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圆的方程

以下形式圆的坐标几何：

$(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}$
$x^{2} + y^{2} + 2gx + 2fy + c = 0$
（不包括涉及两个圆的问题）

这个知识点的练习题

1曲线 $C$ 的方程为 $y = \frac{x^2 + x + 3}{x - 2}$ 。在不使用计算器的情况下，求 $y$ 可取的值的集合。草拟 $C$ 的图像，清晰写出所有渐近线的方程，以及所有极值点和与坐标轴交点的坐标。通过在 *…
2求曲线 $y = 2x^2 - \ln x + c$ 的导函数。曲线在点 $T$ 处与正 $x$ 轴相切。求 $T$ 的坐标。证明 $c = -\ln 2\sqrt{e}$ 。求在点 $T$ 处 $\frac{\text{d}^2y}{\text{d}x^2}$ …
3圆的半径以 3 cm s^{-1} 的速率增加。用 $\pi$ 表示以下情况下面积的增加率：半径为 5 cm。面积为 $4\pi\ \text{cm}^2$ 。
4定积分 $\int_{0}^{1}(\sqrt{2x{-}x^{2}})dx$ 等于 $({ })$ A. $\dfrac{\pi}{4}$ B. $\dfrac{\pi}{2}$ C. $\dfrac{\pi{-}1}{4}$ …
5已知两定点 $M(0,1)$ ， $N(1,2)$ ，平面内一动点 $P$ 到 $M$ 的距离与 $P$ 到 $N$ 的距离之比为 $\sqrt {2}$ ，直线 $y=kx-1$ 与点 $P$ 的轨迹交于 $A$ ， $B$ 两点． (…
6圆的方程为 $x^2 + y^2 + 8x - 20y - 53 = 0$ 。求圆的半径以及圆心的坐标。求圆在点 $P(1, -2)$ 处的切线方程。点 $Q(9, 10)$ 在该圆上。解释为什么圆在 $Q$ 点处的切线平行于 $y$ …
7一圆心为 O 的圆穿过点 P(-1,7) 和 Q(0,8)。阐述 PQ 的垂直平分线与点 O 之间的关系。已知直线 $y=2x-2$ 穿过该圆的圆心，求 O 的坐标。由此求该圆的方程。
8两个点 $A(-3, -6)$ 和 $B(7, -6)$ 位于圆心为 $G$ 的圆上。在点 $Q(1, -12)$ 处该圆的切线方程为 $x + 5y + 59 = 0$ 。证明 $G$ 的坐标为 $(2, -7)$ 。求该圆的方程，表示为…
9圆 $C$ 的半径为 $5$ ，圆心在 $x$ 轴的负半轴上，且被直线 $3x+4y+4=0$ 截得的弦长为 $6$ ，则圆 $C$ 的方程为 $\left(\;\;\;\right)$ A. $x^{2}+y^{2}-2x-3=0$ …
10在平面直角坐标系 $xOy$ 中，曲线 $C$ 的参数方程为 $\begin{cases} \overset{x=4\cos a+2}{y=4\sin a}\end{cases}(a$ 为参数 $)$ ，以 $O$ 为极点，以 $x$ 轴…
11求过 $A(1,0)$ 与 $B(0,1)$ 两点，且在 $x$ 轴上截得的弦长等于 $6$ 的圆的方程．
12已知圆 $C_1$ 的方程为 $x^2 - 6x + y^2 + 10y = 66$ 。 $x$ 轴和 $y$ 轴是圆 $C_1$ 的切线吗？解释你的答案。点 $(2, -4)$ 位于 $C_1$ 的内部、上还是外部？清楚地写出你的解答过程…
13圆 $C_1$ 的方程由 $x^2 + y^2 - 4x - 8y = 0$ 给出。求 $C_1$ 的圆心坐标和半径。点 $A\ (0,8)$ 在圆 $C_1$ 上。求圆 $C_1$ 在点 $A$ 处的切线方程。将圆 $C_1$ 关…
14已知圆的方程 ${{(x-2)}^{2}}+{{y}^{2}}=1$ ，过圆外一点 $P\left(3,4\right)$ 作一条直线与圆交于 $A,B$ 两点，那么 $\overrightarrow{PA}\cdot \overrightarrow{PB}=$ …
15已知圆心为 $C$ 的圆过点 $A(0,-6)$ 和 $B(1,-5)$ ，且圆心在直线 $l$ ： $x-y+1=0$ 上． (1)求圆心为 $C$ 的圆的标准方程； (2)过点 $M(2,8)$ 作圆的切线，求切线方程．
16A(1, 7) 和 B(9, 7) 位于圆心为 P 的圆 $C_1$ 上。直线 $4y + 3x = 31$ 是该圆的一条法线，且通过点 A。一个更大的圆 $C_2$ 与 $C_1$ 具有相同的圆心 $P$ ，其半径是 $C_1$ 半径的三…
17点 $M(0,2)$ 与圆 $C$ ： $(x-a)^{2}+y^{2}=1(a\in R)$ 的位置关系是 $(\quad)$ A. 点 $M$ 在圆 $C$ 内 B. 点 $M$ 在圆 $C$ 上 C. 点 $M$ 在圆 $C$ 外…
18已知圆 $C$ ： $(x+1)^{2}+(y-1)^{2}=1$ 与 $x$ 轴切于 $A$ 点，与 $y$ 轴切于 $B$ 点，设劣弧 $\hat AB$ 的中点为 $M$ ，则过点 $M$ 的圆 $C$ 的切线方程是 $()$ A…
19从点 $P(3,-1)$ 向圆 $x^{2}+y^{2}-4y-5=0$ 作切线 $PT(T$ 为切点 $)$ ，则 $|PT|$ 等于 $(\quad)$ A. $5\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:$ …
20本题不接受通过精确作图得出的解答。图中显示了一个等腰三角形 PQR，其中 $PQ = QR$ 。三角形的顶点为 P(k, 4)、Q(5, 3) 和 R(9, 10)。求 k 的值。过点 Q 作直线交 y 轴于点 S，使得 $PS = SR$ …
21圆的方程为 $x^2 + y^2 + 2x - 8y - 8 = 0$ 。求圆心 $C$ 的坐标和该圆的半径。求圆在点 $P(-2, 8)$ 处的切线方程。如果该圆关于直线 $y = 1$ 进行反射，求反射后的圆的方程。求该圆内接最大…
22点 $P$ 和 $Q$ 均在同一个圆上，它们的坐标分别为 $(-10, 15)$ 和 $(10, 0)$ 。该圆的圆心在直线 $4y = 3x + 37$ 上。点 $R$ 使得 $PR$ 是该圆的一条直径。求 $PQ$ 的垂直平分线方程。…
23已知圆 $\mathbf{C}_{\mathbf{1}}$ ： $\mathbf{x}^{\mathbf{2}}\mathbf{\text{+}}\mathbf{y}^{\mathbf{2}}\mathbf{\text{-}6}\mathbf{x\text{-}6\text{=}0}$ …
24已知三个点 $A(0,0)$ ， $B(2,0)$ ， $C(4,2)$ ，则 $\triangle ABC$ 的外心的纵坐标是 $(\quad)$ A. $\dfrac{3}{2}$ B. $3$ C. $\dfrac{5}{2}$ …
25直线 $y=9$ 、 $y=-1$ 和 $3y=4x+9$ 是一个圆的切线。圆心的 x 坐标为正数。解释为什么圆心的 y 坐标是 4。通过考虑判别式或其他方法，证明圆心的 x 坐标是 7。判断点 $(3,0)$ 是否在圆内。
26直线 $y=2x$ 与圆 $C:(x-2{)}^{2}+(y+1{)}^{2}=14$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，则 ${\rm\triangle}ACB$ 的面积等于 $(\quad).$ A. $\dfrac{3\sqrt[]{5}}{2}$ …
27在极坐标系中，圆心为 $(1, \dfrac {π}{2})$ ，且过极点的圆的方程是 $()$ A. $ρ=2\sin θ$ B. $ρ=-2\sin θ$ C. $ρ=2\cos θ$ D. $ρ=-2\cos θ$
28圆 $C_1$ 的方程为求圆 $C_1$ 的圆心坐标和半径。求圆 $C_2$ 的方程，其中 $C_2$ 是 $C_1$ 关于直线 $y = 1$ 对称所得的圆。已知该直线与圆 $C_1$ 相交于 $R$ 和 $S$ 两点，求线段 $RS$ …
29如果方程 $x^{2}+y^{2}+x+y+k=0$ 表示一个圆，则 $k$ 的取值范围是 $(\quad)$ A. $k>\dfrac{1}{2}$ B. $0< k< \dfrac {1}{2}$ C. $k< \dfrac {1}{2}$ …
30在平面直角坐标系中，曲线 $C_{1}$ 的参数方程为 $\begin{cases}x=-1+\sqrt{5}\cos α\\ y=-2+\sqrt{5}\sin α\end{cases}(α$ 为参数 $).$ 以坐标原点 $O$ 为极点…
31圆 $x^{2}+y^{2}-mx+y+m=0$ 在 $x$ 轴上截得的弦长是它在 $y$ 轴上截得的弦长的 $2$ 倍，则实数 $m$ 的值是 $(\quad)$ A. $-6-2\sqrt{10}$ B. $-6+2\sqrt{10}$ …
32过三点 $A(0,0)$ ， $B(0,2)$ ， $C(2,0)$ 的圆 $M$ 与直线 $l$ ： $kx-y+2-2k=0$ 的位置关系是 $(\quad)$ A. 相交 B. 相切 C. 相交或相切 D. 相切或相离
33直线 $l$ ： $kx-y+1=0$ 被圆 $x^{2}+y^{2}-4y=0$ 截得的最短弦长为 $()$ A. $2 \sqrt {3}$ B. $3$ C. $2 \sqrt {2}$ D. $2$
34已知 $O$ 为坐标原点， $M(1,2)$ ， $P$ 是抛物线 $C$ ： $y^{2}=2px(p>0)$ 上的一点， $F$ 为其焦点，若点 $F$ 与双曲线 $\dfrac{{{x}^{2}}}{3}-{{y}^{2}}=1$ 的…
35已知圆方程 $C_{1}$ ： $f(x,y)=0$ ，点 $P_{1}(x_{1},y_{1})$ 在圆 $C_{1}$ 上，点 $P_{2}(x_{2},y_{2})$ 不在圆 $C_{1}$ 上，则方程： $f(x,y)-f(x_{1},y_{1})-f(x_{2},y_{2})=0$ …
36圆心为 $C$ 的圆的方程为 $x^2 + y^2 -10x -4y +25 = 0$ 。求 $C$ 的坐标和圆的半径。解释为什么 x 轴是该圆的切线。在 $x = 3$ 处的圆的切线与 x 轴相交于点 P。求 P 的坐标。
37圆 $C_1$ 的方程为 $x^2 + y^2 - 4x + 6y = 36$ 。求 $C_1$ 的半径和圆心坐标。
38方程 $x^{2}+y^{2}+2x-4y-6=0$ 表示的图形是 $()$ A. 以 $(1,-2)$ 为圆心， $11$ 为半径的圆 B. 以 $(-1,2)$ 为圆心， $11$ 为半径的圆 C. 以 $(-1,2)$ 为圆心， $\sqrt {11}$ …
39已知圆 $C_{1}$ ： $x^{2}+y^{2}=r^{2}(r > 0)$ 与抛物线 $C_{2}$ ： $x^{2}=2py(p > 0)$ ，点 $( \sqrt {2},-2)$ 是圆 $C_{1}$ 与抛物线 $C_{2}$ …
40在直角坐标系 $xOy$ 中，曲线 ${{C}_{1}}$ 的方程为 $y=k\left| x \right|+2.$ 以坐标原点为极点， $x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 ${{C}_{2}}$ 的极坐标方程为 ${{\rho }^{2}}+2\rho \cos \theta -3=0$ …
41图中显示了曲线 $y = \\sqrt{2x + 4}$ 的一部分，曲线与 $x$ 轴交于点 $A$ ，与 $y$ 轴交于点 $B$ 。曲线在点 $B$ 处的法线与 $x$ 轴交于点 $C$ 。写出 $B$ 点的坐标。求 $C$ 点的坐标。…
42如图（未按比例绘制）所示，直角三角形 PQR 中，点 P 为 (5, 4)，点 R 为 (9, 2)。点 S 为 (-1.5, 11)，且 PR 平行于 SQ。求 PQ 的方程。求 Q 的坐标。已知 T 是 QR 延长线上的一点，使…
43点 $P$ 在曲线 $y = \frac{kx^2}{\sqrt{2-x}}$ 上，其中 $k$ 是常数。 $P$ 的 $x$ 坐标为 $-2$ 。已知 $P$ 点处的法线斜率为 $\frac{1}{7}$ ，求证 $k = 4$ 。点 $P$ …
44如图所示，这是一个顶点为 A(6, 8)、B、C 和 D 的梯形。边 AB 与 DC 平行，且角 ABC 为 $90^\circ$ 。 AB 穿过原点 O，且 AB 的长度为 15 个单位。点 C 和 D 分别位于 y 轴和 x 轴上。…
45已知点 $(a+1,a-1)$ 在圆 $x^{2}+y^{2}-2ay-4=0$ 外，则实数 $a$ 的取值范围为 $(\quad)$ A. $a< 1$ B. $a>1$ C. $0< a< 1$ D. $a>\dfrac{1}{5}$ …
46在下图中，直线 $OP$ 与 $x$ 轴正方向成 $\alpha^\circ$ 的角，使得 $\tan \alpha = 0.2$ ，且 $Q$ 位于 $x$ 轴上。已知 $OP = \frac{\sqrt{26}}{2}$ 单位长度，证明…
47本题若通过精确绘图求解将不予评分。 $OABC$ 是一个直角为 $\angle OAB$ 的梯形。 $A$ 和 $B$ 的坐标分别为 $(-2k, 3k)$ 和 $(0, t)$ ，其中 $k > 0$ ，且 $OA = \sqrt{117}$ …
48点 $A(5, 7)$ 和 $B(-11, 15)$ 在圆 $C$ 上。圆心 $O$ 在直线 $y = -2x - 3$ 上。求 $AB$ 的垂直平分线方程。求该圆的方程。点 $D$ 在该圆上，使得角 $ABD$ 为 $90^\circ$ …
49已知直线 $l$ ： $kx+y-2=0(k∈R)$ 是圆 $C$ ： $x ^{2} +y ^{2} -6x+2y+6=0$ 的一条对称轴，过点 $A(0 , k)$ 作圆 $C$ 的一条切线，切点为 $B$ ，则线段 $AB$ 的长度为…
50圆 $x^{2}+y^{2}-2x-5=0$ 和圆 $x^{2}+y^{2}+2x-4y-4=0$ 的交点为 $A$ 、 $B$ ，则线段 $AB$ 的垂直平分线方程为 $(\quad)$ A. $x+y-1=0\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:$ …
51圆 $C_1$ 的方程为 $x^2 + y^2 - 4x + 6y - 3 = 0$ 。求 $C_1$ 的圆心坐标和半径。解释为什么 $C_1$ 与直线 $y = 1$ 相切。求圆 $C_2$ 的方程，其中 $C_2$ 是 $C_1$ …
52已知圆 $C$ 的圆心在直线 $y=x+1$ 上，且圆 $C$ 与 $x$ 轴相切，点 $P(-5,-2)$ 在圆 $C$ 上，点 $Q(-4,-5)$ 在圆 $C$ 外． (1)求圆 $C$ 的方程； (2)若过点 $(-2,-4)$ 的…
53直线 $l$ ： $mx+y-m-2=0$ 与圆 $C$ ： $(x-3)^{2}+(y-4)^{2}=25$ 交于 $A$ ， $B$ 两点， $C$ 为圆心，当 $∠ACB$ 最小时，直线 $l$ 的方程是 ___ ．
54已知圆 $O$ ： $x^{2}+y^{2}=4$ 和圆 $C$ ： $(x-2)^{2}+(y-3)^{2}=1.$ 现给出如下结论，其中正确的是 $(\quad)$ A. 圆 $O$ 与圆 $C$ 有四条公切线 B. 过 $C$ 且在…
55求圆 $x^2 + y^2 - 4x + 6y - 12 = 0$ 的圆心坐标和半径。
56已知 $f(x) = \begin{cases} \sqrt{4a^2 - x^2} & \text{对于 } 0 \le x \le 2a, \\ 3x - 6a & \text{对于 } 2a < x < 3a, \end{cases}$ …
57下图未按比例绘制。在图中，D、E 和 F 是圆 C1 上的点。证明 DE 是圆 C1 的直径，并由此求出 C1 的圆心。求圆 $C_1$ 的方程，表示为 $x^2 + y^2 + p x + q y + r = 0$ 的形式，其中 $p$ …
58圆心为 $C$ 的圆的方程为 $x^{2}+y^{2}-8x-2y-152=0$ 。求 $C$ 的坐标及该圆的半径。求 $C$ 的坐标及该圆的半径。证明点 $P(9, 13)$ 在圆上。证明点 $P(9, 13)$ 在圆上。直线 $l$ …
59圆在点 $(-3,3)$ 处的切线通过原点。求圆在点 $(-3,3)$ 处的法线方程。圆的另一条法线通过点 $(0,-1)$ 且平行于直线 $5y=-2x+7$ 。求该圆的方程。求圆上距离 y 轴最远的点的坐标。将你的答案写成 $(m + n\sqrt{2}, k)$ …
60圆 $C_1$ 的方程为 $x^2 + y^2 + 2x - 6y = 10$ 。求该圆的圆心坐标和准确半径。 A、B、E 和 F 是另一个圆 $C_2$ 上的 4 个点。 $EF$ 是弦 $AB$ 的垂直平分线。 $EF$ 与 $AB$ 交…