数学知识点English

一元二次方程

解一元二次方程的方法：

因式分解法
公式法
配方法（针对 $y = x^{2} + px + q$ ）
图象法

这个知识点的练习题

1曲线 $C$ 的方程为 $y = \frac{x^2 + x + 3}{x - 2}$ 。在不使用计算器的情况下，求 $y$ 可取的值的集合。草拟 $C$ 的图像，清晰写出所有渐近线的方程，以及所有极值点和与坐标轴交点的坐标。通过在 *…
2方程 $3x^2 + 9x - k = 0$ 的两个根之差为 13 个单位，其中 $k$ 是常数。求 $k$ 的值。答案 k = ...
3在平面直角坐标系xOy中，已知A（2，-2），在y轴上确定点P，使△AOP为等腰三角形，则符合条件的点有 ( ) A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
4方程 $\left|xy\right|+\left|x+y\right|=1$ 的整数解的组数为 $(\quad)$ A. $2$ B. $4$ C. $6$ D. $8$
5方程(x－1)(x＋2)＝0的两根分别是( ) A. x1＝－1，x2＝2 B. x1＝1，x2＝2 C. x1＝－1，x2＝－2 D. x1＝1，x2＝－2
6通过配方法或其他方法，在已知 $y = x^2 - 4x + 6$ 的情况下，用 $y$ 表示 $x$ 。答案 x = ___ 或 ___ 解方程 $38 = a^6 - 4a^3 + 6$ 。答案 a = ___ 或 ___
7利用因式分解法解方程 $9x^2 + 6x - 8 = 0$ 。答案 x = ... 或 ... 由此解方程 $9(y-1)^2 + 6y - 14 = 0$ 。答案 y = ... 或 ...
8关于 $x$ 的方程 $x^{2}-bx+4=0$ 有两个相等的正实数根，则 $b$ 的值为 $(\quad)$ A. $4$ B. $-4$ C. $-4$ 或 $4$ D. $0$
9已知两定点 $M(0,1)$ ， $N(1,2)$ ，平面内一动点 $P$ 到 $M$ 的距离与 $P$ 到 $N$ 的距离之比为 $\sqrt {2}$ ，直线 $y=kx-1$ 与点 $P$ 的轨迹交于 $A$ ， $B$ 两点． (…
10在下方坐标系中画出 $y = 16 - (x + 3)^2$ 的函数图象草图，并清晰地标出图象上截距和顶点的坐标。
11已知 $(x ^{2} +y ^{2} )(x ^{2} +y ^{2} -5)=6$ ，则 $x ^{2} +y ^{2} =$ ___．
12用配方法解方程： $x^{2}+x-1=0$ ，配方后所得方程是 $(\quad)$ A. $(x-\dfrac{1}{2})^{2}=\dfrac{3}{4}$ B. $(x+\dfrac{1}{2})^{2}=\dfrac{3}{4}$ …
13已知实数 $a,b,c$ 满足 ${{(a-b)}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-8b-10c+41=0.(1)$ 分别求 $a,b,c$ 的值； (2)如果 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 是正数，且满足 $a+b+c=9$ …
14一个袋子里有 12 个球。其中 2 个是红球，n 个是绿球，其余是蓝球。尤妮丝随机从袋中取出两个球，且不放回。补全树状图。尤妮丝取出两个蓝球的概率是 $\tfrac{5}{22}$ 。写出一个代表这一信息的方程，并证明它可以化简为：…
15若函数 $y=(k-1)x+k^{2}-1$ 是正比例函数，则 $k$ 的值是 $()$ A. $-1$ B. $1$ C. $-1$ 或 $1$ D. 任意实数
16化简 $\frac{3a^2}{5b^3} + \left(\frac{12c}{25ab}\right)^2$ 。 $n$ 是正整数。证明：对于所有 $n$ ， $(3n+2)^2 - (3n-2)^2$ 都是 3 的倍数。解方程 $\frac{2}{x-4} + \frac{7x}{3x-2} = 1$ …
17关于 $x$ 的一元二次方程 $a{{x}^{2}}+bx+1=0.(1)$ 当 $b=a+2$ 时，利用根的判别式判断方程根的情况； (2)若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的 $a$ ， $b$ 的值，并求此时方程的根.
18求过 $A(1,0)$ 与 $B(0,1)$ 两点，且在 $x$ 轴上截得的弦长等于 $6$ 的圆的方程．
19解方程： $x ^ { 2 } +4x-4=0$
20已知△ABC是等腰三角形，BC=8，AB，AC的长是关于x的一元二次方程x2﹣10x+k=0的两根，则（） A. k=16 B. k=25 C. k=﹣16或k=﹣25 D. k=16或k=25
21关于 $x$ 的方程 $x^{2}+kx+3=0$ 有一根为 $-1$ ，则 $k=$ ___ ，另一根为 ___ .
22有多少个不同的实数 $x$ 满足方程 $(x^2 - 5)^2 = 16$ ？ A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 E. 8
23若关于 $x$ 的一元二次方程 $(m-1)x^{2}+2mx+m+3=0$ 有两个不等的实根，则 $m$ 的取值范围 $(\quad)$ A. $m< \dfrac {3}{2}$ B. $m< \dfrac {3}{2}$ 且 $m≠1\:\:\:\:\:$ …
24已知 $\mathbf{x}_{\mathbf{1}}\mathbf{,}\mathbf{x}_{\mathbf{2}}$ 是一元二次方程 $\mathbf{4}\mathbf{k}\mathbf{x}^{\mathbf{2}}\mathbf{-4}\mathbf{kx+k+1=0}$ …
25在平面直角坐标系中，点 $O$ 为坐标原点，直线 $y=kx+k(k > 0)$ 与 $x$ 轴交于点 $A$ ，与 $y$ 轴交于点 $B$ ，过点 $A$ 的抛物线 $y=x^{2}+bx+c$ 与 $x$ 轴交于另一点 $P(1)$ …
26用公式法解方程 $3x^{2}+4=12x$ ，下列代入公式正确的是 $(\quad)$ A. $x=\dfrac{12\pm\sqrt{12^{2}-3\times 4}}{2}$ B. $x=\dfrac{-12\pm\sqrt{12^{2}-3\times 4}}{2}$ …
27关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}-kx+4=0$ 的两个实数根分别是 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ ，且满足 $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-2x_{1}-2x_{2}-7=0$ ，则 $k$ 的值为 ___.
28方程 $x^{2}-6x+5=0$ 的两根是 $(\quad)$ A. $1$ 和 $5$ B. $-1$ 和 $5$ C. $1$ 和 $-5$ D. $-1$ 和 $5$
29在一个有 36 名学生的班级中，每位学生要么在体育队，要么在表演艺术俱乐部。每位学生在其各自的课外辅助活动中要么是普通成员，要么是领导者。从该班级中随机抽取一名学生。抽到的学生在体育队的概率为 $\dfrac{1}{3}$ 。已知该班级中有…
30在平面直角坐标系中，如果点 $P$ 的横坐标与纵坐标相等，则称点 $P$ 为和谐点，例如：点 $P(1,1)$ 、 $(-2,-2)$ 、 $(0.5,0.5)$ …，都是和谐点，若二次函数 $y=ax^{2}+7x+c(a≠0)$ 的图象…
31在 $\triangle ABC$ 中， $∠C=90°$ ， $\tan A=\dfrac{4}{3}$ ， $AB=20$ ，则 $AC=$ ___.
32解方程 $\displaystyle \frac{3-2x}{7} = \frac{1}{3}(2x-1).$ 答 x = ... 化简 $\displaystyle \frac{25a^{2}-9b^{2}}{15a-10ab+6b^{2}-9b}$ …
33已知等比数列 $\{a_{n}\}(a_{1}\neq a_{2})$ 的公比为 $q$ ，且 $a_{7}$ ， $a_{1}$ ， $a_{4}$ 成等差数列，则 $q=()$ A. $1$ 或 $- 32$ B. $- 32$ …
34二项式 $(3 \sqrt[3]{x}+ \dfrac {1}{x})^{n}$ 的展开式中的各项系数和为 $P$ ，所有二项式系数和为 $Q$ ，若 $P+Q=272$ ，求展开式中的常数项．
35当 $m$ 为何值时，关于 $x$ 的一元二次方程 $(2m+1)x^{2}+4mx+2m-3=0$ ． (1)有两个不相等的实数根； (2)有两个相等的实数根； (3)没有实数根．
36图中显示了一个以 $P(5, 3)$ 为圆心的圆 $C_1$ 。该圆与 x 轴、切线 OQ 以及另一条平行于 y 轴的直线 QR 相切。写出该圆的方程。求圆 $C_2$ 的方程，圆 $C_2$ 是圆 $C_1$ 关于直线 QR 对称得到的…
37一家工厂为公司活动打印海报。不同尺寸的海报打印价格如下。该工厂对打印机的操作有以下指南。已知 1 英寸 = 2.54 厘米，求一张公告板海报的面积，以平方米（m^2）为单位。答 ... m^2 陈先生想为一次活动打印 1200 张公告板…
38在 $\triangle ABC$ 中，设边 $a$ ， $b$ ， $c$ 所对的角为 $A$ ， $B$ ， $C$ ，且 $A$ ， $B$ ， $C$ 都不是直角， $(bc-8)\cos A+ac\cos B=a^{2}-b^{2}$ …
39如果关于 $x$ 的一元二次方程 $kx^{2}-3x-1=0$ 有两个不相等的实根，那么 $k$ 的取值范围是 ___ ．
40记 $S_{n}$ 为递增等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，若 $a_{1}a_{2}a_{3}=8$ ， $a_{4}=a_{3}+4$ ，则 $S_{10}$ 的值为 ___ .
41一个二次函数图像的一部分如下所示。该图像经过点 A (1, 15)，且与 x 轴交于点 B 和 C。已知 C 的坐标为 (6, 0)，且 $x = 2$ 是该图像的对称轴，写出该二次曲线的方程，形式为 $y = a(x - h)^2 + k$ …
42通过将 $x^2-10x-2$ 表示为 $(x-h)^2+k$ 的形式（其中 $h$ 和 $k$ 是常数），写出函数 $y = x^2-10x-2$ 图像最低点（顶点）的坐标。答案 (... , ...)
43P镇和Q镇相距 40 km。一辆汽车以 x km/h 的平均速度从P镇驶往Q镇。在返程中，该汽车随后以 (x+8) km/h 的平均速度从Q镇返回P镇，返程所花的时间减少了 12 分钟。列出一个方程来表示这些信息，并证明其可以化简为 $x^{2} + 8x - 1600 = 0$ …
44因式分解 $a^3 - 2a^2b - 4a + 8b.$ 解方程 $\dfrac{3x+2}{9x} = \dfrac{1}{7x-3}.$
45在 $\triangle ABC$ 中， $AB=12 \sqrt {2}$ ， $AC=13$ ， $\cos ∠B= \dfrac { \sqrt {2}}{2}$ ，则 $BC$ 边长为 ___ ．
46因式分解 $x^2+5x-6$ 。答案 ... 由此，解方程 $(p-1)^2+5(p-1)-6=0$ 。答案 p = ...
47已知抛物线 $y=ax^{2}$ 经过点 $A(2,1).(1)$ 求此抛物线的表达式 $;(2)$ 写出抛物线上点 $A$ 关于 $y$ 轴的对称点 $B$ 的坐标 $;(3)$ 求 $\triangle OAB$ 的面积 $;(4)$ …
48用配方法解下列方程： $(1){{x}^{2}}-6x+10=0$ ； $(2)2{{x}^{2}}-7x+6=0.$
49在下方坐标系中画出 $y=-(x-2)^2+4$ 的函数图像草图。清晰地标出图像与坐标轴交点的坐标以及曲线上的最高点。
50已知函数 $f(x)=e^{x}-\dfrac{e}{2}x^{2},f'(x)$ 为 $f(x)$ 的导函数，若 $f'(a)=f(a)$ ，则 $a=(\quad)$ A. $0$ B. $-1$ C. $2$ D. $0$ …
51下列分式中，当 $x$ 为何值时，分式的值为零？ $(1)\dfrac{{{x}^{2}}-25}{|x|+16}$ ； $(2)\dfrac{|x|-4}{(x+4)(x-2)}$ ．
52已知 $x=1$ 是方程 $x^{2}-5ax+a^{2}=0$ 的一个根，求代数式 $3a^{2}-15a-7$ 的值．
53完成 $y = 2x + \dfrac{20}{x} - 15$ 的数值表。 | x | 1 | 2.5 | 5 | 10 | 12.5 | 15 | 20 | |---|---|---|---|---|---|---|---| | y |…
54解方程 $2(5x-1)^{2}=3(5x-1)$ 的最适当的方法是 $(\quad)$ A. 直接开平方法 B. 配方法 C. 公式法 D. 因式分解法
55若 $x^{2}-3xy-4y^{2}=0$ ，则 $\dfrac {x}{y}=$ ___ ．
56一元二次方程 $x^{2}-2x+1=0$ 的二次项、一次项系数分别为 $(\quad)$ A. $1$ ， $2$ B. $1$ ， $-2$ C. $x^{2}$ ， $-2$ D. $x^{2}$ ， $-2x$
57已知关于 $x$ 的一元二次方程 $(x-2)(x-5)-m^{2}=0$ ． (1)求证：对于任意实数 $m$ ，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的一个根是 $1$ ，求 $m$ 的值及方程的另一个根．
58若不等式 $x^{2}-(a+1)x+a\leqslant 0$ 的解集是 $[-4,3]$ 的子集，则 $a$ 的取值范围是 $()$ A. $[-4,1]$ B. $[-4,3]$ C. $[1,3]$ D. $[-1,3]$ …
59函数 $f(x)=\dfrac{x}{ax+b}(a,b$ 为常数 $)$ 满足：点 $(2,1)$ 在 $f(x)$ 的图象上，方程 $f(x)=x$ 有唯一解． (1)求 $f(x)$ 的解析式； (2)判断 $f(x)$ 在 $(-2,+∞)$ …
60解方程： $x^{2}-3x-4=0$ ．