曲线 $C$ 的方程为 $y = \frac{x^2 + x + 3}{x - 2}$。

1. 将分式函数方程转化为关于 $x$ 的二次方程

由 $y = \frac{x^2 + x + 3}{x - 2}$，整理得：
$y(x - 2) = x^2 + x + 3$
$x^2 + (1 - y)x + (3 + 2y) = 0$

2. 利用实根存在条件 $\Delta \ge 0$ 列出关于 $y$ 的不等式并求解

因为 $x$ 为实数，所以该二次方程的判别式必须满足 $\Delta \ge 0$：
$\Delta = (1 - y)^2 - 4(1)(3 + 2y) \ge 0$
$1 - 2y + y^2 - 12 - 8y \ge 0$
$y^2 - 10y - 11 \ge 0$
$(y - 11)(y + 1) \ge 0$
解得 $y \le -1$ 或 $y \ge 11$。
因此，$y$ 可取的值的集合为 $\{y \in \mathbb{R} : y \le -1 \text{ 或 } y \ge 11\}$。

1. 求渐近线方程

对 $y = \frac{x^2 + x + 3}{x - 2}$ 进行化简：
$y = x + 3 + \frac{9}{x - 2}$
当 $x \to 2$ 时，$y \to \infty$，故垂直渐近线为 $x = 2$。
当 $x \to \pm\infty$ 时，$\frac{9}{x - 2} \to 0$，故斜渐近线为 $y = x + 3$。

2. 求转折点坐标与坐标轴截距

求导：$\frac{dy}{dx} = 1 - \frac{9}{(x - 2)^2} = 0 \implies (x - 2)^2 = 9 \implies x - 2 = \pm 3$。
得 $x = 5$ 或 $x = -1$。
当 $x = 5$ 时，$y = 11$，极小值点为 $(5, 11)$；
当 $x = -1$ 时，$y = -1$，极大值点为 $(-1, -1)$。

与 $y$ 轴交点：当 $x = 0$ 时，$y = -1.5$，交点为 $(0, -1.5)$。
与 $x$ 轴交点：$x^2 + x + 3 = 0$ 的 $\Delta = 1 - 12 = -11 < 0$，无实根，故与 $x$ 轴无交点。

3. 绘制曲线草图

画出两条虚线渐近线 $x = 2$ 与 $y = x + 3$，标出极小值点 $(5, 11)$、极大值点 $(-1, -1)$ 和 $y$ 轴截距 $(0, -1.5)$，绘制分居于垂直渐近线两侧的双分支双曲线草图。

1. 将代数方程变形为几何距离/圆的方程结构

原方程为：
$(x+1)^2(x-2)^2 + (x^2+x+3)^2 = k^2(x-2)^2$
两边同除以 $(x-2)^2$（因为 $x = 2$ 显然不是原方程的根）：
$(x+1)^2 + \left(\frac{x^2+x+3}{x-2}\right)^2 = k^2$
即：
$(x+1)^2 + y^2 = k^2$
这表示以点 $A(-1, 0)$ 为圆心、半径为 $k$ 的圆 $(k > 0)$ 与曲线 $C$ 的交点方程。

2. 借助图像分析曲线 $C$ 在 $x > 0$ 区域与圆相交的临界条件

原方程有至少一个正实根 $x > 0$，等价于圆 $(x+1)^2 + y^2 = k^2$ 与曲线 $C$ 在 $x > 0$ 的区域至少有一个交点。

观察 (ii) 中的图像：
对于 $x \in (0, 2)$，曲线 $C$ 位于第四象限，其 $y$ 值从 $x \to 0^+$ 时的 $y \to -1.5$ 连续单调递减至 $-\infty$。
当 $x \to 0^+$ 时，点 $(x, y)$ 趋近于 $(0, -1.5)$。
圆心 $A(-1, 0)$ 到边界点 $(0, -1.5)$ 的距离为：
$d_0 = \sqrt{(0 - (-1))^2 + (-1.5 - 0)^2} = \sqrt{1 + 2.25} = \sqrt{3.25} \approx 1.80278$
当 $x$ 从 $0$ 增加到 $2$ 时，点 $(x, y)$ 到 $A(-1, 0)$ 的距离 $d(x) = \sqrt{(x+1)^2 + y^2}$ 严格单调递增，且范围为 $(\sqrt{3.25}, +\infty)$。
因此，当 $k > \sqrt{3.25}$ 时，圆必与曲线 $C$ 在 $0 < x < 2$ 区域有交点（即正实根）。

3. 给出精确到 3 位小数的 $k$ 的取值范围

计算临界值：
$\sqrt{3.25} \approx 1.8027756...$
保留三位小数，得 $k > 1.803$。