已知$n$行$n$列$\left(n\geqslant 2\right)$的数表$A=\left(\begin{matrix}{{a}_{11}}&{{a}_{12}}&\cdot\cdot\cdot&{{a}_{1n}}\\ {{a}_{21}}&{{a}_{22}}&\cdot\cdot\cdot&{{a}_{2n}}\\ \vdots &\vdots&\ddots&\vdots\\ {{a}_{n1}}&{{a}_{n2}}&\cdot\cdot\cdot&{{a}_{nn}}\\\end{matrix}\right)$中，对任意的$i\in\left\{ 1,2,\cdot\cdot\cdot,n\right\}$，$j\in\left\{ 1,2,\cdot\cdot\cdot,n\right\}$，都有${{a}_{ij}}\in\left\{ 0,1\right\}.$若当${{a}_{st}}=0$时，总有$\sum\limits_{i=1}^{n}{{{a}_{it}}}+\sum\limits_{j=1}^{n}{{{a}_{sj}}}\geqslant n$，则称数表$A$为典型表，此时记${{S}_{n}}=\sum\limits_{i=1}^{n}{\sum\limits_{j=1}^{n}{{{a}_{ij}}}}.(1)$若数表$B=\left(\begin{matrix}0&0&1\\ 1&0&0\\ 1&1&0\\\end{matrix}\right)$，$C=\left(\begin{matrix}1&1&0&0\\ 1&1&0&0\\ 0&0&1&1\\ 0&0&1&1\\\end{matrix}\right)$，请直接写出$B$，$C$是否是典型表； (2)当$n=6$时，是否存在典型表$A$使得${{S}_{6}}=17$，若存在，请写出一个$A$；若不存在，请说明理由； (3)求${{S}_{n}}$的最小值.

1. 检验数表 B 是否符合典型表定义

对于 $n=3$ 的数表 $B=\begin{pmatrix}0&0&1\\ 1&0&0\\ 1&1&0\end{pmatrix}$，注意其第 1 行第 2 列元素 $a_{12} = 0$。
第 1 行元素之和 $R_1 = 0 + 0 + 1 = 1$，第 2 列元素之和 $C_2 = 0 + 0 + 1 = 1$。
由于 $R_1 + C_2 = 1 + 1 = 2 < 3$，不满足 $\sum_{i=1}^3 a_{i2} + \sum_{j=1}^3 a_{1j} \ge 3$，故数表 $B$ 不是典型表。

2. 检验数表 C 是否符合典型表定义

对于 $n=4$ 的数表 $C=\begin{pmatrix}1&1&0&0\\ 1&1&0&0\\ 0&0&1&1\\ 0&0&1&1\end{pmatrix}$，其所有为 0 的元素 $a_{st} = 0$ 位于右上和左下区域。
对任意 $a_{st} = 0$（例如 $a_{13} = 0$），第 $s$ 行元素之和 $R_s = 2$，第 $t$ 列元素之和 $C_t = 2$。
此时 $R_s + C_t = 2 + 2 = 4 \ge 4$。
所有元素为 0 的位置均满足此条件，故数表 $C$ 是典型表。

1. 将典型表的定义转化为全局代数不等式

设数表 $A$ 的第 $i$ 行元素之和为 $R_i = \sum_{j=1}^n a_{ij}$，第 $j$ 列元素之和为 $C_j = \sum_{i=1}^n a_{ij}$，则 $\sum_{i=1}^n R_i = \sum_{j=1}^n C_j = S_n$。
由典型表定义，当 $a_{ij} = 0$ 时，有 $R_i + C_j \ge n$，即 $n - R_i - C_j \le 0$；
当 $a_{ij} = 1$ 时，$1 - a_{ij} = 0$。
因此，对任意 $1 \le i, j \le n$，恒有 $(1 - a_{ij})(n - R_i - C_j) \le 0$。

2. 求和并利用柯西不等式推导 S_n 满足的二次不等式

将上述不等式对所有 $1 \le i, j \le n$ 求和得：
$\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n (1 - a_{ij})(n - R_i - C_j) \le 0$
展开左边：
$\begin{aligned} &n(n^2 - S_n) - \sum_{i=1}^n R_i(n - R_i) - \sum_{j=1}^n C_j(n - C_j) \\ &= n^3 - 3n S_n + \sum_{i=1}^n R_i^2 + \sum_{j=1}^n C_j^2 \le 0 \end{aligned}$
由柯西不等式可知 $\sum_{i=1}^n R_i^2 \ge \dfrac{S_n^2}{n}$，$\sum_{j=1}^n C_j^2 \ge \dfrac{S_n^2}{n}$，代入得：
$n^3 - 3n S_n + \frac{2 S_n^2}{n} \le 0 \implies 2 S_n^2 - 3n^2 S_n + n^4 \le 0$

3. 代入 n=6 判断 S_6=17 的可行性

当 $n=6$ 时，代入不等式得：
$2 S_6^2 - 108 S_6 + 1296 \le 0 \implies (S_6 - 18)(2 S_6 - 36) \le 0 \implies S_6 \ge 18$
因为 $17 < 18$，产生矛盾。
所以不存在典型表 $A$ 使得 $S_6 = 17$。

1. 推导 S_n 的理论下界

由第(2)问的通用推导，对任意典型表 $A$，均有：
$2 S_n^2 - 3n^2 S_n + n^4 \le 0 \implies (2 S_n - n^2)(S_n - n^2) \le 0$
解得 $S_n \ge \dfrac{n^2}{2}$。
由于 $S_n$ 必须为整数，故：

• 当 $n$ 为偶数时，$S_n \ge \dfrac{n^2}{2}$；
• 当 $n$ 为奇数时，$S_n \ge \left\lceil \dfrac{n^2}{2} \right\rceil = \dfrac{n^2+1}{2}$。

2. 当 n 为偶数时构造典型表证明下界可达

当 $n$ 为偶数时，设 $n = 2k$ ($k \ge 1$)。
构造分块矩阵 $A = \begin{pmatrix} J_k & 0_{k \times k} \\ 0_{k \times k} & J_k \end{pmatrix}$，其中 $J_k$ 为 $k \times k$ 的全 1 矩阵。
此时每行和与每列和均为 $k$。对任意零元素 $a_{st} = 0$，其行列和为 $R_s + C_t = k + k = 2k = n \ge n$，满足典型表条件。
此时 $S_n = 2k^2 = \dfrac{n^2}{2}$，说明最小值可达。

3. 当 n 为奇数时构造典型表证明下界可达

当 $n$ 为奇数时，设 $n = 2k+1$ ($k \ge 1$)。
构造分块矩阵 $A = \begin{pmatrix} J_{k+1} & 0_{(k+1) \times k} \\ 0_{k \times (k+1)} & J_k \end{pmatrix}$。
前 $k+1$ 行和与前 $k+1$ 列和为 $k+1$，后 $k$ 行和与后 $k$ 列和为 $k$。
对任意零元素 $a_{st} = 0$，其位于右上或左下全 0 块，对应的行列和为 $(k+1) + k = 2k+1 = n \ge n$，满足典型表条件。
此时 $S_n = (k+1)^2 + k^2 = 2k^2 + 2k + 1 = \dfrac{n^2+1}{2}$，说明最小值可达。

综上所述，当 $n$ 为偶数时，$S_n$ 的最小值为 $\dfrac{n^2}{2}$；当 $n$ 为奇数时，$S_n$ 的最小值为 $\dfrac{n^2+1}{2}$。