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切线与法线

涉及曲线切线与法线的问题，包括曲线由隐函数或参数方程定义的情况。

这个知识点的练习题

  1. 1[剑桥/9709/2010] 图中显示了曲线 y=9−x3y = 9 - x^3 和 y=8x3y = \frac{8}{x^3} 的部分图像以及它们的交点 PP 和 QQ。PP 和 QQ 的 xx 坐标分别为 aa 和 bb。 证…
  2. 2曲线 CC 的参数方程为 x=2cos⁡θ+cos⁡2θ,y=2sin⁡θ−sin⁡2θ,x = 2\cos\theta + \cos 2\theta, \quad y = 2\sin\theta - \sin 2\theta, 其中 0<θ<2π0 < \theta < 2\pi 且 θ≠2π3,π,4π3\theta \ne \frac{2\pi}{3}, \pi, \frac{4\pi}{3}…
  3. 3已知函数f(x)=x2−ax(a≠0)f(x)=x^{2}-ax(a\neq 0)，g(x)=ln⁡xg(x)=\ln x，f(x)f(x)图象与xx轴异于原点的交点MM处的切线为l1l_{1}，g(x−1)g(x-1)与xx轴的交点NN处的切线为…
  4. 4曲线 C 的参数方程为 x=at,  y=at3x = at,\; y = at^{3}，其中 aa 为正常数。 曲线上的点 P 的参数为 pp，曲线在点 P 处的切线与 yy 轴交于点 S，与 xx 轴交于点 T。点 M 是 ST 的中点。求当 pp…
  5. 5曲线 CC 的方程为 y=x−2kx2+x−2y = \frac{x - 2}{kx^2 + x - 2}，其中 k>1k > 1。 求 CC 与 yy 轴相交的点 AA 处的切线方程。 画出 CC 的草图，并用含 kk 的式子给出渐近线方程、极值点…
  6. 6曲线 CC 的方程为 y=ax+bx2+cy = \frac{a}{x} + bx^2 + c，其中 aa，bb 和 cc 是常数。已知 CC 经过坐标为 (1,2)(1, 2) 的点，并在 x=−1x = -1 处与 xx 轴相交。在 x=0.5x = 0.5…
  7. 7曲线 CC 的参数方程为 x=2cos⁡3θx = 2\cos^3 \theta，y=2sin⁡3θy = 2\sin^3 \theta，其中 −π2<θ<π2-\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{\pi}{2}。 证明在参数为 θ\theta 的点…
  8. 8曲线 C 的方程为 y2x2=3a−xa+x,x≠0,\dfrac{y^2}{x^2}=\dfrac{3a-x}{a+x},\quad x \ne 0, 其中 aa 是正常数。 使用代数方法确定 xx 的取值范围，结果用 aa 表示。 在本题的其余部分中，取…
  9. 9曲线 CC 的参数方程为 x=3t2,y=6t3,where t is a real parameter.x = 3t^2, \quad y = 6t^3, \quad \text{where } t \text{ is a real parameter.} 画出 CC 的草图。 求曲线 CC 上切线平行…
  10. 10图中，A、B 和 D 是固定点，满足 AB=25 cmAB = 25\text{ cm}，AD=35 cmAD = 35\text{ cm} 且角 BAD=90∘BAD = 90^\circ。角 BAC=θBAC = \theta 且可以变化。ACAC 垂直于 BCBC，EAEA…
  11. 11曲线 CC 的方程为 x2y+y4=5x^2 y + y^4 = 5。 用 xx 和 yy 表示 dydx\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}。 求平行于 xx 轴的 CC 的两条切线之间的精确距离。
  12. 12曲线 C 由参数方程定义： x=cos⁡θ−1cos⁡θ,  y=cos⁡θ+1cos⁡θ,  −π2<θ<π2.x = \cos\theta - \dfrac{1}{\cos\theta},\ \ y = \cos\theta + \dfrac{1}{\cos\theta},\ \ -\dfrac{\pi}{2} < \theta < \dfrac{\pi}{2}.…
  13. 13曲线的方程为 x2−2xy+2y2=20x^2 - 2xy + 2y^2 = 20。 求该曲线在点 P(2,4)P(2,4) 处的切线与法线方程。 在点 PP 处的切线与 yy 轴交于点 AA，在点 PP 处的法线与 xx 轴交于点 BB。求三角形 APBAPB…
  14. 14函数 f 定义为 f:x↦ex+12x+2对于 x∈R, x≠−1.f : x \mapsto e^x + \dfrac{1}{2x+2}\quad\text{对于 } x \in \mathbb{R},\ x \ne -1. 函数 g 定义在 x∈R, x≥1x \in \mathbb{R},\ x \ge 1…
  15. 15对于方程为 x2−3xy+y3=8x^2 - 3xy + y^3 = 8 的曲线，求 切线平行于 xx 轴的点的 xx 坐标， 在 y=2y = 2 的点处的法线方程。
  16. 16[Cambridge/2003] 画出参数方程为 x=3t,y=3tx = 3t, \quad y = \frac{3}{t} 的曲线草图。曲线上的点 PP 的参数为 t=2t = 2。点 PP 处的法线与曲线再次交于点 QQ。 证明点…
  17. 17已知曲线的方程为 y=ax+b+cx2−1y = ax + b + \frac{c}{x^2 - 1}，其中 aa、bb 和 cc 是实常数。已知该曲线在 x=2x = 2 处与 xx 轴相交。曲线在点 (0,3)(0, 3) 处的法线与 xx 轴相交于 x=7.5x = 7.5…
  18. 18曲线 y=f(x)y = \mathrm{f}(x) 的方程是一个三次多项式的形式。该曲线在 (−1,0)(-1, 0) 处有一个极大值点，并经过坐标为 (4,25)(4, 25) 的点。曲线在 x=3x = 3 处的切线平行于方程为 y=24x+5y = 24x + 5 的…
  19. 19曲线 C 的参数方程为 x=2acos⁡(t+π6),y=asin⁡t,x=2a\cos\left(t+\tfrac{\pi}{6}\right),\quad y=a\sin t, 其中 0≤t<2π0\le t<2\pi，aa 是一个正常数。 下方给出了曲线 C 的草图，其中 C 与…
  20. 20曲线 C 的方程为 y=2x2−ax+ky=\dfrac{2x^{2}-a}{x+k}，其中 a,  k>0a,\; k>0。 已知 2k2≠a2k^{2}\ne a，求 kk 的取值范围，使得曲线 C 具有至少一条平行于 x 轴的切线。 当 2k2=a2k^{2}=a 时，…
  21. 21曲线 CC 的参数方程为 x=2t−frac1t2,quady=2t+frac1t,quadtinmathbbR,tne0.x = 2t - \\frac{1}{t^2}, \\quad y = 2t + \\frac{1}{t}, \\quad t \\in \\mathbb{R}, t \\ne 0. 曲线上的点 PP…
  22. 22曲线 CC 由参数方程 x=t2x = t^2 和 y=2t+t3y = 2t + t^3 定义，其中 −1≤t≤1-1 \le t \le 1。 草拟 CC 的图像。 在不使用计算器的情况下，求 CC 在 t=12t = \frac{1}{2} 处的法线方程…
  23. 23曲线 CC 的方程为 3x2−2xy+5y2=14.3x^2 - 2xy + 5y^2 = 14. 证明 dydx=3x−yx−5y.\frac{dy}{dx} = \frac{3x - y}{x - 5y}. 求曲线 CC 上切线平行于 y 轴的点精确的 x 坐标。 动点 P(x,y)P(x,y)…
  24. 24已知一曲线的参数方程为 x=2tx=2t，y=e−t2y=e^{-t^2}。 草拟该曲线的图像，写出其与坐标轴任何交点的精确坐标以及任何渐近线的方程。 求该曲线在点 (2p,e−p2)\left(2p,e^{-p^2}\right) 处的法线方程。 在点 C(2,1e)C\left(2,\frac{1}{e}\right)…
  25. 25图示为 y=f′(x)y = \text{f}'(x) 的图像，它经过原点，且极值点为 (2,5)(2, 5) 和 (6,0)(6, 0)。y=f′(x)y = \text{f}'(x) 的图像有一条垂直渐近线 x=−1x = -1 和一条水平渐近线 y=5y = 5。 草拟…
  26. 26星形线（astroid）是具有参数方程 x=acos⁡3t, y=asin⁡3t.x = a \cos^3 t, \ y = a \sin^3 t. 的曲线。 画出 a=2a = 2 且 0≤t≤π20 \le t \le \frac{\pi}{2} 时的星形线草图，并清晰地标出所有…
  27. 27曲线 CC 的参数方程为 x=sin⁡θ+1andy=3cos⁡θ−1, where −π2≤θ≤π2.x = \sin \theta + 1 \quad \text{and} \quad y = \sqrt{3} \cos \theta - 1, \text{ where } -\frac{\pi}{2} \le \theta \le \frac{\pi}{2}.…
  28. 28[剑桥/9709/2009] 曲线方程为 x3−x2y−y3=3x^3 - x^2y - y^3 = 3。 用 xx 和 yy 表示 dydx\frac{\text{d}y}{\text{d}x}。 求曲线在点 (2,1)(2, 1) 处的切线方程，结果用…
  29. 29下图显示了一个由曲线 (y+5)2=x−3(y+5)^{2}=x-3 和直线 y=x−10y=x-10 所围成的区域 RR。求 RR 绕 x 轴旋转一周所形成的旋转体的体积。 下图显示了一个由曲线 (y+5)2=x−3(y+5)^{2}=x-3 和直线 y=x−10y=x-10 所围…
  30. 30曲线 C 由参数方程 x=t1+t,y=t21+tx=\dfrac{t}{1+t},\quad y=\dfrac{t^{2}}{1+t}， 其中 tt 取除 −1-1 以外的所有实数值。 求 dydx\dfrac{dy}{dx}，用 tt 表示你的答案。 证明在点…
  31. 31曲线 CC 由以下参数方程定义： x=2cos⁡θ+1,y=sin⁡θ,where −π≤θ≤π.x = 2\cos\theta + 1, \quad y = \sin\theta, \quad \text{where } -\pi \le \theta \le \pi. 画出曲线 CC 的…
  32. 32曲线 CC 的参数方程为 x=t+2et,y=2t+e−t,t>−2.x = t + 2e^t, \quad y = 2t + e^{-t}, \quad t > -2. 草绘 CC。 求该曲线在 t=0t = 0 的点 PP 处的法线方程。
  33. 33曲线 RR 的方程为 y=f(x)y=f(x)。坐标为 (7,−9)(7,-9) 的点 PP 在 RR 上。曲线 RR 在点 PP 处的切线斜率为 10。 曲线 CC 是通过对 RR 进行以下两个变换得到的： - 沿平行于 yy 轴的方向以…
  34. 34已知 y=xxyy = x^{xy}，其中 x>0x > 0，y>0y > 0。 证明 dydx=y2(1+ln⁡x)1−yln⁡x\frac{\text{d}y}{\text{d}x} = \frac{y^2 (1 + \ln x)}{1 - y \ln x}。 由此，求曲线 y=xxyy = x^{xy}…
  35. 35曲线 CC 的方程为 y=ekxekx−e−kxy = \frac{e^{kx}}{e^{kx} - e^{-kx}}，其中 x≠0x \ne 0 且 k∈R, k≠0k \in \mathbb{R},\ k \ne 0。 证明 CC 没有驻点。 求曲线 CC 在 y=2y = 2…
  36. 36曲线 DD 的方程为 y=ax+bln⁡x+cx,x>0,y = ax + b \ln x + \frac{c}{x}, \quad x > 0, 其中 aa，bb 和 cc 是常数。已知 DD 在 x=32x = \frac{3}{2} 处有一个驻点，且 DD…
  37. 37曲线 CC 由参数方程 x=t1+t,y=t21+t,x = \frac{t}{1 + t}, \quad y = \frac{t^2}{1 + t}, 定义，其中 tt 取除 −1-1 以外的所有实数值。 求 dydx\frac{\text{d}y}{\text{d}x}…
  38. 38曲线 CC 具有参数方程 x=etcos⁡t, y=e−tsin⁡t.x = \mathrm{e}^t \cos t,\ y = \mathrm{e}^{-t} \sin t. 求曲线 CC 在参数为 pp 的点处的切线方程。用 y=mx+cy = mx + c 的形式给出你的…
  39. 39曲线的方程由下式给出： xy−2y2+4x2=66xy - 2y^{2} + 4x^{2} = 66。 求曲线上切线平行于 y 轴的点的精确坐标。 证明任何平行于 x 轴的直线都与该曲线交于两个不同的点。
  40. 40设函数f(x)=ln⁡xf(x)=\ln x，g(x)=xx+1g(x)=\dfrac{x}{x+1}，记F(x)=f(x)−g(x)(1)F(x)=f(x)-g(x)(1)求曲线y=f(x)y=f(x)在x=ex=e处的切线方程； (2)求函数F(x)F(x)在[1e,e2][\dfrac{1}{e},e^{2}]…
  41. 41一曲线的参数方程为 x=t+2x = t + 2, y=t2t−1y = \dfrac{t}{2t - 1}， 其中 t∈Rt \in \mathbb{R}, t≠12t \ne \dfrac{1}{2}。 草拟该曲线，并给出其渐近线方程以及该曲线与坐标轴交点的…
  42. 42曲线 CC 的方程为 2x−y2=(x+y)22x - y^2 = (x + y)^2。 求平行于 xx 轴的曲线 CC 的切线方程。 直线 ll 是曲线 CC 在点 A(2,−2)A(2, -2) 处的切线。如果曲线 CC 在原点 OO 处的法线与直线…
  43. 43曲线 CC 的方程为 x3+y3−5xy=0x^{3} + y^{3} - 5xy = 0，其中 x>0x > 0。 用 xx 和 yy 表示 dydx\dfrac{dy}{dx}。 求曲线 CC 上法线平行于 yy 轴的点的坐标。 确定该驻点的性质。
  44. 44已知函数f(x)=mln⁡xf(x)=m\ln x． (1)讨论函数F(x)=f(x)+1x−1F(x)=f(x)+ \dfrac {1}{x}-1的单调性； (2)定义：“对于在区域DD上有定义的函数y=f(x)y=f(x)和y=g(x)y=g(x)，若满足f(x)⩽g(x)f(x)\leqslant g(x)…
  45. 45曲线 CC 具有参数方程 x=t−at,y=t+at, 其中 t∈R, t≠0 且 a 为正常数。x = t - \frac{a}{t}, \quad y = t + \frac{a}{t}, \text{ 其中 } t \in \mathbb{R}, \ t \ne 0 \text{ 且 } a \text{ 为正常数。}…
  46. 46曲线 CC 由参数方程 x=t2,y=t3.x = t^2, \quad y = t^3. 定义。 证明该曲线在点 (t2,t3)\left(t^2, t^3\right) 处的切线方程为 2y−3tx+t3=0.2y - 3tx + t^3 = 0. 该切线通过一个定点 (a,b)(a, b)…
  47. 47曲线 CC 的参数方程为 x=e2t, y=t2.x = \mathrm{e}^{2t}, \ y = t^2. 求切线斜率为 12e\frac{1}{2\mathrm{e}} 的点处的 tt 值。 曲线 CC 在点 P(e2p,p2)P(\mathrm{e}^{2p}, p^2)…
  48. 48曲线 CC 由参数方程定义 x=4sin⁡t,y=bcos⁡t−1,\begin{aligned} x &= 4\sin t, \\ y &= b\cos t - 1, \end{aligned} 其中 0≤t≤π0 \le t \le \pi 且 1<b<41 < b < 4。…
  49. 49椭圆的方程为 x2a2+y2b2=1\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1，其中 aa 和 bb 是正实常数。 证明如果 y≠0y \ne 0，则 dydx=−b2xa2y\frac{\text{d}y}{\text{d}x} = -\frac{b^2 x}{a^2 y}…
  50. 50已知 y=xyy=x^{y}，其中 x>0x>0，y>0y>0。用 xx 和 yy 表示 dydx\dfrac{dy}{dx}。由此求出曲线 y=xyy=x^{y} 的平行于 yy 轴的切线方程。
  51. 51[剑桥/9709/2006] 曲线方程为 x3+2y3=3xyx^3 + 2y^3 = 3xy。 证明 dydx=y−x22y2−x\frac{\text{d}y}{\text{d}x} = \frac{y - x^2}{2y^2 - x}。 求曲线上除原点以外，其切线平…
  52. 52上图显示了当 x>0x>0 时，方程为 e2y=x2+ye^{2y} = x^2 + y 的曲线 CC。 复制该图，并在图中画出 x<0x<0 时 CC 的部分。 证明 dydx=2x2e2y−1\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{2x}{2e^{2y}-1}。…
  53. 53曲线 CC 的参数方程为 x=1−2cos⁡2θ,y=sin⁡2θ−1,其中 0≤θ≤3π8x = 1 - 2\cos 2\theta, \quad y = \sin 2\theta - 1, \quad \text{其中 } 0 \le \theta \le \frac{3\pi}{8} 求…
  54. 54曲线方程由下式给出： Ax2+By2+Cx+Dy+13=0Ax^2 + By^2 + Cx + Dy + 13 = 0 其中 AA、BB、CC 和 DD 为常数。 用 xx 和 yy 表示 dydx\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}…
  55. 55曲线 C1C_1 的参数方程为 x=3sec⁡2θx = 3\sec^2 \theta，y=2tan⁡θy = 2\tan \theta，0≤θ<π20 \le \theta < \frac{\pi}{2}。 L1L_1 和 L2L_2 是曲线 C1C_1 的切线。 画出曲…
  56. 56将 1−x21+3x3\dfrac{1 - x^2}{\sqrt[3]{1 + 3x}} 展开为 xx 的升幂级数，展开到包含 x3x^3 项为止。 (ii) 写出该级数展开式成立的 xx 的取值集合。 (iii) 写出曲线 y=1−x21+3x3y = \dfrac{1 - x^2}{\sqrt[3]{1 + 3x}}…
  57. 57曲线 CC 的参数方程为 x=t2−1,y=4t−t3+15,x = t^2 - 1,\qquad y = 4t - t^3 + 15, 其中 t∈Rt \in \mathbb{R}。 证明曲线 CC 与 x 轴交于点 (8,0)(8, 0)，与 y 轴交于点 (0,12)(0, 12)…
  58. 58曲线的方程由 4x3+3x2y=y3−24x^3+3x^2y=y^3-2 给出。 用 xx 和 yy 表示 dydx\dfrac{dy}{dx}，并化简你的答案。 该曲线与直线 y=−xy=-x 相交于点 PP。求 点 PP 的坐标。 点 PP 处的切线方程。…
  59. 59彼得在一个被建模为 xyxy 坐标平面的平坦地面上拉着一辆玩具车。彼得最初位于原点 OO，玩具车位于 yy 轴上的 W0(0,6)W_0(0,6) 处。玩具车用一根长度为 6 单位的绳子系在他身上。当他沿 xx 轴正方向（由点 PP 给出）移…
  60. 60曲线 C 的参数方程为 x=2t−1t2,y=2t+1t,t∈R, t≠0.曲线上的点P的参数为x = 2t - \dfrac{1}{t^{2}},\quad y = 2t + \dfrac{1}{t},\quad t \in \mathbb{R},\ t \ne 0. 曲线上的点 P 的参数为 t = 1…