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等式与不等式的性质

梳理等式的性质，理解不等式的概念，掌握不等式的性质。

这个知识点的练习题

  1. 1若f(x)=3x2−x+1f(x)=3x^{2}-x+1，g(x)=2x2+x−1g(x)=2x^{2}+x-1，则f(x)f(x)，g(x)g(x)的大小关系是()(\quad) A. f(x)=g(x)             f(x)=g(x)\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: …
  2. 2已知函数f(x)=ex−1f(x)={{e}^{x}}-1，g(x)=sin⁡x(1)g(x)=\sin x(1)判断F(x)=f(x)−g(x)F(x)=f(x)-g(x)在x∈[0,+∞)x\in[0,+\infty)上零点的个数； (2)当x∈[0,π]x\in[0,\pi]时，f(x)⩾ag(x)(a∈R)f(x)\geqslant ag(x)(a\in R)…
  3. 3用同样长的绳子分别围长方形、正方形、圆，面积从小到大的排列是()(\quad) A. 圆<<正方形<<长方形 B. 正方形<<长方形<<圆 C. 圆>>正方形>>长方形 D. 长方形<<正方形<<…
  4. 4已知(x2+y2)(x2+y2−5)=6(x ^{2} +y ^{2} )(x ^{2} +y ^{2} -5)=6，则x2+y2=x ^{2} +y ^{2} =___．
  5. 5已知实数a,b,ca,b,c满足(a−b)2+b2+c2−8b−10c+41=0.(1){{(a-b)}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-8b-10c+41=0.(1)分别求a,b,ca,b,c的值； (2)如果aa、bb、cc是正数，且满足a+b+c=9a+b+c=9…
  6. 6若1⩽x⩽3⩽y⩽51\leqslant x\leqslant 3\leqslant y\leqslant 5，则()(\quad) A. 4⩽x+y⩽84\leqslant x+y\leqslant 8 B. x+y+1x+16yx+y+\dfrac{1}{x}+\dfrac{16}{y}…
  7. 7已知函数f(x)=1x2+axf(x)= \dfrac {1}{x^{2}}+ax是偶函数． ((Ⅰ))求aa的值； ((Ⅱ))判断函数f(x)f(x)在区间(0,+∞)(0,+∞)上的单调性，并用函数单调性的定义证明你的结论．
  8. 8在△ABC\triangle ABC中，若∣2cos⁡A−1∣+(3−tan⁡B)2=0\left|2\cos A-1\right|+{\left(\sqrt{3}-\tan B\right)}^{2}=0，则∠C=\angle C=___.
  9. 9在平面直角坐标系中，点OO为坐标原点，直线y=kx+k(k>0)y=kx+k(k > 0)与xx轴交于点AA，与yy轴交于点BB，过点AA的抛物线y=x2+bx+cy=x^{2}+bx+c与xx轴交于另一点P(1)P(1)…
  10. 10已知aa，bb均为正数，且a≠ba≠b，比较a3+b3a^{3}+b^{3}与a2b+ab2a^{2}b+ab^{2}的大小.
  11. 11设f(x)f(x)在[a,+∞)[a,+∞)的导函数为f′(x)f'(x)，且当x>ax>a时，有f′(x)>k>0(kf'(x)>k>0(k为常数))，若f(a)<0f(a)< 0，则在区间(a,a−f(a)k)(a,a-\dfrac{f(a)}{k})内，方程f(x)=0f(x)=0…
  12. 12如果[x]=3，[y]=0，[z]=1求： （1）[x-y]的所有可能值； （2）[x+y-z]的所有可能值．
  13. 13已知a>b>0a > b > 0，c∈Rc∈R，那么下列命题正确的是(    )(\:\:\:\:) A. 1a2<1b2 \dfrac {1}{a^{2}} < \dfrac {1}{b^{2}} B. 1a+c<1b+c \dfrac {1}{a+c} < \dfrac {1}{b+c}…
  14. 14已知f(x)=xln⁡xf(x)=x\ln x，g(x)=−x2+ax−3(1)g(x)=-x^{2}+ax-3(1)对x∈(0,+∞)x∈(0,+∞)，不等式2f(x)⩾g(x)2f(x)\geqslant g(x)恒成立，求实数aa的取值范围； (2)证明：对一切x∈(0,+∞)x∈(0,+∞)…
  15. 15甲乙两人练习赛跑，甲每秒跑7米，乙每秒跑6.5米，甲让乙先跑5米，设x秒后，甲可以追上乙，则下列方程不正确结果是（ ） A. 7x=6.5x+5 B. 7x-5=6.5 C. （7-6.5）x=5 D. 6.5x=7x-5
  16. 16在△ABC\triangle ABC中，设边aa，bb，cc所对的角为AA，BB，CC，且AA，BB，CC都不是直角，(bc−8)cos⁡A+accos⁡B=a2−b2(bc-8)\cos A+ac\cos B=a^{2}-b^{2}…
  17. 17已知函数f(x)=3sin⁡(ωx−π6)+b(ω>0)f(x)= \sqrt{3}\sin (ωx- \dfrac{π}{6})+b(ω > 0) ，且函数图象的对称中心到对称轴的最小距离为π4\dfrac{π}{4}，当x∈[0,π4]x∈[0, \dfrac{π}{4}] …
  18. 18已知m>1m>1，n>1n>1，且ln⁡m−ln⁡n=2n−m\ln m-\ln n=2n-m，下列结论正确的是()(\quad) ①(12)m<(12)n(\dfrac{1}{2})^{m}< (\dfrac{1}{2})^{n}；②nm>n+1m+1\dfrac{n}{m}>\dfrac{n+1}{m+1}…
  19. 19已知相交两圆的半径分别是5和8，那么这两圆的圆心距d的取值范围是（ ） A. d＞3 B. d＜13 C. 3＜d＜13 D. d=3或d=13
  20. 20已知不等式a+3b⩽∣x2−1∣a+ \sqrt{3}b\leqslant \left|{x}^{2}-1\right| 对于满足条件a2+b2=1{a}^{2}+{b}^{2}=1 的任意实数aa，bb恒成立，实数xx的取值范围是 ．
  21. 21已知nn行nn列(n⩾2)\left(n\geqslant 2\right)的数表A=(a11a12⋅⋅⋅a1na21a22⋅⋅⋅a2n⋮⋮⋱⋮an1an2⋅⋅⋅ann)A=\left(\begin{matrix}{{a}_{11}}&{{a}_{12}}&\cdot\cdot\cdot&{{a}_{1n}}\\ {{a}_{21}}&{{a}_{22}}&\cdot\cdot\cdot&{{a}_{2n}}\\ \vdots &\vdots&\ddots&\vdots\\ {{a}_{n1}}&{{a}_{n2}}&\cdot\cdot\cdot&{{a}_{nn}}\\\end{matrix}\right)…
  22. 22不论aa，bb为何有理数，a2+b2−2a−4b+ca^{2}+b^{2}-2a-4b+c的值总是非负数，则cc的最小值是()(\quad) A. 44 B. 55 C. 66 D. 无法确定
  23. 23下列命题中正确的是( ) A. a>b,c>d⇒a−c>b−da{ > }b{,}c{ > }d{⇒}a{-}c{ > }b{-}d B. a>b⇒ac>bca{ > }b{⇒}\dfrac{a}{c}{ > }\dfrac{b}{c} C. ac<bc⇒a<b{ac}{ < }{bc}{⇒}a{ < }b…
  24. 24已知关于xx的一元二次方程(x−2)(x−5)−m2=0(x-2)(x-5)-m^{2}=0． (1)求证：对于任意实数mm，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的一个根是11，求mm的值及方程的另一个根．
  25. 25若点A(−1,y1)A(-1,y_{1})，B(2,y2)B(2,y_{2})，C(5,y3)C(5,y_{3})在反比例函数y=k2+1xy=\dfrac{k^{2}+1}{x}的图象上，则y1y_{1}，y2y_{2}，y3y_{3}的大小关系是()(\quad)…
  26. 26已知sinα+cosα＞1，则α是第 象限角．
  27. 27定义域为RR的可导函数y=f(x)y=f(x)的导函数为f′(x)f'(x)，满足f(x)>f′(x)f(x)>f'(x)，且f(1)=2f(1)=2，则不等式f(x)<2ex−1f(x)< 2e^{x-1}的解集为()(\quad) A. (1,+∞)(1,+\infty)…
  28. 28若集合{x-a∈Z|a-1≤x≤a+1}=（ ） A. {0} B. {-1，0} C. {-1，0，1} D. {-2，-1，0，1，2}
  29. 29已知正数xx，yy满足yln⁡x+yln⁡y=exy\ln x+y\ln y=e^{x}，则xy−2xxy-2x的最小值为()(\quad) A. 12ln⁡2\dfrac{1}{2}\ln 2 B. 2−2ln⁡22-2\ln 2 C. −12ln⁡2-\dfrac{1}{2}\ln 2…
  30. 30已知 a>0a > 0，函数 f(x)=x  ⁣2+aln⁡x−axf(x)=x{\,\!}^{2}+a\ln x- ax 在(0,+∞)(0,+∞)上是增函数，则 aa 的范围为__
  31. 31已知0<a<50< a< 5且aln⁡5=5ln⁡aa\ln 5=5\ln a，0<b<60< b< 6且bln⁡6=6ln⁡bb\ln 6=6\ln b，0<c<70< c< 7且cln⁡7=7ln⁡cc\ln 7=7\ln c，则aa，bb，cc的大小关系为()(\quad)…
  32. 32直角三角形的一个锐角是55°，另一个锐角是 °．
  33. 33已知圆C1C_{1}：x2+y2=r2(r>0)x^{2}+y^{2}=r^{2}(r > 0)与抛物线C2C_{2}：x2=2py(p>0)x^{2}=2py(p > 0)，点(2,−2)( \sqrt {2},-2)是圆C1C_{1}与抛物线C2C_{2}…
  34. 34设函数f(x)={2x,x⩽0,log2x,x>0,f(x)=\left\{\begin{array}{l}2^{x},x\leqslant 0,\\log_{2}x,x>0,\end{array}\right.对任意给定的y∈(2,+∞)y\in(2,+∞)，都存在唯一的x∈Rx\in R…
  35. 35在函数y=−k2−2x(ky= \dfrac{−{k}^{2}−2}{x} (k为常数))的图象上有三个点(−2,y1)(-2,y_{1})，(−1,y2)(-1,y_{2})，(12,y3)( \dfrac{1}{2},{y}_{3}) ，函数值y1y_{1}…
  36. 36已知集合A={x|x＜a+3}，B={x|x＜5}，且满足A⊆B，求实数a的取值范围．
  37. 37已知2＜a≤3且-2≤b≤-1，试求a+b，a-b，ab的取值范围．
  38. 38若xx，yy是实数，ee是自然对数的底数，ex+y+2−3⩽ln⁡(y−2x+1)+3x{e}^{x+y+2}-3\leqslant\ln\left(y-2x+1\right)+3x，则2x+y=2x+y=___.
  39. 39双曲线x24−y2k=1 \dfrac {x^{2}}{4}- \dfrac {y^{2}}{k}=1的离心率e∈(1,2)e∈(1,2)，则kk的取值范围是 ___ ．
  40. 40已知函数f(x)=aln⁡(x+1)−x2f(x)=a \ln (x+1)-x^{2}在区间(0,1)(0,1)内任取两个实数pp，qq，且p≠qp\neq q，不等式f(p+1)−f(q+1)p−q>1\dfrac{f\left( p+1 \right)-f\left( q+1 \right)}{p-q} > 1…
  41. 41若a<0a< 0，b<0b< 0，则p=b2a+a2bp=\dfrac{{b}^{2}}{a}+\dfrac{{a}^{2}}{b} 与 q=a+bq=a+b 的大小关系为 ()(\quad) A. p<qp< q B. p⩽qp\leqslant q…
  42. 42已知0<a<b<10< a< b< 1，c>1c>1，则下列不等式不成立的是()(\quad) A. ac<bcac< bc B. ac>bca^{c}>b^{c} C. ca>cb\dfrac{c}{a}>\dfrac{c}{b} D. log⁡ca<log⁡cb\log_{c}a< \log _{c}b…
  43. 43如果关于x的不等式（a-b）x＞a-b的解集为x＜1，那么a、b的大小关系为（ ） A. a＞b B. a=b C. a＜b D. 无法确定
  44. 44已知曲线W1W_{1}：x2+y2=m2x^{2}+y^{2}=m^{2}，W2W_{2}：x4+y2=m2x^{4}+y^{2}=m^{2}，其中m>0.m>0. ①当m=1m=1时，曲线W1W_{1}与W2W_{2}有44个公共…
  45. 45若实数mm，nn满足∣m−3∣+n−4=0|m-3|+\sqrt{n-4}=0，且mm，nn恰好是Rt△ABC{\rm Rt}\triangle ABC的两条边长，则第三条边长为()(\quad) A. 33或44 B…
  46. 46“a>ba > b，c>0c > 0”是“ac>bcac > bc”的()()条件． A. 必要不充分 B. 充分不必要 C. 充要 D. 既不充分也不必要
  47. 47设a=log⁡32a={{\log }_{3}}2，b=ln⁡2b=\ln 2，c=5−12c={{5}^{-\frac{1}{2}}}， 则()() A. c<b<ac < b < a B. b<c<ab < c < a C. c<a<bc < a < b…
  48. 48若m>n>0m > n > 0，则方程mx2+ny2=1mx^{2}+ny^{2}=1表示曲线是()() A. 焦点在XX轴上的椭圆 B. 圆 C. 焦点在yy轴上的椭圆 D. 无法确定
  49. 49已知不等式(x+y)(1x+ay)⩾9(x+y)\left( \dfrac{1}{x}+\dfrac{a}{y} \right)\geqslant 9对任意的正实数xx，yy恒成立，则正实数aa的最小值为___．
  50. 50已知函数f(x)=1−22ax−1+1(a>0f(x)=1- \dfrac {2}{2a^{x-1}+1}(a > 0且a≠1)a\neq 1)是定义在RR上的奇函数． ((Ⅰ))求实数aa的值； ((Ⅱ)) 证明函数f(x)f(x)…
  51. 51已知a>b>ca>b>c，若1a−b+4b−c⩾ma−c\dfrac{1}{a-b}+\dfrac{4}{b-c}\geqslant\dfrac{m}{a-c}恒成立，则mm的最大值为()(\quad) A. 33 B. 44 C. 88…
  52. 52若a，b为有理数，且x=a+b，y=a-b，则x与y的大小关系是（ ） A. x＞y B. x=y C. x＜y D. 不能确定
  53. 53设函数f(x)=ax−ax−2ln⁡xf(x)=ax- \dfrac {a}{x}-2\ln x． (1)若f(x)f(x)在x=2x=2时有极值，求实数aa的值和f(x)f(x)的极大值； (2)若f(x)f(x)在定义域上是增函数，求实数aa的取…
  54. 54方程2(x−1)2=(x+3)(x−3)2{{(x-1)}^{2}}=(x+\sqrt{3})(x-\sqrt{3})化为一般形式是___．
  55. 55设aa，bb为实数，则“a−b>0a-b>0”是“a2−b2>0a^{2}-b^{2}>0”的()(\quad) A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
  56. 56已知函数f(x)=ln⁡xx−a(a∈R).(1)f\left(x\right)=\dfrac{{\rm\ln}x}{x}-a\left(a\in R\right).(1)若函数f(x)f(x)有两个零点，求aa的取值范围； (2)设函数f(x)f(x)的两个零点为mm…
  57. 57对于R上可导的任意函数f（x），若满足（x-3）f′（x）≥0，则必有（ ） A. f（0）+f（5）＜2f（3） B. f（0）+f（5）≤2f（3） C. f（0）+f（5）≥2f（3） D. f（0）+f（5）＞2f（3）
  58. 58已知α，β是关于x的方程（x-a）（x-b）-1=0的两实根，实数a、b、α、β的大小关系可能是（ ） A. α＜a＜b＜β B. a＜α＜β＜b C. a＜α＜b＜β D. α＜a＜β＜b
  59. 59已知实数mm，nn满足m−n2=2m-n^{2}=2，则代数式m2+2n2+4m−3m^{2}+2n^{2}+4m-3的最小值等于()() A. 99 B. 66 C. −8-8 D. −16-16
  60. 60已知1+tan⁡(θ+720∘)1−tan⁡(θ−360∘)=3+22 \dfrac{1+\tan (θ+720^{\circ})}{1-\tan (θ-360^{\circ})}=3+2 \sqrt{2}，求：[cos⁡2(π−θ)+sin⁡(π+θ)⋅cos⁡(π−θ)+2sin⁡2(θ−π)]⋅1cos⁡2(−θ−2π)[\cos ^{2}(π- θ)+\sin (π+θ)·\cos (π-θ)+2\sin ^{2}(θ-π)]· \dfrac{1}{\cos ^{2}(-θ-2π)}…