已知两定点$M(0,1)$，$N(1,2)$，平面内一动点$P$到$M$的距离与$P$到$N$的距离之比为$\sqrt {2}$，直线$y=kx-1$与点$P$的轨迹交于$A$，$B$两点． (1)求点$P$的轨迹方程，并指出是什么图形； (2)求实数$k$的取值范围； (3)是否存在$k$使得$\overrightarrow{OA}⋅ \overrightarrow{OB}=11(O$为坐标原点$)$，若存在求出$k$的值，若不存在，请说明理由．

1. 设动点坐标并根据距离比建立方程

设动点 $P$ 的坐标为 $(x, y)$．
由题意知 $\frac{|PM|}{|PN|} = \sqrt{2}$，即 $|PM|^2 = 2|PN|^2$．
根据两点间距离公式代入得：
$x^2 + (y-1)^2 = 2\left[(x-1)^2 + (y-2)^2\right]$

2. 展开化简方程并指出图形名称

展开得：
$x^2 + y^2 - 2y + 1 = 2(x^2 - 2x + 1 + y^2 - 4y + 4)$
$x^2 + y^2 - 2y + 1 = 2x^2 - 4x + 2y^2 - 8y + 10$
移项整理得：
$x^2 - 4x + y^2 - 6y + 9 = 0$
配方得：
$(x-2)^2 + (y-3)^2 = 4$
所以点 $P$ 的轨迹是以 $(2,3)$ 为圆心，2 为半径的圆．

1. 利用圆心到直线的距离小于半径建立不等式

由 (1) 知点 $P$ 的轨迹圆圆心为 $C(2,3)$，半径 $R = 2$．
直线方程可化为一般式 $kx - y - 1 = 0$．
因为直线与圆交于 $A, B$ 两点，所以圆心 $C(2,3)$ 到直线的距离 $d < R$：
$d = \frac{|2k - 3 - 1|}{\sqrt{k^2 + 1}} = \frac{|2k - 4|}{\sqrt{k^2 + 1}} < 2$

2. 求解不等式得 $k$ 的取值范围

两边同除以 2 得：
$\frac{|k - 2|}{\sqrt{k^2 + 1}} < 1 \implies |k - 2| < \sqrt{k^2 + 1}$
平方得：
$(k - 2)^2 < k^2 + 1$
$k^2 - 4k + 4 < k^2 + 1$
$-4k < -3 \implies k > \frac{3}{4}$
所以实数 $k$ 的取值范围是 $k > \frac{3}{4}$．

1. 联立直线与圆方程，用韦达定理表达交点坐标和与积

设 $A(x_1, y_1)$，$B(x_2, y_2)$．
联立直线 $y = kx - 1$ 与圆 $x^2 + y^2 - 4x - 6y + 9 = 0$ 的方程：
$x^2 + (kx - 1)^2 - 4x - 6(kx - 1) + 9 = 0$
$x^2 + k^2 x^2 - 2kx + 1 - 4x - 6kx + 6 + 9 = 0$
$(1 + k^2)x^2 - (8k + 4)x + 16 = 0$
由韦达定理得：
$x_1 + x_2 = \frac{8k + 4}{1 + k^2}, \quad x_1 x_2 = \frac{16}{1 + k^2}$

2. 用 $k$ 表示向量数量积 $\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB}$

因为 $y_1 = kx_1 - 1$，$y_2 = kx_2 - 1$，所以：
$\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = x_1 x_2 + y_1 y_2 = x_1 x_2 + (kx_1 - 1)(kx_2 - 1)$
$= (1 + k^2)x_1 x_2 - k(x_1 + x_2) + 1$
代入韦达定理结论：
$\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = (1 + k^2) \cdot \frac{16}{1 + k^2} - k \cdot \frac{8k + 4}{1 + k^2} + 1$
$= 17 - \frac{8k^2 + 4k}{1 + k^2}$

3. 列方程求解 $k$ 并检验范围

令 $\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = 11$：
$17 - \frac{8k^2 + 4k}{1 + k^2} = 11$
$\frac{8k^2 + 4k}{1 + k^2} = 6$
$8k^2 + 4k = 6(1 + k^2)$
$2k^2 + 4k - 6 = 0$
$k^2 + 2k - 3 = 0$
解得 $k = 1$ 或 $k = -3$．
由第 (2) 问知 $k > \frac{3}{4}$，故舍去 $k = -3$．
因此存在 $k = 1$ 使得 $\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = 11$．