已知实数$a,b,c$满足${{(a-b)}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-8b-10c+41=0.(1)$分别求$a,b,c$的值； (2)如果$a$、$b$、$c$是正数，且满足$a+b+c=9$，$\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}=\dfrac{10}{9}$求：$\dfrac{c}{a+b}+\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}$的值。

1. 对已知等式进行配方

将已知等式中的项进行分组配方：
$(a-b)^2 + (b^2 - 8b + 16) + (c^2 - 10c + 25) = 0$
根据完全平方公式整理得：
$(a-b)^2 + (b-4)^2 + (c-5)^2 = 0$

2. 根据非负数的性质求出 $a, b, c$ 的值

因为实数的平方是非负数，即 $(a-b)^2 \ge 0$, $(b-4)^2 \ge 0$, $(c-5)^2 \ge 0$
要使它们的和为 0，必须满足每个非负数项同时为 0：
$a-b=0$, $b-4=0$, $c-5=0$
解得：
$a=4, b=4, c=5$

1. 利用已知和的关系变形分子

已知 $a+b+c=9$
可以得到：
$c = 9 - (a+b)$
$a = 9 - (b+c)$
$b = 9 - (c+a)$
代入所求代数式：
$\dfrac{c}{a+b} + \dfrac{a}{b+c} + \dfrac{b}{c+a} = \dfrac{9-(a+b)}{a+b} + \dfrac{9-(b+c)}{b+c} + \dfrac{9-(c+a)}{c+a}$

2. 拆分分式并利用整体代入的方法求值

将上述代数式进行拆分和整理：
$\left(\dfrac{9}{a+b} - 1\right) + \left(\dfrac{9}{b+c} - 1\right) + \left(\dfrac{9}{c+a} - 1\right)$
$= 9\left(\dfrac{1}{a+b} + \dfrac{1}{b+c} + \dfrac{1}{c+a}\right) - 3$
已知 $\dfrac{1}{a+b} + \dfrac{1}{b+c} + \dfrac{1}{c+a} = \dfrac{10}{9}$
代入上式计算可得：
$9 \times \dfrac{10}{9} - 3 = 10 - 3 = 7$