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函数单调性

单调递增与单调递减函数

这个知识点的练习题

1已知一条曲线的方程为 $y = \frac{2x - 3}{3x + 4}$ ，其中 $x \ne -\frac{4}{3}$ 。曲线在点 $P$ （其中 $x > 0$ ）处的法线平行于直线 $y = -\frac{25}{17}x + 2$ 。…
2已知 $y = \frac{6x^2}{2-5x}$ ，求 $x$ 的取值范围，使得 $y$ 是 $x$ 的递减函数。
3已知函数 $f(x)=x^{2}-ax(a\neq 0)$ ， $g(x)=\ln x$ ， $f(x)$ 图象与 $x$ 轴异于原点的交点 $M$ 处的切线为 $l_{1}$ ， $g(x-1)$ 与 $x$ 轴的交点 $N$ 处的切线为…
4已知函数 $f(x)={{e}^{x}}-1$ ， $g(x)=\sin x(1)$ 判断 $F(x)=f(x)-g(x)$ 在 $x\in[0,+\infty)$ 上零点的个数； (2)当 $x\in[0,\pi]$ 时， $f(x)\geqslant ag(x)(a\in R)$ …
5一条曲线的方程由 $y = 5xe^{2x+1}$ 给出。求 $\frac{dy}{dx}$ 。由此，求 $\int xe^{2x+1} \text{ d}x$ 。确定使 $y$ 是递减函数的 $x$ 值范围。
6曲线方程为 $y = \frac{e^{2x+1}}{x+3}$ ，其中 $x \ne -3$ 。求 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ 的表达式。由此，清晰地说明你的理由，并判定对于 $x > 0$ ，函数…
7已知曲线方程为 $y = e^{-2x}\tan x$ 。证明 $\dfrac{dy}{dx} = e^{-2x}(1 - \tan x)^2$ 。用含 $\pi$ 的式子表示当 $0 < x < \dfrac{\pi}{2}$ 时驻点的…
8曲线的方程为 $y = x^3 + kx^2 + kx + 8$ 。求满足下列条件的 $k$ 的取值集合：该曲线为单调递增函数，该曲线恰好有 1 个驻点。
9已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}(n∈N^{*})$ ，且 $a_{n}=2n+λ$ ，若数列 $\{S_{n}\}$ 在 $n\geqslant 7$ 时为递增数列，则实数 $λ$ 的取值范围为 $()$ …
10求 $x$ 的取值范围，使得函数 $y = \ln \left( \frac{x-2}{x-3} \right)^2$ 的图像是递减的。
11已知 $a > 0$ ，函数 $f(x)=x{\,\!}^{2}+a\ln x- ax$ 在 $(0,+∞)$ 上是增函数，则 $a$ 的范围为__
12已知函数 $g(x)= \dfrac {1}{x\cdot \sin \theta }+\ln x{在}[1,+∞)$ 上为增函数，且 $θ∈(0,π),f(x)=mx- \dfrac {m-1+2e}{x}-\ln x,m∈R$ ． (1…
13已知 $y = x^3 + px^2 + qx + 10$ ，其中 $p$ 和 $q$ 是整数。使 $y$ 为 $x$ 的递减函数的 $x$ 值的唯一区间为 $3 < x < 7$ 。求 $p$ 和 $q$ 的值。
14函数 $f(x)=ax^{3}+(a-1)x^{2}+48(a-2)x+b$ 的图象关于原点对称，则 $f(x)$ 在 $[-4,4]$ 上 $()$ A. 单调递增 B. 单调递减 C. $[-4,0]$ 单调递增， $[0,4]$ …
15已知 $y = \frac{16x}{1+x^2}$ ，求 $y$ 单调递增时 $x$ 的取值范围。另一条曲线的方程为 $y = \frac{16x}{1+x^2} + d$ ，其中 $d$ 为常数。解释为什么对于这条曲线，使 $y$ 单调…
16已知幂函数 $f(x)=(-m^{2}+2m+4)x^{m}$ 在 $(0,+∞)$ 上单调递减，则实数 $m=$ ___.
17已知函数定义为 $g(x) = \frac{x^2 - 4}{x^2 + 6}$ ， $x > 0$ 。请写出计算过程，并解释 $g(x)$ 是单调递增函数还是单调递减函数。点 $P$ 沿曲线 $g(x)$ 运动，使得 $P$ 的 $y$ 坐…
18求使 $y = 3x^2 e^{5-2x}$ 为递减函数的 $x$ 的取值范围。
19函数 $f$ 对所有 $x$ 值定义为 $f(x)=(x+3)(1-2x)^2$ 。求使 $f$ 为递减函数的 $x$ 取值范围。
20回答所有问题。函数 $f$ 对所有 $x$ 的值定义为 $f(x) = (2x - x^2)e^x$ 。求 $x$ 的取值范围，使得 $f(x)$ 为递减函数。曲线的斜率函数为 $2(p + 1)x + 2$ ，其中 $p$ 为常…
21求 $\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{\ln x}{4x}\right)$ 。由此，确定曲线 $y=\dfrac{\ln x}{4x}$ 是单调递减函数的 $x$ 的取值范围。答案用 $e$ 表示。
22设数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n+1}= \dfrac {4a_{n}-2}{a_{n}+1}(n∈N^{*})(1)$ 若 $a_{1}=3$ ， $b_{n}= \dfrac {2-a_{n}}{a_{n}-1}(n∈N^{*})$ …
23设函数 $f(x)=\ln x$ ， $g(x)=\dfrac{x}{x+1}$ ，记 $F(x)=f(x)-g(x)(1)$ 求曲线 $y=f(x)$ 在 $x=e$ 处的切线方程； (2)求函数 $F(x)$ 在 $[\dfrac{1}{e},e^{2}]$ …
24已知函数 $f(x)=-x^{4}+8x^{2}+2021$ ，则 $f(x)$ 的一个单调增区间为 $(\quad)$ A. $(-3,0)$ B. $(0,1)$ C. $(1,3)$ D. $(2,4)$
25已知 $y = x^2 \sqrt{2x-1}$ ，证明 $\frac{\text{d}y}{\text{d}x} = \frac{x(5x-2)}{\sqrt{2x-1}}$ 。确定 $y = x^2 \sqrt{2x-1}$ 是否始终为增函…
26一个质点沿着曲线 $y = \frac{2}{\sqrt{3x+1}}$ 运动，其 $y$ 坐标以每秒 3 个单位的恒定速率减少。求当 $x$ 坐标以每秒 0.125 个单位的速率增加的瞬间，该质点的 $y$ 坐标。证明当 $x > \frac{1}{e}$ …
27已知函数 $f(x)= \dfrac {ax}{e^{x}}$ 在 $x=0$ 处的切线方程为 $y=x$ ． (1)求 $a$ 的值； (2)若对任意的 $x∈(0,2)$ ，都有 $\dfrac {1}{f(x)} > k+2x-x^{2}$ …
28已知 $y=f(x)$ 是定义在 $R$ 上的函数，且 $f(1)=1$ ， $f′(x) > 1$ ，则 $f(x) > x$ 的解集是 $()$ A. $(0,1)$ B. $(-1,0)∪(0,1)$ C. $(1,+∞)$ …
29设锐角 $\triangle ABC$ 的三个内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $c=1$ ， $A=2C$ ，则 $\triangle ABC$ 周长的取值范围为 $(\quad)$ …
30已知函数 $f(x)=m\ln x$ ． (1)讨论函数 $F(x)=f(x)+ \dfrac {1}{x}-1$ 的单调性； (2)定义：“对于在区域 $D$ 上有定义的函数 $y=f(x)$ 和 $y=g(x)$ ，若满足 $f(x)\leqslant g(x)$ …
31设函数 $f(x)=ax- \dfrac {a}{x}-2\ln x$ ． (1)若 $f(x)$ 在 $x=2$ 时有极值，求实数 $a$ 的值和 $f(x)$ 的极大值； (2)若 $f(x)$ 在定义域上是增函数，求实数 $a$ 的取…
32曲线的方程为 $y = x^2(6 - x)$ 。求该曲线驻点的坐标。使用二阶导数检验法确定每个驻点的极值性质。求使 $y$ 单调递增的 $x$ 的值域。
33当 $n < 0$ 时，幂函数 $y=x^{n}$ 是定义域上的减函数 $.()$ A. $√$ B. $×$
34函数 f 的定义域为 $x > \frac{3}{2}$ ，其表达式为 $\text{f}(x) = \frac{e^{2x}}{1 - x}$ 。清晰地说明 f 是增函数还是减函数。
35已知 $y = \frac{2x^2}{x - 3}$ ，求使得 $y$ 为递减函数的 $x$ 取值范围。
36已知对于 $x > q$ ，有 $y = \frac{2x-1}{\sqrt{x+2}}$ 。写出 $q$ 的值。求 $\dfrac{dy}{dx}$ 。说明 $y = \dfrac{2x-1}{\sqrt{x+2}}$ 是增函数还是减函数…
37已知当 $x > -3$ 时， $y = \frac{\ln(x+3)^3}{3x+9}$ ，求使 $y$ 是关于 $x$ 的单调递增函数的 $x$ 值集合。请用 e 表示你的答案。
38回答所有问题。对 $2xe^{1-2x}$ 关于 $x$ 求导。由此求出 $\int_{0}^{1} 2xe^{1-2x} \text{d}x$ 的准确值。确定下方两幅图中哪一幅是 $y = 2xe^{1-2x}$ 的图像。解释你的答…
39曲线的方程为 $y = \frac{e^{2x}}{1-x}$ ，其中 $x > \frac{3}{2}$ 。求 $\frac{dy}{dx}$ ，并说明 $y$ 是始终递增还是始终递减。
40已知 $n\in N^{*}$ ，集合 $M_{n}=\{\dfrac{1}{2},\dfrac{3}{4},\dfrac{5}{8},$ … $\dfrac{2n-1}{2^{n}}\}$ ，集合 $M_{n}$ 所有非空子集的最小元素之…
41函数 $f$ 定义为 $f(x)=3\sin x-4\cos 2x$ ，其中 $0<x<\dfrac{\pi}{2}$ 。写出计算过程，并说明 $f$ 是单调递增函数还是单调递减函数。点 $P$ 沿曲线 $y=f(x)$ 运动，其 x 坐标…
42从A、B两水库向甲、乙两地调水，其中甲地需水15万吨，乙地需水13万吨，A、B两水库各可调出水14万吨．从A地到甲地50千米，到乙地30千米；从B地到甲地60千米，到乙地45千米．设计一个调运方案使水的调运量（单位：万吨•千米）尽可能小．
43若直线y=kx（k≠0）经过点（-2，6），则y随x的增大而 ___ ．
44若函数 $f(x)=x^{2}+2(a-1)x+2$ 在区间 $(-∞,3)$ 上是单调函数，则实数 $a$ 的取值范围是 $(\quad)$ A. $(-∞,-2]$ B. $[-2,+∞)$ C. $(-∞,4]$ D.…
45已知函数 $f(x)=-2x\ln x+x^{2}-2ax+a^{2}.$ 记 $g(x)$ 为 $f(x)$ 的导函数． (1)若曲线 $y=f(x)$ 在点 $(1,f(1))$ 处的切线垂直于直线 $x+y+3=0$ ，求 $a$ 的…
46已知幂函数 $f(x){=}{(m{-}1)}^{2}x^{m^{2}{-}4m{+}2}$ 在 $(0{,}{+∞})$ 上单调递增，函数 $g(x){=}2^{x}{-}t$ ，对于任意的 $x_{1}{∈[}1{,}6)$ ，总存在 $x_{2}{∈[}1{,}6)$ …
47已知函数 $f(x)=ax^{2}-b\ln x$ 在点 $A(1,f(1))$ 处的切线方程为 $y=1$ ； (1)求实数 $a$ ， $b$ 的值； (2)求函数 $f(x)$ 的极值．
48求曲线 $y = \frac{2x-6}{x-2}$ 在与 y 轴交点处的法线方程。判断并给出解释：当 $x > 2$ 时， $y$ 是递增函数还是递减函数。已知一曲线满足 $\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} = (3x+1)^{2}$ …
49已知函数 $F(x)= \dfrac{p}{x}+\ln ⁡(px) ($ 其中 $p > 0).(1)$ 当 $p=\dfrac{1}{2}$ 时，判断 $F(x)$ 零点的个数 $k$ ； (2)在(1)的条件下，记这些零点…
50已知函数 $f(x)= \dfrac {1}{3}x^{3}-(2k+1)x^{2}+3k(k+2)x+1$ ，其中 $k$ 为实数． (1)当 $k=-1$ 时，求函数 $f(x)$ 在 $[0,6]$ 上的最大值和最小值； (2)求函数…
51已知函数 $f(x)=\sin^{2}x+ax^{2}.(1)$ 当 $a=1$ 时，求 $f(x)$ 的单调区间； (2)若 $x\in\left[0,\dfrac{\pi}{2}\right]$ ，不等式 $\sin(2\cos\:x)+a^{2}x^{2}\geqslant af(x)$ …
52已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1}\text{=}1$ ， $a_{n\text{+}1}\text{=}\dfrac{a_{n}}{2\text{+}3a_{n}}(n{\in}N^{\text{*}})$ ，则下列结论…
53图 $A$ , $B$ , $C$ , $D$ , $E$ 和 $F$ 展示了六个不同函数的图像。选择最符合下列特征的图像： $y$ 与 $x$ 成反比，图像 ... $y = x^n$ ，其中 $n$ 是大于 1 的奇整数，图像 ... $y = n^x$ …
54已知一条曲线满足 $\dfrac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d}x^2} = -4\sin(2x+\pi)$ ，且点 $P\left(\dfrac{\pi}{2},\pi\right)$ 在该曲线上。曲线在 $P$ 点…
55已知 $y = (x - 2)(2x - 5)^3$ 。求 $\frac{dy}{dx}$ 的表达式，并表示为 $(ax + b)(2x - 5)^2$ 的形式，其中 $a$ 和 $b$ 为整数。确定使得 $y$ 为递减函数的 $x$ 的…