已知函数$f(x)=m\ln x$． (1)讨论函数$F(x)=f(x)+ \dfrac {1}{x}-1$的单调性； (2)定义：“对于在区域$D$上有定义的函数$y=f(x)$和$y=g(x)$，若满足$f(x)\leqslant g(x)$恒成立，则称曲线$y=g(x)$为曲线$y=f(x)$在区域$D$上的紧邻曲线”.试问曲线$y=f(x+1)$与曲线$y= \dfrac {x}{x+1}$是否存在相同的紧邻直线，若存在，请求出实数$m$的值；若不存在，请说明理由．

1. 确定函数 $F(x)$ 的定义域并求出其导函数

函数 $F(x) = f(x) + \dfrac{1}{x} - 1 = m \ln x + \dfrac{1}{x} - 1$，定义域为 $(0, +\infty)$．
对 $F(x)$ 求导得：
$F'(x) = \dfrac{m}{x} - \dfrac{1}{x^2} = \dfrac{mx - 1}{x^2} \quad (x > 0)$

2. 分 $m \leqslant 0$ 与 $m > 0$ 讨论 $F'(x)$ 的符号，得出函数单调性

① 当 $m \leqslant 0$ 时，对于任意 $x \in (0, +\infty)$，有 $mx \leqslant 0$，故 $mx - 1 < 0$．
此时 $F'(x) < 0$，函数 $F(x)$ 在 $(0, +\infty)$ 上单调递减．

② 当 $m > 0$ 时，令 $F'(x) = 0$，解得 $x = \dfrac{1}{m}$．
当 $x \in \left(0, \dfrac{1}{m}\right)$ 时，$F'(x) < 0$，$F(x)$ 单调递减；
当 $x \in \left(\dfrac{1}{m}, +\infty\right)$ 时，$F'(x) > 0$，$F(x)$ 单调递增．

综上所述：

• 当 $m \leqslant 0$ 时，$F(x)$ 的单调递减区间为 $(0, +\infty)$；
• 当 $m > 0$ 时，$F(x)$ 的单调递减区间为 $\left(0, \dfrac{1}{m}\right)$，单调递增区间为 $\left(\dfrac{1}{m}, +\infty\right)$．

1. 分析两曲线均过原点的几何特征，确定 $y = \dfrac{x}{x+1}$ 在原点处的切线 $y = x$ 并验证其为紧邻直线

设 $g(x) = \dfrac{x}{x+1}$，$h(x) = f(x+1) = m\ln(x+1)$，定义域均为 $(-1, +\infty)$．
注意到 $g(0) = 0$，$h(0) = m\ln 1 = 0$，即两曲线均经过点 $(0,0)$．
对 $g(x)$ 求导得 $g'(x) = \dfrac{1}{(x+1)^2}$，故在 $x=0$ 处的切线斜率为 $g'(0) = 1$．
切线方程为 $y = x$．
考虑作差：
$x - g(x) = x - \dfrac{x}{x+1} = \dfrac{x^2}{x+1}$
当 $x \in (-1, +\infty)$ 时，$x+1 > 0$ 且 $x^2 \geqslant 0$，故 $g(x) \leqslant x$ 恒成立（当且仅当 $x=0$ 时取等号）．
因此直线 $y = x$ 是曲线 $y = \dfrac{x}{x+1}$ 的一条紧邻直线．

2. 由极值必要条件求出 $m=1$，并验证其充分性

若直线 $y = x$ 也是曲线 $y = h(x) = m\ln(x+1)$ 的紧邻直线，则需满足 $h(x) \leqslant x$ 对 $x \in (-1, +\infty)$ 恒成立．
设 $\psi(x) = m\ln(x+1) - x$，因为 $\psi(0) = 0$，要使 $\psi(x) \leqslant \psi(0) = 0$ 在 $x=0$ 附近恒成立，则 $x=0$ 必须是 $\psi(x)$ 的极大值点，故必有 $\psi'(0) = 0$．
求导得 $\psi'(x) = \dfrac{m}{x+1} - 1$，代入 $x=0$ 得 $\psi'(0) = m - 1 = 0 \implies m = 1$．

充分性检验：
当 $m = 1$ 时，$\psi'(x) = \dfrac{1}{x+1} - 1 = \dfrac{-x}{x+1}$．
当 $x \in (-1, 0)$ 时，$\psi'(x) > 0$，$\psi(x)$ 单调递增；
当 $x \in (0, +\infty)$ 时，$\psi'(x) < 0$，$\psi(x)$ 单调递减．
故 $\psi(x) \leqslant \psi(0) = 0$ 在 $(-1, +\infty)$ 上恒成立，即 $\ln(x+1) \leqslant x$ 成立．
因此，存在相同的紧邻直线 $y = x$，此时 $m = 1$．