已知关于$x$的一元二次方程$(x-2)(x-5)-m^{2}=0$． (1)求证：对于任意实数$m$，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的一个根是$1$，求$m$的值及方程的另一个根．

1. 将原方程化为一元二次方程的一般形式

将原方程进行去括号与移项整理：
$(x-2)(x-5)-m^2 = 0$
展开得：
$x^2 - 7x + 10 - m^2 = 0$

2. 求出判别式 $\Delta$ 的表达式

在该一元二次方程中，二次项系数 $a=1$，一次项系数 $b=-7$，常数项 $c=10-m^2$．
则其根的判别式为：
$\Delta = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \times 1 \times (10 - m^2)$
$\Delta = 49 - 40 + 4m^2 = 9 + 4m^2$

3. 通过分析 $\Delta$ 的符号证明结论

因为对于任意实数 $m$，均有 $m^2 \geqslant 0$，
所以 $4m^2 \geqslant 0$，
由此可得 $\Delta = 9 + 4m^2 \geqslant 9 > 0$．
因为 $\Delta > 0$，所以对于任意实数 $m$，该方程总有两个不相等的实数根．

1. 将已知根 $x=1$ 代入原方程

因为原方程的一个根是 $1$，将 $x=1$ 代入方程 $(x-2)(x-5)-m^2=0$ 得：
$(1-2)(1-5) - m^2 = 0$

2. 求解待定参数 $m$ 的值

化简代入后的式子：
$(-1) \times (-4) - m^2 = 0$
$4 - m^2 = 0$
解得：
$m = \pm 2$

3. 代回原方程求出另一个根

将 $m^2 = 4$ 代回第(1)问中展开得到的方程 $x^2 - 7x + 10 - m^2 = 0$ 中，得：
$x^2 - 7x + 6 = 0$
因式分解得：
$(x-1)(x-6) = 0$
解得 $x_1 = 1$, $x_2 = 6$．
所以方程的另一个根是 $6$．