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驻点

驻点（极大值和极小值转折点，以及水平拐点）

这个知识点的练习题

1曲线 $C$ 的方程为 $y = \frac{x^2 + x + 3}{x - 2}$ 。在不使用计算器的情况下，求 $y$ 可取的值的集合。草拟 $C$ 的图像，清晰写出所有渐近线的方程，以及所有极值点和与坐标轴交点的坐标。通过在 *…
2如图所示，一个建在矩形底面上的温室。建造拱形屋顶和两个完全相同的半圆形侧面共使用了 $140\text{ m}^2$ 的聚乙烯薄膜。每个半圆的半径为 $r\text{ m}$ ，温室的长度为 $y\text{ m}$ 。证明温室的体积 $V\text{ m}^3$ …
3曲线的方程由 $y = x + \sin^2 x$ 给出，其中 $0 \le x \le \pi$ 。写出 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ 的表达式。求该曲线的驻点。确定该驻点的性质。
4一条曲线的方程为 $y = \sqrt{ax + (bx)^2} + cx^3 + d$ ，其中 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 和 $d$ 为常数。该曲线在 $x = 4$ 处与 x 轴相交，且在 $(1, 127)$ 处有一个转折点。直线 $y = -193x + 4$ …
5一个高为 $h$ 、底面半径为 $r$ 的圆锥恰好内接于一个半径为 $5\text{ cm}$ 的球体中，如下图所示。 $\left(\text{圆锥的体积} = \frac{1}{3}\pi r^2 h\right)$ 用 $h$ 表示…
6图中所示为一个玻璃试管，其半径为 $r\text{ cm}$ ，高度为 $(h+r)\text{ cm}$ ，底部为一个半径为 $r\text{ cm}$ 的半球。试管的表面积为 $12\pi$ 。求证 $h = \frac{6-r^2}{r}$ …
7函数 $f(x)= \dfrac {x^{4}}{4}- \dfrac {x^{3}}{3}$ 的极值点为 $()$ A. $0$ B. $-1$ C. $0$ 或 $1$ D. $1$
8 $ABCD$ 是一个位于半径为 8 cm、圆心为 $O$ 的半圆内的矩形。已知 $AB = x$ cm 且 $BC = y$ cm。证明该矩形的面积 $A$ cm $^2$ 由 $A = \frac{x}{2}\sqrt{256 - x^2}$ …
9农夫用 160 米长的栅栏围起他的一块土地，该土地的形状由一个等腰三角形和一个矩形组成，其尺寸如图所示。证明该土地的面积为 $\dfrac{320\sqrt{3}\,x - (3\sqrt{3} + 6)\,x^2}{4}\ \text{m}^2.$ …
10本题不接受通过精确作图得出的解法。在梯形 $OABC$ 中，点 $A$ 的坐标为 $(5, 0)$ ，点 $C$ 的坐标为 $(-2, 6)$ 。边 $OC$ 和 $AB$ 平行，且 $BC$ 垂直于 $OC$ 。证明点 $B$ 的坐…
11一家工厂制造微型容器，该容器由一个封闭的圆柱体和一个半径相同的半球组成。圆柱体的半径为 $r\text{ cm}$ ，高为 $h\text{ cm}$ 。容器的体积为 $60\pi\text{ cm}^3$ 。用 $r$ 表示 $h$ 。该容器…
12已知曲线方程为 $y = e^{-2x}\tan x$ 。证明 $\dfrac{dy}{dx} = e^{-2x}(1 - \tan x)^2$ 。用含 $\pi$ 的式子表示当 $0 < x < \dfrac{\pi}{2}$ 时驻点的…
13曲线的方程为 $y = x^3 + kx^2 + kx + 8$ 。求满足下列条件的 $k$ 的取值集合：该曲线为单调递增函数，该曲线恰好有 1 个驻点。
14[半径为 r 的球体体积为 $\dfrac{4}{3}\pi r^3$ ，其表面积为 $4\pi r^2$ 。] 下图显示了一个容量为 $360\pi\ \text{cm}^3$ 的珍珠奶茶杯。它由一个底面半径为 $r$ cm、高为 $h$ c…
15一条曲线由方程 $y = \ln\left(\frac{\text{e}^x}{x^2 + 10}\right)$ 定义。证明对于所有实数 $x$ ，该曲线没有极值点。
16下图显示了 $y = \frac{x^2 + 2x + 5}{x + 3}$ 的部分图像。求极小值点 $P$ 的坐标。
17将一个高为 12 cm、底面半径为 5 cm 的圆锥罩在一个半径为 $r$ cm、高为 $h$ cm 的圆柱上。圆锥沿圆柱的上边缘与圆柱接触。图示为圆锥和圆柱的垂直截面。用 $r$ 表示 $h$ 。由此证明圆柱的体积 $V$ cm $^3$ …
18图中显示了一个棱柱，其横截面为梯形 $ABCD$ 。 $AB = 4x\text{ cm}$ ， $BC = DC = AD = 2x\text{ cm}$ 。该棱柱的长度为 $d\text{ cm}$ 。证明梯形 $ABCD$ 的面积为 $3\sqrt{3}x^2\text{ cm}^2$ …
19画出曲线 $y = x^3 - 4x$ 的草图，标出零点、极值点和拐点坐标。
20已知 $y = x(2x-4)^3$ 。求该曲线的驻点坐标，确定每个驻点的性质。
21上图显示了一个三角形棱柱形状的微型模型。一根长 36 cm 的铁丝穿过该三角形棱柱的所有棱。棱柱的横截面是边长为 $x$ cm 的等边三角形，棱柱的长度为 $y$ cm。证明该棱柱的总表面积 A cm^2 满足 $A=\frac{\sqrt{3}-12}{2}x^2+36x.$ …
22图中显示了曲线 $y = \sqrt{4x + 5}$ 的一部分。曲线在 $P$ 点处的法线与 $x$ 轴交于 $T$ 。 $P$ 的 $x$ 坐标为 5。已知 $PT$ 是 $PQ$ 的两倍，且 $RQ$ 平行于 $x$ 轴，求 $P$ 点…
23一个质点沿直线运动，在离开固定点 $O$ 后 $t$ 秒时，其速度 $v\text{ m s}^{-1}$ 由 $v = t^2 - 2kt - 6k$ 给出，其中 $k$ 为常数。质点的最小速度发生在 $t = 2$ 时。证明 $k = 2$ …
24园丁计划建造两个花坛，一个是半径为 $r$ m 的圆，另一个是边长为 $x$ m 的正方形。为了保护幼花，这两个花坛将用铁丝网围起来。所用铁丝网的总长度为 30 m。用 $r$ 和 $\pi$ 表示 $x$ 。两个花坛的总面积为 $A\text{ m}^2$ …
25已知一条曲线的方程为 $y = x^3 - 3x^2 + 3x - 7$ 。求该曲线上驻点的坐标。观察曲线斜率符号的变化，并确定该驻点的性质。
26该图显示了曲线 $y = 2 \sin 2x + 1$ 的一部分。 $P$ 是该曲线的最高点，而 $Q$ 是曲线上切线斜率为 $-4$ 的点。求 $P$ 和 $Q$ 的坐标。求由曲线、坐标轴、直线 $PQ$ 和垂直线 $QR$ 围成的阴影…
27一名骑行者从家 $O$ 出发沿一条笔直的道路运动。他的速度 $v\text{ m/min}$ 由 $v = 25 + 10t - 3t^2$ 给出，其中 $t$ 是离开 $O$ 后的时间（以分钟为单位）。计算当骑行者瞬时静止时的加速度，…
28已知曲线的方程为 $y = 3(4 - x)^{3} + 5$ 。求该曲线驻点的坐标。确定该驻点的性质。由此画出 $y = 3(4 - x)^{3} + 5$ 的图像草图，并标出所有的截距。
29一个胶囊由一个圆柱体和在其一端的半球体组成。圆柱体的高为 $h\text{ cm}$ ，半径为 $r\text{ cm}$ 。半球体的半径也为 $r\text{ cm}$ 。（球体体积 = $\frac{4}{3}\pi r^3$ ，球体表面…
30如图所示为一个玻璃窗 $ABCDEF$ ，由一个高为 $3x\text{ cm}$ 、宽为 $y\text{ cm}$ 的长方形 $ABEF$ 以及一个梯形 $BCDE$ 组成，其中 $CD = x\text{ cm}$ ， $BC = 2y\text{ cm}$ …
31图中显示了曲线 $y = 27 + \frac{8}{(x-2)^3}$ 的一部分，该曲线与坐标轴交于点 $A$ 和点 $B$ 。解释为什么该曲线没有驻点。求 $A$ 和 $B$ 的坐标。求曲线在点 $B$ 处的法线方程。曲线在点 $B$ …
32图中显示了一个纸镇，它由一个半径为 $r$ cm 的实心半球体，叠放在一个半径为 $2r$ cm、高为 $h$ cm 的实心圆柱体上方组成。已知该几何体的总体积为 $216\pi$ cm $^3$ ，请用 $r$ 表示 $h$ 。证明该几何体…
33点 $(a, 2)$ 是函数图像 $y = x^3 - x^2 - x + b$ 的一个驻点，其中 $a$ 和 $b$ 为正常数。证明 $a = 1$ 。求 $b$ 的值。求另一个驻点的坐标。判断每个驻点的类型。解方程 $2 \cos 2x - 3 \sec x + 2 = 0$ …
34通过使用合适的代换，或用其他方法，解方程 $3\log_6 x = \log_x 3 + \log_x 2 + \log_5 25.$ 在给定的坐标系中画出 $y = \log_6 x$ 的函数图象草图。标出与坐标轴的所有交点。已知一…
35已知函数 $f(x)=e^{x-k}-x$ ， $(x∈R)(1)$ 当 $k=0$ 时，若函数 $f(x)\geqslant m$ 在 $R$ 上恒成立，求实数 $m$ 的取值范围； (2)试判断当 $k > 1$ 时，函数 $f(x)$ …
36一曲线的方程为 $y = \frac{e^{2x}}{x-2}$ ，其中 $x > 2$ 。求 $\dfrac{dy}{dx}$ 。求驻点坐标的精确值。确定驻点的性质。
37一个沿直线运动的质点，以 $4\text{ m/s}$ 的速度通过一个固定点 $O$ 。在通过 $O$ 点 $t$ 秒后，其加速度为 $(6t - 8)\text{ m s}^{-2}$ 。求质点的最小速度，质点第一次达到瞬时静止的时间，…
38该图显示了一个猫抓架，它由一个固定在实心长方体上的实心圆柱体组成。圆柱体的半径为 $x\text{ cm}$ ，高度为 $y\text{ cm}$ 。长方体的底面是边长为 $3x\text{ cm}$ 的正方形，高度为 $x\text{ cm}$ …
39已知函数 $f(x)= \dfrac {ax}{e^{x}}$ 在 $x=0$ 处的切线方程为 $y=x$ ． (1)求 $a$ 的值； (2)若对任意的 $x∈(0,2)$ ，都有 $\dfrac {1}{f(x)} > k+2x-x^{2}$ …
40曲线方程为 $y = \frac{x}{e^{2x}}$ 。求 $\frac{dy}{dx}$ 的表达式。已知 $x$ 以 $0.18$ 单位/秒的恒定变化率变化，求当 $x = 1$ 时 $y$ 的变化率。解释该曲线是否具有多于一个驻…
41在 $\Delta ABC$ 中， $\angle ABC = 90^\circ$ ， $AB = 12\text{ cm}$ 且 $AC = 13\text{ cm}$ 。矩形 $BPQR$ 的顶点 $P$ 、 $Q$ 和 $R$ 分别位于 $BC$ …
42图示一个湖泊（阴影部分），其边缘有一条笔直平坦的道路 AXB。点 C 在湖面上，B 是距离 C 最近的点。距离 AB 为 30 m，BC 为 20 m。纳塔莉（Natalie）在道路上的 A 点，想要尽快到达 C 点。她的奔跑速度为 4…
43已知函数 $f(x)=m\ln x$ ． (1)讨论函数 $F(x)=f(x)+ \dfrac {1}{x}-1$ 的单调性； (2)定义：“对于在区域 $D$ 上有定义的函数 $y=f(x)$ 和 $y=g(x)$ ，若满足 $f(x)\leqslant g(x)$ …
44求函数 $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$ 的极值点和极值。
45[高为 $h$ 的棱锥体积为 $\tfrac{1}{3}\times(\text{底面积})\times h$ 。] 如图所示，有一张圆形的纸片，圆心为 $O$ ，半径 $OP = 6\text{ cm}$ 。 $ABCD$ 是一个边长为 $2x\text{ cm}$ …
46一位建筑师用 40 cm 长的铁丝为房间模型设计 2 个窗框。他希望他的设计能让尽可能多的光线穿过窗口。一个窗框是边长为 $x$ cm 的等边三角形，另一个是半径为 $r$ cm 的半圆形。证明由这两个窗框所围成的总面积 $A$ cm $^2$ …
47曲线的方程为 $y = x^2(6 - x)$ 。求该曲线驻点的坐标。使用二阶导数检验法确定每个驻点的极值性质。求使 $y$ 单调递增的 $x$ 的值域。
48图中显示了一块场地的轮廓，该场地由一个半径为 $r\text{ m}$ 的半圆弧和直角边长均为 $x\text{ m}$ 的直角三角形的边组成。该场地的周长为 $10\text{ m}$ 。证明该场地的面积 $A\text{ m}^2$ 由…
49已知曲线方程为 $y = \frac{\ln x}{x}$ 。求该曲线驻点的坐标。答案用 $e$ 表示。确定该驻点的性质。
50求函数 $y = 2x^3 - 9x^2 + 13$ 图像上驻点的坐标。由此，确定该（这些）驻点的性质。
51图示为一个实心物体，它由两个半径为 $x$ cm 的半球拼接在一个高为 $y$ cm 的圆柱两端组成。该物体的体积为 750 cm^3。用 $x$ 表示 $y$ 。证明该物体的表面积 $S$ cm^2 由下式给出： $S = \frac{4}{3}\pi x^2 + \frac{1500}{x}.$ …
52曲线的方程为 $y = e^{x^2 - 5x}$ 。求 $\frac{dy}{dx}$ 和 $\frac{d^2y}{dx^2}$ 的表达式。求该曲线驻点坐标的精确值。
53一个质点 $X$ 沿直线运动，在离开定点 $O$ 之后 $t$ 秒时，其速度 $v$ m/s 由 $v = \frac{1}{2}t^2 - t - 4$ 给出。计算当速度最小时，质点 $X$ 的位移。求质点改变运动方向的时刻。求在前…
54图示一个由薄塑料片制成的容器，形状为中空圆柱体。容器的长度为 $y$ cm，每个半圆形两端的半径均为 $r$ cm。所用塑料的总外表面积为 8500 cm $^2$ 。证明容器的体积 $V$ cm $^3$ 由 $4250r - \dfrac{1}{2}\pi r^3$ …
55一条曲线的方程为 $y = 2x^3 + 6x^2 - 18x + 5$ 。求驻点的坐标并确定这些驻点的性质。求该曲线的最小斜率以及取得最小斜率时的 $x$ 值。
56如图所示为 $3y = 7x + 6$ 和 $x + 5y = 12$ 图像的一部分。 $T$ 是 $3y = 7x + 6$ 上的一点，且 $U$ 是 $x + 5y = 12$ 上的一点。 $V$ 和 $W$ 是 $x$ 轴上的两个点，使得…
57曲线的方程为 $y = xe^{-3x}$ 。求驻点并判断其性质。
58图中显示了两条宽度分别为 9 m 和 4 m 且呈直角的走廊的交叉口。P 和 Q 是动点，且 PBQ 为一条直线。已知 CP 的长度为 x m，AQ 的长度为 y m，证明 $y = 4 + \frac{36}{x}$ 。求三角形 APQ…
59一个质点在直线上运动，使得在离开固定点 O 后 $t$ 秒时，其速度 $v$ m/s 由 $v = 16\bigl(2e^{-2t} - e^{-t}\bigr)$ 给出。求：质点到达距离 O 最远处的时间。距离 O 最远距离的值。质…
60如图所示，该图形是通过在一个宽为 $x$ cm 的矩形中切除一个等边三角形得到的。该图形的周长为 20 cm。证明该图形的面积 $A$ cm $^2$ 由下式给出： $A = 10x - \left(\frac{6+\sqrt{3}}{4}\right)x^2.$ …