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积与商的求导法则

函数乘积与商的导数

这个知识点的练习题

1已知当 $x>0$ 时， $y = \dfrac{3\ln 2x}{x^2}$ 。证明 $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{3}{x^3}\left(1 - 2\ln 2x\right).$ 由此，求 $\displaystyle\int \frac{\ln 2x}{x^3}\,dx$ …
2已知一条曲线的方程为 $y = \frac{2x - 3}{3x + 4}$ ，其中 $x \ne -\frac{4}{3}$ 。曲线在点 $P$ （其中 $x > 0$ ）处的法线平行于直线 $y = -\frac{25}{17}x + 2$ 。…
3已知 $y = \frac{6x^2}{2-5x}$ ，求 $x$ 的取值范围，使得 $y$ 是 $x$ 的递减函数。
4已知函数 $f(x)={{e}^{x}}-1$ ， $g(x)=\sin x(1)$ 判断 $F(x)=f(x)-g(x)$ 在 $x\in[0,+\infty)$ 上零点的个数； (2)当 $x\in[0,\pi]$ 时， $f(x)\geqslant ag(x)(a\in R)$ …
5一条曲线的方程由 $y = 5xe^{2x+1}$ 给出。求 $\frac{dy}{dx}$ 。由此，求 $\int xe^{2x+1} \text{ d}x$ 。确定使 $y$ 是递减函数的 $x$ 值范围。
6曲线方程为 $y = \frac{e^{2x+1}}{x+3}$ ，其中 $x \ne -3$ 。求 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ 的表达式。由此，清晰地说明你的理由，并判定对于 $x > 0$ ，函数…
7已知 $y = 4x \sin 2x$ 。证明 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ 可以表示为 $ax \cos 2x + b \sin 2x$ 的形式，其中 $a$ 和 $b$ 为常数。已知 $x$ 以每…
8将 $\dfrac{2x^{2}+3x}{x^{2}+3x+2}$ 表示为部分分式。由此计算 $\displaystyle \int_{1}^{3} \dfrac{2x^{2}+3x}{x^{2}+3x+2}\,dx$ 。已知 $y = x\ln\left(x^{2}+3x+2\right)$ …
9一曲线的方程为 $y = 2x\sqrt{2x+1}$ 。证明 $\frac{dy}{dx} = \frac{ax+b}{\sqrt{2x+1}}$ ，其中 $a$ 和 $b$ 为正整数。由此，求 $\int \frac{3x+1}{\sqrt{2x+1}} \, dx$ …
10 $ABCD$ 是一个位于半径为 8 cm、圆心为 $O$ 的半圆内的矩形。已知 $AB = x$ cm 且 $BC = y$ cm。证明该矩形的面积 $A$ cm $^2$ 由 $A = \frac{x}{2}\sqrt{256 - x^2}$ …
11求 $4xe^{3x}$ 关于 $x$ 的导数。由此求 $\int_{0}^{3} 6xe^{3x} \text{d}x$ 的值，结果用精确形式表示。
12一个质点沿曲线 $y = \frac{3(x+6)}{x+4}$ （其中 $x \ne -4$ ）运动，其 $y$ 坐标以 $\frac{4}{27}$ 单位每秒的恒定速率增加。求当质点的 $x$ 坐标以 2 单位每秒的速率减少时，该质点的 $x$ …
13求下列函数的导数 $(1)y={{x}^{2}}\ln x$ ； $(2)y=\dfrac{\sin x-x}{{{x}^{2}}}$ ； $(3)y={{e}^{-x}}\sqrt{2x-1}$
14已知曲线方程为 $y = e^{-2x}\tan x$ 。证明 $\dfrac{dy}{dx} = e^{-2x}(1 - \tan x)^2$ 。用含 $\pi$ 的式子表示当 $0 < x < \dfrac{\pi}{2}$ 时驻点的…
15点 A 在曲线 $y = x \ln x^2$ （ $x > 0$ ）上。曲线在点 A 处的切线平行于直线 $y - 3x = 1$ 。曲线 $y = x \ln x^2$ 在点 A 处的法线与直线 $y - 3x = 1$ 交于点 B。求点…
16求 $3x \sin 2x$ 对 $x$ 的导数。由此，求 $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} x \cos 2x \text{ d}x$ 的值。
17已知 $y = 2\cos x \sin 2x - \sin x \cos 2x$ ，证明 \dfrac{dy}{dx} = k\cos x \cos 2x $，并写出$ k $的值。由此证明 $$\int_{0}^{\pi/4}\left(7\cos x\cos 2x + \sec^{2} x\right)\,dx = \dfrac{7\sqrt{2}}{3} + 1.$ …
18回答所有问题已知曲线方程为 $y = 2x\sqrt{2x+1}$ 。证明 $\frac{dy}{dx} = \frac{ax+b}{\sqrt{2x+1}}$ ，其中 $a$ 和 $b$ 为正整数。由此求出 $\int \frac{3x+1}{\sqrt{2x+1}} \, dx$ …
19下图显示了 $y = \frac{x^2 + 2x + 5}{x + 3}$ 的部分图像。求极小值点 $P$ 的坐标。
20求 $x$ 的取值范围，使得函数 $y = \ln \left( \frac{x-2}{x-3} \right)^2$ 的图像是递减的。
21已知 $y = x(2x-4)^3$ 。求该曲线的驻点坐标，确定每个驻点的性质。
22曲线方程为 $y = \frac{5x}{6 - 2x}$ 。求曲线斜率为 7.5 的点的 $x$ 坐标。
23证明 $\dfrac{d}{dx}(\cot x) = -\csc^{2} x$ 。由此求 $\displaystyle \int_{\pi/4}^{\pi/2} -\cot^{2} x\, dx$ 的值。
24已知 $y = \frac{16x}{1+x^2}$ ，求 $y$ 单调递增时 $x$ 的取值范围。另一条曲线的方程为 $y = \frac{16x}{1+x^2} + d$ ，其中 $d$ 为常数。解释为什么对于这条曲线，使 $y$ 单调…
25点 $P$ 在曲线 $y = \frac{kx^2}{\sqrt{2-x}}$ 上，其中 $k$ 是常数。 $P$ 的 $x$ 坐标为 $-2$ 。已知 $P$ 点处的法线斜率为 $\frac{1}{7}$ ，求证 $k = 4$ 。点 $P$ …
26求 $\frac{\text{d}}{\text{d}x}(x \cos 2x)$ 。求 $\frac{\text{d}}{\text{d}x}(x^2 \sin 2x)$ 。利用第 (i) 和 (ii) 部分的结果，求 $\int x^2 \cos 2x \text{ d}x$ …
27如图所示为一个玻璃窗 $ABCDEF$ ，由一个高为 $3x\text{ cm}$ 、宽为 $y\text{ cm}$ 的长方形 $ABEF$ 以及一个梯形 $BCDE$ 组成，其中 $CD = x\text{ cm}$ ， $BC = 2y\text{ cm}$ …
28已知 $y = (x-3)\sqrt{x+1}$ 。以 $\dfrac{ax-b}{2\sqrt{x+1}}$ 的形式求 $\dfrac{dy}{dx}$ ，其中 $a$ 和 $b$ 为整数。由此求 $\displaystyle\int_0^3 \dfrac{9x}{\sqrt{x+1}}\,dx$ …
29图示为曲线 $y = \frac{1}{4}x^2 - \frac{1} {2}\ln\left(\frac{x}{3}\right)$ 的一部分，且 $P(3,\,2.25)$ 是该曲线上的一点。利用微积分，写出完整的计算过程，判断…
30已知函数定义为 $g(x) = \frac{x^2 - 4}{x^2 + 6}$ ， $x > 0$ 。请写出计算过程，并解释 $g(x)$ 是单调递增函数还是单调递减函数。点 $P$ 沿曲线 $g(x)$ 运动，使得 $P$ 的 $y$ 坐…
31已知 $y = \frac{3\text{e}^{2x}}{2x+1}$ ，求使 $\frac{\text{d}y}{\text{d}x} = \frac{kxy}{2x+1}$ 成立的 $k$ 的值。
32求使 $y = 3x^2 e^{5-2x}$ 为递减函数的 $x$ 的取值范围。
33已知 $y = e^x (1+\cos x)$ ，证明 $\dfrac{dy}{dx} = e^x (1+\cos x - \sin x)$ 。由此，求 $\displaystyle \int e^x (\cos x - \sin x)\,dx$ …
34函数 $f$ 对所有 $x$ 值定义为 $f(x)=(x+3)(1-2x)^2$ 。求使 $f$ 为递减函数的 $x$ 取值范围。
35已知 $y = \dfrac{4x}{\sqrt{3-2x}}$ ，证明 $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{12-4x}{\sqrt{(3-2x)^3}}$ 。由此求 $\displaystyle \int_{0}^{1} \dfrac{3 - x}{\sqrt{(3 - 2x)^3}}\, dx$ …
36回答所有问题。函数 $f$ 对所有 $x$ 的值定义为 $f(x) = (2x - x^2)e^x$ 。求 $x$ 的取值范围，使得 $f(x)$ 为递减函数。曲线的斜率函数为 $2(p + 1)x + 2$ ，其中 $p$ 为常…
37求 $\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(3x^{2}\ln x\right)$ 。由此求出 $\int x\ln x\,\mathrm{d}x$ 。图中显示了直线 $x = 2$ 和曲线 $y = x\ln x$ …
38求 $\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{\ln x}{4x}\right)$ 。由此，确定曲线 $y=\dfrac{\ln x}{4x}$ 是单调递减函数的 $x$ 的取值范围。答案用 $e$ 表示。
39证明 $\frac{d}{dx} \left[ (2x)(3-5x)^{\frac{6}{5}} \right] = (6-22x)(3-5x)^{\frac{1}{5}}$ 。由此，求 $\int x(3-5x)^{\frac{1}{5}} dx$ …
40设函数 $f(x)=\ln x$ ， $g(x)=\dfrac{x}{x+1}$ ，记 $F(x)=f(x)-g(x)(1)$ 求曲线 $y=f(x)$ 在 $x=e$ 处的切线方程； (2)求函数 $F(x)$ 在 $[\dfrac{1}{e},e^{2}]$ …
41一曲线的方程为 $y = \frac{e^{2x}}{x-2}$ ，其中 $x > 2$ 。求 $\dfrac{dy}{dx}$ 。求驻点坐标的精确值。确定驻点的性质。
42已知 $y = x^2 \sqrt{2x-1}$ ，证明 $\frac{\text{d}y}{\text{d}x} = \frac{x(5x-2)}{\sqrt{2x-1}}$ 。确定 $y = x^2 \sqrt{2x-1}$ 是否始终为增函…
43求 $\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\bigl((2x-3)e^{2x}\bigr)$ 。由此计算 $\displaystyle\int_0^1 4xe^{2x}\,\mathrm{d}x$ 的值，结果用精确…
44求下列各项的导数，并将结果化简。 $y = 3\left(1 - \frac{x}{3}\right)^4$ $f(x) = (2 - 3x)(\sqrt{1 - 4x})$ $\frac{dy}{dx} = \frac{2(3x - 2)}{4 + x}$ …
45一个质点沿着曲线 $y = \frac{2}{\sqrt{3x+1}}$ 运动，其 $y$ 坐标以每秒 3 个单位的恒定速率减少。求当 $x$ 坐标以每秒 0.125 个单位的速率增加的瞬间，该质点的 $y$ 坐标。证明当 $x > \frac{1}{e}$ …
46求 $2x \cos 3x$ 关于 $x$ 的导数。由此，求 $\int x \sin 3x \text{ d}x$ 。
47曲线方程为 $y = \frac{x}{e^{2x}}$ 。求 $\frac{dy}{dx}$ 的表达式。已知 $x$ 以 $0.18$ 单位/秒的恒定变化率变化，求当 $x = 1$ 时 $y$ 的变化率。解释该曲线是否具有多于一个驻…
48求 $x \sin x + \cos x$ 对 $x$ 的导数。证明 $\frac{\text{d}}{\text{d}x} \left( \frac{1}{3} x \sin^3 x \right) = \frac{1}{3} \sin^3 x - x \cos^3 x + x \cos x$ …
49已知 $y = (x + 2)\sqrt{x - 1}$ ，证明 $\frac{\text{d}y}{\text{d}x} = \frac{kx}{2\sqrt{x - 1}}$ ，其中 $k$ 为常数。由此已知 $y$ 以每秒 2 个单位…
50一条曲线的方程为 $y = \frac{1 - \sin x}{\cos x}$ 。证明 $\frac{dy}{dx} = \tan x \sec x - \sec^2 x$ 。由此求出 $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan x \sec x \, dx$ …
51[高为 $h$ 的棱锥体积为 $\tfrac{1}{3}\times(\text{底面积})\times h$ 。] 如图所示，有一张圆形的纸片，圆心为 $O$ ，半径 $OP = 6\text{ cm}$ 。 $ABCD$ 是一个边长为 $2x\text{ cm}$ …
52已知曲线方程为 $y = \frac{\ln x}{x}$ 。求该曲线驻点的坐标。答案用 $e$ 表示。确定该驻点的性质。
53曲线的方程为 $y = e^{x^2 - 5x}$ 。求 $\frac{dy}{dx}$ 和 $\frac{d^2y}{dx^2}$ 的表达式。求该曲线驻点坐标的精确值。
54已知 $y = (2x - 1)^3 \ln \sqrt{2x - 1}$ 。证明 $\frac{\text{d}y}{\text{d}x} = 6(2x - 1)^2 \ln \sqrt{2x - 1} + (2x - 1)^2$ 。由此…
55函数 f 的定义域为 $x > \frac{3}{2}$ ，其表达式为 $\text{f}(x) = \frac{e^{2x}}{1 - x}$ 。清晰地说明 f 是增函数还是减函数。
56已知 $y = \frac{2x^2}{x - 3}$ ，求使得 $y$ 为递减函数的 $x$ 取值范围。
57已知对于 $x > q$ ，有 $y = \frac{2x-1}{\sqrt{x+2}}$ 。写出 $q$ 的值。求 $\dfrac{dy}{dx}$ 。说明 $y = \dfrac{2x-1}{\sqrt{x+2}}$ 是增函数还是减函数…
58一条曲线的方程为 $y = \frac{2 \sin 3x}{2 \cos 3x + 5}$ 。求满足 $\frac{\text{d}y}{\text{d}x} = \frac{a + b \cos 3x}{(2 \cos 3x + 5)^2}$ …
59证明 $\frac{d}{dx}\left(\frac{\ln x}{x^4}\right) = \frac{1}{x^5} - \frac{4\ln x}{x^5}$ 。已知曲线 $y = \mathrm{f}(x)$ 穿过点 $\left(1, \frac{3}{4}\right)$ …
60已知当 $x > -3$ 时， $y = \frac{\ln(x+3)^3}{3x+9}$ ，求使 $y$ 是关于 $x$ 的单调递增函数的 $x$ 值集合。请用 e 表示你的答案。