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特殊角三角函数值

特殊角（ $30^\circ$ , $45^\circ$ , $60^\circ$ 或 $\frac{\pi}{6}$ , $\frac{\pi}{4}$ , $\frac{\pi}{3}$ ）三角函数的精确值

这个知识点的练习题

1已知 $\left| \overrightarrow{a}\right|=4$ ， $\left| \overrightarrow{b}\right|= \sqrt{2}$ ， $\overrightarrow{a}$ 与 $\overrightarrow{b}$ …
2在三角形 $ABC$ 中， $AB = x\ \text{cm}$ ， $AC = 3x\ \text{cm}$ ，且角 $BAC = \dfrac{2\pi}{3}$ 。如果 $x$ 以 $0.5\ \text{cm/s}$ 的速率增加，求当 $x = 4$ …
3曲线 $y = 2\tan 3x - 1$ 在点 $P\left(\frac{\pi}{3}, -1\right)$ 处的法线交 $y$ 轴于点 $A$ ，交 $x$ 轴于点 $B$ 。求三角形 $AOB$ 的精确面积。
4图示为一个棱柱，其横截面为边长为 $(5 + \sqrt{3})$ cm 的正六边形。求该棱柱横截面积的表达式，表示为 $q\sqrt{3} + p\text{ cm}^2$ 的形式，其中 $p$ 和 $q$ 是整数。已知该棱柱的体积为…
5计算：cot44°•cot45°•cot46°= ．
6曲线的方程由 $y = x + \sin^2 x$ 给出，其中 $0 \le x \le \pi$ 。写出 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ 的表达式。求该曲线的驻点。确定该驻点的性质。
7已知点 $P\left(-1,3\tan\dfrac{5\pi}{6}\right)$ 是角 $\theta$ 终边上一点，则 $\cos\theta$ 的值为 $(\quad)$ A. $\dfrac{1}{2}$ B. $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ …
8已知函数 $f(x)=\cos(ωx+φ)(ω>1,ω\in Z,|φ|< \dfrac {π}{2})$ 在区间 $[\dfrac{π}{3},\dfrac{3π}{4}]$ 上是单调函数，且图象过点 $(\dfrac{π}{12},0)$ …
9已知 $a$ ， $b$ ， $c$ 是 $\triangle ABC$ 中角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边， $S$ 是 $\triangle ABC$ 的面积.若 $a^{2}+c^{2}=b^{2}+ac$ ， $($ Ⅰ…
10在 $\Delta ABC$ 中， $AC = 12\text{ cm}$ ， $\angle ABC$ 为直角， $\angle ACB = \frac{\pi}{6}$ 弧度，且 $M$ 是 $BC$ 的中点。在不使用计算器的情况下，求整数 $k$ …
11本题中不得使用计算器。将 $\sin 22.5^\circ$ 表示为 $\frac{\sqrt{a - \sqrt{a}}}{a}$ 的形式，其中 $a$ 是一个整数。证明 $\tan 15^\circ = 2 - \sqrt{3}$ …
12 $\triangle ABC$ 的边 $BC$ 在平面 $α$ 内， $A$ 在 $α$ 内的射影是 $A_{1}$ ，设 $\triangle ABC$ 的面积为 $2$ ，平面 $ABC$ 和平面 $α$ 所成的二面角的大小为 $45°$ …
13图中显示了一个呈三棱柱形状的巧克力棒，该巧克力棒的横截面是一个等腰三角形，其中 $AB = AC$ 。 $MC = \left(\sqrt{2} + \frac{1}{2}\right)\text{ cm}$ 且 $\angle ACB = 45^\circ$ …
14在不使用计算器的情况下，证明 $\sin 75^\circ = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ 。
15在平面直角坐标系 $xOy$ 中，曲线 $C$ 的参数方程为 $\begin{cases} \overset{x=4\cos a+2}{y=4\sin a}\end{cases}(a$ 为参数 $)$ ，以 $O$ 为极点，以 $x$ 轴…
16已知函数 $\text{f}(x) = 1 + 2\sin^2 3x + 4\cos^2 3x$ 。将 $\text{f}(x)$ 表示为 $a + b\cos 6x$ 的形式。由此，求满足 $\text{f}(x) = 3.5$ 的 $x$ …
17已知 $\dfrac{\sin(A-B)}{\sin(A+B)} = \dfrac{2}{3}$ ，证明 $\tan A = 5\tan B$ 。由此或用其他方法，解方程 $3\sin(A-45^\circ)=2\sin(A+45^\circ)$ …
18在 $\triangle ABC$ 中，若 $\left|2\cos A-1\right|+{\left(\sqrt{3}-\tan B\right)}^{2}=0$ ，则 $\angle C=$ ___.
19已知 $f'(x)=6\cos 3x-12\sin 3x$ 且 $f\left(\frac{\pi}{3}\right)=0$ 。求 $f(x)$ 。求 $f''\left(\frac{\pi}{12}\right)$ 的精确值。
20已知 $α$ 是 $\triangle ABC$ 的一个内角， $\tan α= \dfrac {3}{4}$ ，则 $\cos (α+ \dfrac {π}{4} )$ 等于 $(\:\:\:\:)$ A. $\dfrac {7 \sqrt {2}}{10}$ …
21在 $\triangle ABC$ 中，若 $b^{2}=ac$ ， $B=60^{\circ}$ ，则 $A=$ ( ) A. $120^{\circ}$ B. $60^{\circ}$ C. $45^{\circ}$ D.…
22一个质点 P 在距离定点 O 处 3 m 的位移处开始沿直线运动，初始速度为 8 m/s。质点在运动 $t$ 秒后的速度 $v$ m/s 由 $v = 5\cos t + 2\sin t + c$ 给出。求 $c$ 的值。求质点的初始速…
23已知数列 $\{a_{n}\}$ 为等差数列，且 $a_{1}+a_{7}+a_{13}=π$ ，则 $\tan (a_{2}+a_{12})$ 的值为 $()$ A. $\sqrt {3}$ B. $- \sqrt {3}$ …
24如图所示，一个半顶角为 $30^\circ$ 的圆锥形容器中正在以一定的速度注水。在 $t$ 秒后，水的深度为 $x\text{ cm}$ ，水面的半径为 $r\text{ cm}$ 。证明水的体积 $V = \frac{\pi x^3}{9}\text{ cm}^3$ …
25已知函数 $f(x)$ 满足 $f'(x) = \sin 2x + \cos 3x$ 。又已知 $f\left(\frac{\pi}{6}\right) = 0$ ，证明 $f''(x) + 9f(x) = -\frac{3}{4} - \frac{5}{2}\cos 2x$ …
26一个三角形用斜二测画法画出来的直观图是边长为 $2$ 的正三角形，则原三角形的面积是 $()$ A. $2 \sqrt {6}$ B. $4 \sqrt {6}$ C. $\sqrt {3}$ D. 都不对
27证明 $\frac{d}{dx}(\tan^{3} 2x) = 6\sec^{4} 2x - 6\sec^{2} 2x$ 。由此求 $\displaystyle \int_{0}^{\pi/8} \sec^{4} 2x\, dx$ 的精确值…
28农夫用 160 米长的栅栏围起他的一块土地，该土地的形状由一个等腰三角形和一个矩形组成，其尺寸如图所示。证明该土地的面积为 $\dfrac{320\sqrt{3}\,x - (3\sqrt{3} + 6)\,x^2}{4}\ \text{m}^2.$ …
29图中显示了对于 $0 \le x \le \tfrac{3\pi}{2}$ 弧度，曲线 $y = a\cos bx + c$ 的图像。图中指出了一个极小值点 $(\tfrac{\pi}{2}, -2)$ 和一个极大值点 $(\tfrac{5\pi}{4}, 4)$ …
30已知函数 $f(x)= \sqrt{3}\sin (ωx- \dfrac{π}{6})+b(ω > 0)$ ，且函数图象的对称中心到对称轴的最小距离为 $\dfrac{π}{4}$ ，当 $x∈[0, \dfrac{π}{4}]$ …
31已知曲线方程为 $y = e^{-2x}\tan x$ 。证明 $\dfrac{dy}{dx} = e^{-2x}(1 - \tan x)^2$ 。用含 $\pi$ 的式子表示当 $0 < x < \dfrac{\pi}{2}$ 时驻点的…
32求 $3x \sin 2x$ 对 $x$ 的导数。由此，求 $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} x \cos 2x \text{ d}x$ 的值。
33已知 $y = 2\cos x \sin 2x - \sin x \cos 2x$ ，证明 \dfrac{dy}{dx} = k\cos x \cos 2x $，并写出$ k $的值。由此证明 $$\int_{0}^{\pi/4}\left(7\cos x\cos 2x + \sec^{2} x\right)\,dx = \dfrac{7\sqrt{2}}{3} + 1.$ …
34证明 $3\cos^2 x + \sin^2 x = 2 + \cos 2x$ 。因此，利用 (a) 部分的结果，因此，利用 (a) 部分的结果，求 $3\cos^2 22.5^\circ + \sin^2 22.5^\circ$ 的精…
35求函数 $f(x)=\tan x$ ， $x\in[-\dfrac{\pi}{4},\dfrac{\pi}{3}]$ 的最大值和最小值.
36在直角坐标系 $xOy$ 中，圆 $C$ 的方程为 $(x- \sqrt {3})^{2}+(y+1)^{2}=9$ ，以 $O$ 为极点， $x$ 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． (1)求圆 $C$ 的极坐标方程； (2)直线 $OP$ …
37图中显示了曲线 $y = \sin x$ 的一部分。 A 是曲线上的一个点，且在直线 $x = \frac{\pi}{3}$ 上。直线 AC 垂直于 x 轴。若曲线在点 A 处的法线与 x 轴交于点 B，求 A 和 B 的确切坐标。 D…
38在平面直角坐标系中，曲线 $C_{1}$ 的参数方程为 $\begin{cases}x=-1+\sqrt{5}\cos α\\ y=-2+\sqrt{5}\sin α\end{cases}(α$ 为参数 $).$ 以坐标原点 $O$ 为极点…
39已知向量 $\overrightarrow{a}=(-2,1)$ ， $\overrightarrow{b}=(3,-4)$ ． (1)求 $( \overrightarrow{a}+ \overrightarrow{b})⋅(2 \overrightarrow{a}- \overrightarrow{b})$ …
40证明 $\csc 2x + \cot 2x = \cot x$ 。由此推导 $\cot 15^\circ$ 的根式形式的值。利用第 (i) 部分，求解 $0^\circ \le x \le 360^\circ$ 范围内的方程 $\csc 2x + \cot 2x = 6 - 5\tan x$ …
41证明三角恒等式： $\dfrac{\csc^{2}A + 2\cot A}{(\cos A + \sin A)^{2}} = \csc^{2}A$ 由此求解方程： $\csc^{2}A + 2\cot A = 4(\cos A + \sin A)^{2} \quad\text{对于 }\; 0 \le x \le 360^{\circ}.$ …
42直线 $\sqrt{3}x{-}y{-}3{=}0$ 的倾斜角为 $({ })$ A. $30^{{∘}}$ B. $60^{{∘}}$ C. $\ 120^{{∘}}$ D. $\ 150^{{∘}}$
43在不使用计算器的情况下，化简下列三角函数。 $\sin \left(x + \frac{4\pi}{3}\right)$ $\cos 75^\circ$ $\tan(\theta - 45^\circ)$
44计算 $\int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \left( \frac{1}{2} \sin 3x - \cos^2 x \right) dx$ ，结果精确到两位小数。
45已知函数 $\mathrm{f}(x)$ 满足 $\mathrm{f}'(x) = 3 \sin x \cos x$ ，且 $\left(\frac{\pi}{2}, 1\right)$ 是 $\mathrm{f}(x)$ 图像上的一点。求…
46上图显示了一个三角形棱柱形状的微型模型。一根长 36 cm 的铁丝穿过该三角形棱柱的所有棱。棱柱的横截面是边长为 $x$ cm 的等边三角形，棱柱的长度为 $y$ cm。证明该棱柱的总表面积 A cm^2 满足 $A=\frac{\sqrt{3}-12}{2}x^2+36x.$ …
47计算： $(π- \sqrt {5})^{0}+ \sqrt {4}+(-1)^{2015}- \sqrt {3}\tan 60^{\circ}$ ．
48已知函数 $g(x)= \dfrac {1}{x\cdot \sin \theta }+\ln x{在}[1,+∞)$ 上为增函数，且 $θ∈(0,π),f(x)=mx- \dfrac {m-1+2e}{x}-\ln x,m∈R$ ． (1…
49已知函数 $y=\cos x$ 与 $y=\sin (2x+φ)(0\leqslant φ\leqslant π)$ ，它们的图象有一个横坐标为 $\dfrac {π}{3}$ 的交点，则 $φ=()$ A. $\dfrac {π}{6}$ …
50计算： ${\left(1- \sqrt{2}\right)}^{0}-\tan 60^{\circ}+{\left(- \dfrac{1}{2}\right)}^{-1}+ \dfrac{2}{ \sqrt{3}-1}$ ；
51测量塔高 $AB$ 时，选取与塔底 $B$ 在同一水平面内的两个测量点 $C$ 与 $D$ ，现测得 ${\rm∠}BCD=\dfrac{5π}{12}$ ， ${\rm∠}BDC=\dfrac{π}{3}$ ， $CD=100$ ，在点 $C$ …
52计算： $|-2|-(π-2)^{0}+(\dfrac{1}{3})^{-1}-4\tan 45°.$
53图中显示了在 $0 \le x \le 8\pi$ 弧度内的曲线 $y = p \sin \frac{x}{q} + r$ 。该曲线在 $(2\pi, -3)$ 处有一个极小值点，在 $(6\pi, 1)$ 处有一个极大值点。证明 $r = -1$ …
54证明 $\dfrac{d}{dx}(\cot x) = -\csc^{2} x$ 。由此求 $\displaystyle \int_{\pi/4}^{\pi/2} -\cot^{2} x\, dx$ 的值。
55(1)计算： ${{(-\dfrac{1}{3})}^{-2}}+{{(\pi -\tan 60{}^\circ )}^{0}}-2\sqrt{3}\cos 30{}^\circ (2)$ 解方程： $x(x-2)=3x+1$
56已知 $\triangle ABC$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，满足 $b\cos A+a\cos B=2c\cos B$ ， $b=2\sqrt{3}$ ，则 $\triangle ABC$ …
57该图显示了曲线 $y = 2 \sin 2x + 1$ 的一部分。 $P$ 是该曲线的最高点，而 $Q$ 是曲线上切线斜率为 $-4$ 的点。求 $P$ 和 $Q$ 的坐标。求由曲线、坐标轴、直线 $PQ$ 和垂直线 $QR$ 围成的阴影…
58已知 $θ∈( \dfrac {π}{2},\;π)$ ，且 $\sin θ= \dfrac {3}{5}$ ． $($ Ⅰ $)\tan θ=$ ___ ； $($ Ⅱ $)$ 求 $\cos (θ+ \dfrac {π}{3})$ …
59证明 $\cos(A + B) \cos(A - B) = \cos^2 A + \cos^2 B - 1$ 。由此，求 $\cos 15^\circ \cos 75^\circ$ 的值（不使用计算器）。
60在不使用计算器的情况下，证明 $\cot 15^\circ = 2 + \sqrt{3}$ 。由此证明 $\csc^2 15^\circ = 4 \cot 15^\circ$ 。