已知函数$f(x)=\sin^{2}x+ax^{2}.(1)$当$a=1$时，求$f(x)$的单调区间； (2)若$x\in\left[0,\dfrac{\pi}{2}\right]$，不等式$\sin(2\cos\:x)+a^{2}x^{2}\geqslant af(x)$恒成立，求实数$a$的取值范围．

1. 代入 $a=1$ 并对 $f(x)$ 求导

当 $a=1$ 时，$f(x) = \sin^2 x + x^2$。
对其求导，得：
$f'(x) = 2\sin x \cos x + 2x = \sin 2x + 2x$

2. 判断导函数 $f'(x)$ 的符号与零点

求二阶导数，得：
$f''(x) = 2\cos 2x + 2 = 2(\cos 2x + 1)$
因为 $\cos 2x \geqslant -1$，所以 $f''(x) \geqslant 0$ 恒成立，故 $f'(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上单调递增。
又因为 $f'(0) = \sin 0 + 0 = 0$，
所以当 $x \in (-\infty, 0)$ 时，$f'(x) < 0$；当 $x \in (0, +\infty)$ 时，$f'(x) > 0$。

3. 写出函数的单调区间

综上所述，函数 $f(x)$ 的单调递减区间为 $(-\infty, 0]$，单调递增区间为 $[0, +\infty)$。

1. 代入 $f(x)$ 并化简恒成立的不等式

将 $f(x) = \sin^2 x + a x^2$ 代入不等式 $\sin(2\cos x) + a^2 x^2 \geqslant a f(x)$，得：
$\sin(2\cos x) + a^2 x^2 \geqslant a(\sin^2 x + a x^2)$
$\sin(2\cos x) + a^2 x^2 \geqslant a \sin^2 x + a^2 x^2$
两边消去 $a^2 x^2$，原不等式化简为：

2. 取特殊值求出 $a$ 的必要条件

取特殊值 x = rac{\pi}{2} \in \left[0, rac{\pi}{2} ight] 代入不等式：
左边 = \sin\left(2\cosrac{\pi}{2} ight) = \sin 0 = 0，
右边 = a \sin^2rac{\pi}{2} = a \cdot 1^2 = a。
要使不等式成立，必须有 $0 \geqslant a$，即 $a \leqslant 0$。

3. 检验 $a \leqslant 0$ 的充分性并得出结论

当 $a \leqslant 0$ 时：
因为 x \in \left[0, rac{\pi}{2} ight]，所以 $\cos x \in [0, 1]$，从而 $2\cos x \in [0, 2] \subset [0, \pi]$。
根据正弦函数性质，当 $2\cos x \in [0, \pi]$ 时，$\sin(2\cos x) \geqslant 0$。
又因为 $a \leqslant 0$ 且 $\sin^2 x \geqslant 0$，所以 $a \sin^2 x \leqslant 0$。
因此，$\sin(2\cos x) \geqslant 0 \geqslant a \sin^2 x$ 对任意 x \in \left[0, rac{\pi}{2} ight] 均成立。
综上所述，实数 $a$ 的取值范围是 $(-\infty, 0]$。