA 的直角坐标为 A(2,−2)A(\sqrt{2}, -\sqrt{2})。

3. 计算点 A 到直线的距离

由点到直线的距离公式,点 A(2,−2)A(\sqrt{2}, -\sqrt{2}) 到直线 x+y−1=0x + y - 1 = 0 的距离为:
d=∣2+(−2)−1∣12+12=∣−1∣2=22d = \dfrac{|\sqrt{2} + (-\sqrt{2}) - 1|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \dfrac{|-1|}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}。
故选:C。

答案

C

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