已知向量$\overrightarrow{a}=(-2,1)$，$\overrightarrow{b}=(3,-4)$． (1)求$( \overrightarrow{a}+ \overrightarrow{b})⋅(2 \overrightarrow{a}- \overrightarrow{b})$的值； (2)求向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{a}+ \overrightarrow{b}$的夹角．

1. 计算向量 $\vec{a}+\vec{b}$ 和 $2\vec{a}-\vec{b}$ 的坐标

已知向量 $\vec{a}=(-2,1)$，$\vec{b}=(3,-4)$．
则：
$\vec{a}+\vec{b} = (-2+3, 1-4) = (1,-3)$
$2\vec{a}-\vec{b} = 2(-2,1) - (3,-4) = (-4,2) - (3,-4) = (-7,6)$

2. 利用数量积的坐标表示计算数量积的值

根据平面向量数量积的坐标运算公式，得：
$(\vec{a}+\vec{b})\cdot(2\vec{a}-\vec{b}) = 1 \times (-7) + (-3) \times 6 = -7 - 18 = -25$

1. 计算向量的模长及它们之积

由第(1)问已得 $\vec{a}+\vec{b} = (1,-3)$．
计算向量的模长：
$|\vec{a}| = \sqrt{(-2)^2 + 1^2} = \sqrt{5}$
$|\vec{a}+\vec{b}| = \sqrt{1^2 + (-3)^2} = \sqrt{10}$
计算数量积：
$\vec{a}\cdot(\vec{a}+\vec{b}) = -2 \times 1 + 1 \times (-3) = -5$

2. 利用夹角公式求出夹角的余弦值，并求出夹角的大小

设向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{a}+\vec{b}$ 的夹角为 $\theta$．
则其余弦值为：
$\cos \theta = \frac{\vec{a}\cdot(\vec{a}+\vec{b})}{|\vec{a}||\vec{a}+\vec{b}|} = \frac{-5}{\sqrt{5} \times \sqrt{10}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$
因为 $\theta \in [0^\circ, 180^\circ]$，
所以 $\theta = 135^\circ$（或 $\frac{3\pi}{4}$）．