设函数$f(x)=\ln x$，$g(x)=\dfrac{x}{x+1}$，记$F(x)=f(x)-g(x)(1)$求曲线$y=f(x)$在$x=e$处的切线方程； (2)求函数$F(x)$在$[\dfrac{1}{e},e^{2}]$上的最值．

1. 求切点坐标及切线斜率

对 $f(x) = \ln x$ 求导，得 $f'(x) = \dfrac{1}{x}$。
当 $x = e$ 时，$f(e) = \ln e = 1$，切点坐标为 $(e, 1)$。
切线斜率 $k = f'(e) = \dfrac{1}{e}$。

2. 利用点斜式写出切线方程并化简

由点斜式得切线方程为：
$y - 1 = \frac{1}{e}(x - e)$
化简得：
$y = \frac{1}{e}x \quad \text{（或 } x - ey = 0 \text{）}$

1. 求 $F(x)$ 的导函数 $F'(x)$

由题意，$F(x) = \ln x - \dfrac{x}{x+1}$（定义域 $x > 0$）。
对 $F(x)$ 求导：
$F'(x) = \frac{1}{x} - \frac{1 \cdot (x+1) - x \cdot 1}{(x+1)^2} = \frac{1}{x} - \frac{1}{(x+1)^2} = \frac{(x+1)^2 - x}{x(x+1)^2} = \frac{x^2 + x + 1}{x(x+1)^2}$

2. 判断 $F(x)$ 在 $[\dfrac{1}{e}, e^2]$ 上的单调性

当 $x \in [\frac{1}{e}, e^2]$ 时，因为 $x > 0$，
分子 $x^2 + x + 1 = (x + \frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4} > 0$，分母 $x(x+1)^2 > 0$。
因此 $F'(x) > 0$ 在 $[\frac{1}{e}, e^2]$ 上恒成立，
故 $F(x)$ 在 $[\frac{1}{e}, e^2]$ 上单调递增。

3. 求端点函数值，确定最大值与最小值

因为 $F(x)$ 在 $[\frac{1}{e}, e^2]$ 上单调递增：
最小值在 $x = \frac{1}{e}$ 处取得：
$F\left(\frac{1}{e}\right) = \ln\left(\frac{1}{e}\right) - \frac{\frac{1}{e}}{\frac{1}{e} + 1} = -1 - \frac{1}{e + 1} = -\frac{e + 2}{e + 1}$
最大值在 $x = e^2$ 处取得：
$F(e^2) = \ln(e^2) - \frac{e^2}{e^2 + 1} = 2 - \frac{e^2}{e^2 + 1} = \frac{e^2 + 2}{e^2 + 1}$