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导数应用

微分在斜率、切线与法线、相关变化率以及最大值与最小值问题中的应用

这个知识点的练习题

1如图所示，一个建在矩形底面上的温室。建造拱形屋顶和两个完全相同的半圆形侧面共使用了 $140\text{ m}^2$ 的聚乙烯薄膜。每个半圆的半径为 $r\text{ m}$ ，温室的长度为 $y\text{ m}$ 。证明温室的体积 $V\text{ m}^3$ …
2在三角形 $ABC$ 中， $AB = x\ \text{cm}$ ， $AC = 3x\ \text{cm}$ ，且角 $BAC = \dfrac{2\pi}{3}$ 。如果 $x$ 以 $0.5\ \text{cm/s}$ 的速率增加，求当 $x = 4$ …
3已知一条曲线的方程为 $y = \frac{2x - 3}{3x + 4}$ ，其中 $x \ne -\frac{4}{3}$ 。曲线在点 $P$ （其中 $x > 0$ ）处的法线平行于直线 $y = -\frac{25}{17}x + 2$ 。…
4求曲线 $y = 2x^2 - \ln x + c$ 的导函数。曲线在点 $T$ 处与正 $x$ 轴相切。求 $T$ 的坐标。证明 $c = -\ln 2\sqrt{e}$ 。求在点 $T$ 处 $\frac{\text{d}^2y}{\text{d}x^2}$ …
5曲线 $y = 2\tan 3x - 1$ 在点 $P\left(\frac{\pi}{3}, -1\right)$ 处的法线交 $y$ 轴于点 $A$ ，交 $x$ 轴于点 $B$ 。求三角形 $AOB$ 的精确面积。
6点 $P$ 在曲线 $y = \ln\left(\frac{x+1}{x-1}\right)$ （ $x > 1$ ）上。该曲线在点 $P$ 处的法线平行于直线 $2y = 3x + 2$ 。曲线在点 $P$ 处的切线交 $y$ 轴于点 $Q$ 。求…
7圆的半径以 3 cm s^{-1} 的速率增加。用 $\pi$ 表示以下情况下面积的增加率：半径为 5 cm。面积为 $4\pi\ \text{cm}^2$ 。
8图中显示了曲线 $y = g(x)$ 的一部分。 $(2, 8)$ 和 $(6, 1)$ 是曲线上的两个点。已知 $\int_{2}^{6} y \text{ } dx = 32$ ，求 $\int_{1}^{8} x \text{ } dy$ …
9图示为曲线 $y = 3e^{-\frac{1}{2}x} - 6$ 的一部分，该曲线与 $x$ 轴相交于点 $P$ ，与 $y$ 轴相交于点 $Q$ 。曲线在点 $Q$ 处的法线与 $x$ 轴交于点 $R$ 。求法线的方程，阴影区域的面积。
10容器中液体的体积 $V\ \text{m}^3$ 由下式给出： $V = 0.05\bigl[(3x+2)^3 - 8\bigr],$ 其中 $x$ 是液体的深度（以米为单位）。液体以 $0.081\ \text{m}^3/\text{s}$ …
11已知函数 $f(x)={{e}^{x}}-1$ ， $g(x)=\sin x(1)$ 判断 $F(x)=f(x)-g(x)$ 在 $x\in[0,+\infty)$ 上零点的个数； (2)当 $x\in[0,\pi]$ 时， $f(x)\geqslant ag(x)(a\in R)$ …
12一名驾驶员以恒定速度 V m/s 行驶，经过一个固定点 X 并看到前方车辆很少。他踩下油门，随后他的速度 v m/s 由 $v = 60e^{t/6}$ 给出，其中 $t$ 是通过 X 后的时间（以秒为单位）。当他通过点 Y 时，他的速度已…
13一个高为 $h$ 、底面半径为 $r$ 的圆锥恰好内接于一个半径为 $5\text{ cm}$ 的球体中，如下图所示。 $\left(\text{圆锥的体积} = \frac{1}{3}\pi r^2 h\right)$ 用 $h$ 表示…
14图中显示了曲线 $y = \sqrt{3x + 4}$ 的一部分。直线 $AB$ 在点 $A$ 处与曲线相切。点 $B$ 和 $C$ 位于 $x$ 轴上，且 $C$ 是曲线上的一个点。已知该曲线在点 $A$ 处的切线斜率为 $\frac{3}{2}$ …
15已知 $y = \frac{4}{5}\left(\frac{x}{12} - 1\right)^6$ 且 $x$ 和 $y$ 都随时间变化，当 $y$ 的变化率是 $x$ 的变化率的 $12\frac{4}{5}$ 倍时，求 $y$ 的值…
16曲线 $y = f(x)$ 的斜率函数由 $\frac{36}{(2x+1)^2}$ 给出，其中 $x > -\frac{1}{2}$ 。曲线过点 $\left(\frac{1}{2}, 2\right)$ 。求该曲线的方程。求曲线在 $x = 1$ …
17已知 $y = 4x \sin 2x$ 。证明 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ 可以表示为 $ax \cos 2x + b \sin 2x$ 的形式，其中 $a$ 和 $b$ 为常数。已知 $x$ 以每…
18当容器中液体的高度为 $h$ m时，液体的体积为 $V\text{ m}^3$ ，其中 $V = 0.06 \left[ (4h + 1)^3 - 7 \right] \text{ 且 } h \ge 0.25$ 求 $\frac{\text{d}V}{\text{d}h}$ …
19如图所示，一个半顶角为 $30^\circ$ 的圆锥形容器中正在以一定的速度注水。在 $t$ 秒后，水的深度为 $x\text{ cm}$ ，水面的半径为 $r\text{ cm}$ 。证明水的体积 $V = \frac{\pi x^3}{9}\text{ cm}^3$ …
20如图所示为曲线 $y = (1 - x)(x - 4)$ 的一部分以及两条直线 $l_1$ 和 $l_2$ 。直线 $l_1$ 和 $l_2$ 分别是曲线在点 $P$ 和 $Q$ 处的切线，斜率分别为 $2$ 和 $-2$ 。证明 $P$ 和…
21已知曲线 $y = \frac{1}{2}e^{2x} - \frac{1}{3}e^{-3x} + \frac{1}{3}$ ，且该曲线在点 $P\left(\ln 2, \frac{55}{24}\right)$ 处的法线与 $y$ 轴交…
22图中所示为一个玻璃试管，其半径为 $r\text{ cm}$ ，高度为 $(h+r)\text{ cm}$ ，底部为一个半径为 $r\text{ cm}$ 的半球。试管的表面积为 $12\pi$ 。求证 $h = \frac{6-r^2}{r}$ …
23下图显示了 $y = \frac{1}{2x+1}$ 的图像以及该曲线在其与 $y$ 轴交点处的切线。求切线的方程。计算阴影区域的面积。
24 $ABCD$ 是一个位于半径为 8 cm、圆心为 $O$ 的半圆内的矩形。已知 $AB = x$ cm 且 $BC = y$ cm。证明该矩形的面积 $A$ cm $^2$ 由 $A = \frac{x}{2}\sqrt{256 - x^2}$ …
25农夫用 160 米长的栅栏围起他的一块土地，该土地的形状由一个等腰三角形和一个矩形组成，其尺寸如图所示。证明该土地的面积为 $\dfrac{320\sqrt{3}\,x - (3\sqrt{3} + 6)\,x^2}{4}\ \text{m}^2.$ …
26图中显示了曲线 $y = \frac{1}{\left(\frac{3}{4}x - 5\right)^2} + 1$ 的一部分。 $P$ 是曲线上 $x = 6$ 的点。曲线在点 $P$ 处的切线与 $x$ 轴相交于点 $Q$ 。求 $Q$ …
27油以每秒 16 cm3 的速率滴入一个空的倒立圆锥（直圆锥）中。圆锥的高度为 h cm，是其半径 r cm 的四分之三。 [直圆锥的体积 = $\tfrac{1}{3} \times \pi \times r^2 \times h$ ] 证…
28一个质点沿曲线 $y = \frac{3(x+6)}{x+4}$ （其中 $x \ne -4$ ）运动，其 $y$ 坐标以 $\frac{4}{27}$ 单位每秒的恒定速率增加。求当质点的 $x$ 坐标以 2 单位每秒的速率减少时，该质点的 $x$ …
29一家工厂制造微型容器，该容器由一个封闭的圆柱体和一个半径相同的半球组成。圆柱体的半径为 $r\text{ cm}$ ，高为 $h\text{ cm}$ 。容器的体积为 $60\pi\text{ cm}^3$ 。用 $r$ 表示 $h$ 。该容器…
30点 A 在曲线 $y = x \ln x^2$ （ $x > 0$ ）上。曲线在点 A 处的切线平行于直线 $y - 3x = 1$ 。曲线 $y = x \ln x^2$ 在点 A 处的法线与直线 $y - 3x = 1$ 交于点 B。求点…
31 $∀x\in(0,+∞)$ ，不等式 $xe^{x-3}-x-\ln x\geqslant a$ 恒成立，则 $a$ 的最大值为 $(\quad)$ A. $-2$ B. $0$ C. $e^{-2}-1$ D. $-\ln 3$ …
32[半径为 r 的球体体积为 $\dfrac{4}{3}\pi r^3$ ，其表面积为 $4\pi r^2$ 。] 下图显示了一个容量为 $360\pi\ \text{cm}^3$ 的珍珠奶茶杯。它由一个底面半径为 $r$ cm、高为 $h$ c…
33空气正以每秒 12 cm $^3$ 的恒定速率被注入一个球形气球中。求当气球半径为 4 cm 时，气球半径增加的速率。 [半径为 $r$ 的球体体积为 $\frac{4}{3}\pi r^3$ ] 当气球半径膨胀超过 5 cm 时，人们发现，…
34图中显示了曲线 $y = \sin x$ 的一部分。 A 是曲线上的一个点，且在直线 $x = \frac{\pi}{3}$ 上。直线 AC 垂直于 x 轴。若曲线在点 A 处的法线与 x 轴交于点 B，求 A 和 B 的确切坐标。 D…
35图中显示了曲线 $y = 4 - e^{-2x}$ 的一部分，它与坐标轴相交于 $A$ 和 $B$ 两点。求 $A$ 和 $B$ 的坐标。曲线在 $B$ 点处的法线与 $x$ 轴交于 $C$ 点。求 $C$ 的坐标。求阴影区域的面积…
36将一个高为 12 cm、底面半径为 5 cm 的圆锥罩在一个半径为 $r$ cm、高为 $h$ cm 的圆柱上。圆锥沿圆柱的上边缘与圆柱接触。图示为圆锥和圆柱的垂直截面。用 $r$ 表示 $h$ 。由此证明圆柱的体积 $V$ cm $^3$ …
37图中显示了曲线 $y = e^{x-1} - 2$ 的一部分。点 $P(2,\ e-2)$ 在该曲线上，且曲线在点 $P$ 处的法线交 $x$ 轴于点 $Q$ 。用 $e$ 表示点 $Q$ 的 $x$ 坐标。求阴影区域的总面积。
38已知一条曲线的导函数为 $\frac{\text{d}y}{\text{d}x} = \frac{16}{x^3} - 4$ 。若直线 $2y - x - 6 = 0$ 是该曲线的一条法线，求该曲线的方程。
39[高为 $h$ 且底面半径为 $r$ 的圆锥体积为 $\frac{1}{3}\pi r^2 h$ 。] 一个底面半径为 5 cm、高为 20 cm 的空心直圆锥在底部有一个小孔。起初，圆锥内装满了水。由于底部漏水，水以 2 $\text{cm}^3/\text{s}$ …
40图中显示了一个棱柱，其横截面为梯形 $ABCD$ 。 $AB = 4x\text{ cm}$ ， $BC = DC = AD = 2x\text{ cm}$ 。该棱柱的长度为 $d\text{ cm}$ 。证明梯形 $ABCD$ 的面积为 $3\sqrt{3}x^2\text{ cm}^2$ …
41上图显示了一个三角形棱柱形状的微型模型。一根长 36 cm 的铁丝穿过该三角形棱柱的所有棱。棱柱的横截面是边长为 $x$ cm 的等边三角形，棱柱的长度为 $y$ cm。证明该棱柱的总表面积 A cm^2 满足 $A=\frac{\sqrt{3}-12}{2}x^2+36x.$ …
42图中显示了曲线 $y = \sqrt{4x + 5}$ 的一部分。曲线在 $P$ 点处的法线与 $x$ 轴交于 $T$ 。 $P$ 的 $x$ 坐标为 5。已知 $PT$ 是 $PQ$ 的两倍，且 $RQ$ 平行于 $x$ 轴，求 $P$ 点…
43一条曲线满足 $\frac{d^2y}{dx^2} = 6e^{3x} - x$ 且经过点 $\left(2, \frac{2}{3}e^6\right)$ 。已知当 $x = 0$ 时 $\frac{dy}{dx} = 5$ ，求该曲线的方…
44已知函数 $g(x)= \dfrac {1}{x\cdot \sin \theta }+\ln x{在}[1,+∞)$ 上为增函数，且 $θ∈(0,π),f(x)=mx- \dfrac {m-1+2e}{x}-\ln x,m∈R$ ． (1…
45已知函数 $f(x)=x^{3}+ax^{2}+bx-a^{2}-7a$ 在 $x=1$ 处取得极大值 $10$ ，则 $\dfrac{a}{b}$ 的值为 $(\quad)$ A. $-\dfrac{2}{3}$ B. $-2$ …
46泡打粉以 $2\pi\text{ cm}^3\text{s}^{-1}$ 的恒定速率倒在水平面上，形成一个直圆锥。圆锥的半径始终是其高度的 $\frac{1}{18}$ 。求倒入 3 秒后圆锥半径的变化率。 $\left[\text{圆锥体积} = \frac{1}{3}\pi r^2 h\right]$ …
47该图显示了曲线 $y = -3(2x-4)^{-1/3}$ 的一部分。点 $P(-2,\ 1.5)$ 位于该曲线上，且该曲线在点 $P$ 处的法线与 x 轴交于点 $Q$ 。求 $Q$ 的坐标。求由该曲线、法线 $PQ$ 和坐标轴围成的阴…
48园丁计划建造两个花坛，一个是半径为 $r$ m 的圆，另一个是边长为 $x$ m 的正方形。为了保护幼花，这两个花坛将用铁丝网围起来。所用铁丝网的总长度为 30 m。用 $r$ 和 $\pi$ 表示 $x$ 。两个花坛的总面积为 $A\text{ m}^2$ …
49图中显示了曲线 $y = \\sqrt{2x + 4}$ 的一部分，曲线与 $x$ 轴交于点 $A$ ，与 $y$ 轴交于点 $B$ 。曲线在点 $B$ 处的法线与 $x$ 轴交于点 $C$ 。写出 $B$ 点的坐标。求 $C$ 点的坐标。…
50该图显示了曲线 $y = 2 \sin 2x + 1$ 的一部分。 $P$ 是该曲线的最高点，而 $Q$ 是曲线上切线斜率为 $-4$ 的点。求 $P$ 和 $Q$ 的坐标。求由曲线、坐标轴、直线 $PQ$ 和垂直线 $QR$ 围成的阴影…
51点 $P$ 在曲线 $y = \frac{kx^2}{\sqrt{2-x}}$ 上，其中 $k$ 是常数。 $P$ 的 $x$ 坐标为 $-2$ 。已知 $P$ 点处的法线斜率为 $\frac{1}{7}$ ，求证 $k = 4$ 。点 $P$ …
52如图所示为曲线 $y = x^3 + 3x^2 - 2$ 的一部分。直线 $L$ 与曲线相交于 $A(-3, -2)$ ，与 x 轴相交于 $B$ ，并再次与曲线相交于 $C$ 。已知该曲线在点 $B$ 处的切线斜率为 $-3$ ，求点 $B$ …
53一个胶囊由一个圆柱体和在其一端的半球体组成。圆柱体的高为 $h\text{ cm}$ ，半径为 $r\text{ cm}$ 。半球体的半径也为 $r\text{ cm}$ 。（球体体积 = $\frac{4}{3}\pi r^3$ ，球体表面…
54如图所示为一个玻璃窗 $ABCDEF$ ，由一个高为 $3x\text{ cm}$ 、宽为 $y\text{ cm}$ 的长方形 $ABEF$ 以及一个梯形 $BCDE$ 组成，其中 $CD = x\text{ cm}$ ， $BC = 2y\text{ cm}$ …
55本题不接受通过精确作图得出的解。 $ABCD$ 是一个梯形，其中 $AD$ 平行于 $BC$ 且垂直于 $AB$ 。 $E$ 是 $AD$ 上的一个点，且 $BE$ 穿过原点。点 $B$ 、 $C$ 和 $D$ 的坐标分别为 $(3, -2)$ …
56图示为曲线 $y = \frac{1}{4}x^2 - \frac{1} {2}\ln\left(\frac{x}{3}\right)$ 的一部分，且 $P(3,\,2.25)$ 是该曲线上的一点。利用微积分，写出完整的计算过程，判断…
57已知函数定义为 $g(x) = \frac{x^2 - 4}{x^2 + 6}$ ， $x > 0$ 。请写出计算过程，并解释 $g(x)$ 是单调递增函数还是单调递减函数。点 $P$ 沿曲线 $g(x)$ 运动，使得 $P$ 的 $y$ 坐…
58图中显示了曲线 $y = 27 + \frac{8}{(x-2)^3}$ 的一部分，该曲线与坐标轴交于点 $A$ 和点 $B$ 。解释为什么该曲线没有驻点。求 $A$ 和 $B$ 的坐标。求曲线在点 $B$ 处的法线方程。曲线在点 $B$ …
59图中显示了曲线 $y = 2\sin\frac{x}{2}$ 的一部分，其中点 $A$ 在该曲线上。点 $A$ 的 $x$ 坐标为 $\frac{4\pi}{3}$ ，曲线在点 $A$ 处的法线与 $x$ 轴交于 $B$ 点，与 $y$ 轴…
60图中显示了一个纸镇，它由一个半径为 $r$ cm 的实心半球体，叠放在一个半径为 $2r$ cm、高为 $h$ cm 的实心圆柱体上方组成。已知该几何体的总体积为 $216\pi$ cm $^3$ ，请用 $r$ 表示 $h$ 。证明该几何体…