已知$f(x)=x\ln x$，$g(x)=-x^{2}+ax-3(1)$对$x∈(0,+∞)$，不等式$2f(x)\geqslant g(x)$恒成立，求实数$a$的取值范围； (2)证明：对一切$x∈(0,+∞)$，都有$\ln x > \dfrac {1}{e^{x}}- \dfrac {2}{ex}$．

1. 分离参数 $a$

依题意，对一切 $x \in (0, +\infty)$，不等式 $2f(x) \geqslant g(x)$ 恒成立，即：
$2x \ln x \geqslant -x^2 + ax - 3$
因为 $x > 0$，方程两边同除以 $x$，可得：
$a \leqslant 2\ln x + x + \frac{3}{x}$

2. 构造新函数并利用导数求最小值

设 $h(x) = 2\ln x + x + \frac{3}{x}$（$x > 0$），对其求导：
$h'(x) = \frac{2}{x} + 1 - \frac{3}{x^2} = \frac{x^2 + 2x - 3}{x^2} = \frac{(x+3)(x-1)}{x^2}$
当 $x \in (0, 1)$ 时，$h'(x) < 0$，$h(x)$ 单调递减；
当 $x \in (1, +\infty)$ 时，$h'(x) > 0$，$h(x)$ 单调递增。
故 $h(x)$ 在 $x = 1$ 处取得极小值也是最小值：
$h(1) = 2\ln 1 + 1 + 3 = 4$

3. 确定 $a$ 的取值范围

要使 $a \leqslant h(x)$ 对 $x \in (0, +\infty)$ 恒成立，只需：
$a \leqslant h(x)_{\min} = 4$
所以实数 $a$ 的取值范围是 $(-\infty, 4]$。

1. 利用切线不等式进行放缩

要证 $\ln x > \frac{1}{\mathrm{e}^x} - \frac{2}{\mathrm{e}x}$，即证 $\ln x - \mathrm{e}^{-x} + \frac{2}{\mathrm{e}x} > 0$ 对一切 $x \in (0, +\infty)$ 成立。
首先，利用指数切线不等式 $\mathrm{e}^t \geqslant t + 1$（当且仅当 $t = 0$ 时等号成立），令 $t = x - 1$，得：
$\mathrm{e}^{x-1} \geqslant x$
两边取倒数，得：
$\mathrm{e}^{-(x-1)} \leqslant \frac{1}{x} \implies \mathrm{e}^{-x} \leqslant \frac{1}{\mathrm{e}x}$
当且仅当 $x = 1$ 时等号成立。因此：
$-\mathrm{e}^{-x} \geqslant -\frac{1}{\mathrm{e}x}$
故对于 $x > 0$：
$\ln x - \mathrm{e}^{-x} + \frac{2}{\mathrm{e}x} \geqslant \ln x - \frac{1}{\mathrm{e}x} + \frac{2}{\mathrm{e}x} = \ln x + \frac{1}{\mathrm{e}x}$

2. 构造新函数并求其最小值

设 $p(x) = \ln x + \frac{1}{\mathrm{e}x}$（$x > 0$），对 $p(x)$ 求导：
$p'(x) = \frac{1}{x} - \frac{1}{\mathrm{e}x^2} = \frac{\mathrm{e}x - 1}{\mathrm{e}x^2}$
当 $x \in \left(0, \frac{1}{\mathrm{e}}\right)$ 时，$p'(x) < 0$，$p(x)$ 单调递减；
当 $x \in \left(\frac{1}{\mathrm{e}}, +\infty\right)$ 时，$p'(x) > 0$，$p(x)$ 单调递增。
因此 $p(x)$ 在 $x = \frac{1}{\mathrm{e}}$ 处取得最小值：
$p(x) \geqslant p\left(\frac{1}{\mathrm{e}}\right) = \ln\left(\frac{1}{\mathrm{e}}\right) + \frac{1}{\mathrm{e} \cdot \frac{1}{\mathrm{e}}} = -1 + 1 = 0$

3. 综合讨论说明严格大于0

结合上述结果：

1. 当 $x \neq 1$ 时，放缩过程中取不到等号，有 $\ln x - \mathrm{e}^{-x} + \frac{2}{\mathrm{e}x} > p(x) \geqslant 0$；
2. 当 $x = 1$ 时，$\ln 1 - \mathrm{e}^{-1} + \frac{2}{\mathrm{e}} = \frac{1}{\mathrm{e}} > 0$。
   综上所述，对一切 $x \in (0, +\infty)$，都有 $\ln x > \frac{1}{\mathrm{e}^x} - \frac{2}{\mathrm{e}x}$ 成立。