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根的判别式

二次方程具有两个相异实根、两个相等实根和无实根的条件，以及已知直线与曲线相交、相切和不相交的对应条件

这个知识点的练习题

1曲线 $C$ 的方程为 $y = \frac{x^2 + x + 3}{x - 2}$ 。在不使用计算器的情况下，求 $y$ 可取的值的集合。草拟 $C$ 的图像，清晰写出所有渐近线的方程，以及所有极值点和与坐标轴交点的坐标。通过在 *…
2曲线方程为 $y = ax^2 - 3x + 4 - a$ ，其中 $a$ 是常数。当 $a = -2$ 时，求使该曲线完全位于直线 $y = -3$ 下方的 $x$ 的取值集合。当 $a = 3$ 时，证明直线 $y = 3x - 2$ …
3已知一条曲线的方程为 $y = \frac{2x - 3}{3x + 4}$ ，其中 $x \ne -\frac{4}{3}$ 。曲线在点 $P$ （其中 $x > 0$ ）处的法线平行于直线 $y = -\frac{25}{17}x + 2$ 。…
4圆的半径以 3 cm s^{-1} 的速率增加。用 $\pi$ 表示以下情况下面积的增加率：半径为 5 cm。面积为 $4\pi\ \text{cm}^2$ 。
5一质点从点 $O$ 由静止出发并沿直线运动，其速度 $v$ m/s 由 $v = 24t - 6t^2$ 给出，其中 $t$ 是其运动开始后的时间（以秒为单位）。求质点瞬时静止时的 $t$ 值。质点何时会返回其起点？判断质点在 2 秒…
6关于 $x$ 的方程 $x^{2}-bx+4=0$ 有两个相等的正实数根，则 $b$ 的值为 $(\quad)$ A. $4$ B. $-4$ C. $-4$ 或 $4$ D. $0$
7方程 $3^{2x-1}=4(3^x)$ 的解可以表示为 $\dfrac{\ln p}{\ln q}$ 。求 $p$ 和 $q$ 的值。将方程 $\log_{16}(3y-1)+\tfrac{1}{2}=\log_{4}(3y)$ 的…
8证明 1 是方程 $x^3 - 5x^2 = 2 - 6x$ 的一个解。由此求方程 $x^3 - 5x^2 = 2 - 6x$ 的所有解，用根式形式表示非整数根。由此求方程 $(x-1)^3 - 5(x-1)^2 + 6x - 8 = 0$ …
9关于 $x$ 的一元二次方程 $a{{x}^{2}}+bx+1=0.(1)$ 当 $b=a+2$ 时，利用根的判别式判断方程根的情况； (2)若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的 $a$ ， $b$ 的值，并求此时方程的根.
10求满足 $2x(x-3) \ge 3-5x$ 的 $x$ 的取值范围。求最大整数 $k$ 的值，使得直线 $2y+k=x$ 与曲线 $y=2x+\frac{6}{x}$ 不相交。
11已知△ABC是等腰三角形，BC=8，AB，AC的长是关于x的一元二次方程x2﹣10x+k=0的两根，则（） A. k=16 B. k=25 C. k=﹣16或k=﹣25 D. k=16或k=25
12若关于 $x$ 的一元二次方程 $(m-1)x^{2}+2mx+m+3=0$ 有两个不等的实根，则 $m$ 的取值范围 $(\quad)$ A. $m< \dfrac {3}{2}$ B. $m< \dfrac {3}{2}$ 且 $m≠1\:\:\:\:\:$ …
13已知 $\mathbf{x}_{\mathbf{1}}\mathbf{,}\mathbf{x}_{\mathbf{2}}$ 是一元二次方程 $\mathbf{4}\mathbf{k}\mathbf{x}^{\mathbf{2}}\mathbf{-4}\mathbf{kx+k+1=0}$ …
14若抛物线 $y=x^{2}-2x+k$ 和 $x$ 轴有交点，则 $k$ 的取值范围是 ___.
15关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}-kx+4=0$ 的两个实数根分别是 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ ，且满足 $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-2x_{1}-2x_{2}-7=0$ ，则 $k$ 的值为 ___.
16在平面直角坐标系中，如果点 $P$ 的横坐标与纵坐标相等，则称点 $P$ 为和谐点，例如：点 $P(1,1)$ 、 $(-2,-2)$ 、 $(0.5,0.5)$ …，都是和谐点，若二次函数 $y=ax^{2}+7x+c(a≠0)$ 的图象…
17一个质点 $P$ 沿直线运动，在通过定点 $O$ 后的 $t$ 秒时，其速度 $v$ m/s 由 $v = 3t^2 + kt + 18$ 给出，其中 $k$ 为常数。当 $t = 1$ 时，质点的加速度为 $-9$ m/s $^2$ 。证明…
18图中，A、B 和 D 是固定点，满足 $AB = 25\text{ cm}$ ， $AD = 35\text{ cm}$ 且角 $BAD = 90^\circ$ 。角 $BAC = \theta$ 且可以变化。 $AC$ 垂直于 $BC$ ， $EA$ …
19一质点在直线上运动，使得在离开固定点 $O$ 之后 $t$ 秒，其速度 $v$ 由 $v = \frac{36}{(t-3)^2} - 9$ 给出。求质点的初始加速度。质点瞬时静止时 $t$ 的值。质点在头 2 秒内运动的总路程。
20图中显示了直线 $y = 24$ 以及 $y = |x^2 - 16x + 39|$ 的部分图像。该图像与直线 $y = 24$ 相交于点 $P$ 和 $R$ ，并与 $x$ 轴交于点 $Q$ 。求 $P$ 、 $Q$ 和 $R$ 的坐标。写…
21已知 $a$ 和 $b$ 是二次方程 $x^2 - 2x - 1 = 0$ 的两个根，且 $a > b$ 。证明 $\frac{a}{b} = -3 - 2\sqrt{2}$ 。
22当 $m$ 为何值时，关于 $x$ 的一元二次方程 $(2m+1)x^{2}+4mx+2m-3=0$ ． (1)有两个不相等的实数根； (2)有两个相等的实数根； (3)没有实数根．
23解方程 $x + 1 + \sqrt{5 - x} = 0$ 。解方程 $\log_x(2x-1) = \log_{x^2}(4-5x)$ 。
24如果关于 $x$ 的一元二次方程 $kx^{2}-3x-1=0$ 有两个不相等的实根，那么 $k$ 的取值范围是 ___ ．
25一个质点沿曲线 $y = \frac{3(x+6)}{x+4}$ （其中 $x \ne -4$ ）运动，其 $y$ 坐标以 $\frac{4}{27}$ 单位每秒的恒定速率增加。求当质点的 $x$ 坐标以 2 单位每秒的速率减少时，该质点的 $x$ …
26通过考虑 $\left(x + \frac{1}{ax^2}\right)^7$ 二项式展开式中的通项（其中 $a$ 为常数），解释为什么每一项都与 $x$ 相关。在 $\left(x + \frac{1}{ax^2}\right)^7$ …
27解方程 $2^{4p+1} + 20(4^{p-1}) = 3$ 。解释为什么当 $k < -3\frac{1}{8}$ 时，方程 $2^{4p+1} + 20(4^{p-1}) = k$ 无解。
28通过精确作图得出的本题解法将不被接受。图中显示了一个梯形 $ABCD$ ，其中 $AB$ 平行于 $DC$ 。点 $A$ 、 $B$ 和 $D$ 的坐标分别为 $(2, 0)$ 、 $(3a, 2a+4)$ 和 $(-2, 2)$ ，其中 $a$ …
29本题不接受通过精确作图得出的解答。图中显示了一个等腰三角形 PQR，其中 $PQ = QR$ 。三角形的顶点为 P(k, 4)、Q(5, 3) 和 R(9, 10)。求 k 的值。过点 Q 作直线交 y 轴于点 S，使得 $PS = SR$ …
30通过使用适当的换元法，解方程 $e^{\frac{1}{2}x} = 2 + 24 e^{-\frac{1}{2}x}$ 。
31曲线的方程为 $y = x^3 + kx^2 + kx + 8$ 。求满足下列条件的 $k$ 的取值集合：该曲线为单调递增函数，该曲线恰好有 1 个驻点。
32直线 $y=9$ 、 $y=-1$ 和 $3y=4x+9$ 是一个圆的切线。圆心的 x 坐标为正数。解释为什么圆心的 y 坐标是 4。通过考虑判别式或其他方法，证明圆心的 x 坐标是 7。判断点 $(3,0)$ 是否在圆内。
33已知 $f(x) = ax^3 + 3x^2 + bx + 1$ ，其中 $a$ 和 $b$ 为常数。已知 $f(x)$ 能被 $x + 1$ 整除，且被 $2x - 1$ 除时余数为 3，求 $a$ 和 $b$ 的值。由此，解释为什么方…
34一条曲线由方程 $y = \ln\left(\frac{\text{e}^x}{x^2 + 10}\right)$ 定义。证明对于所有实数 $x$ ，该曲线没有极值点。
35一条曲线的方程为 $y = x^2 + x + 2k - 4$ ，一条直线的方程为 $y - 2x = k$ ，其中 $k$ 为常数。求使直线和曲线不相交的 $k$ 的取值集合，并在数轴上表示此集合。已知方程为 $y = ax^2 + 8x + c$ …
36一条曲线的方程为 $y = 3x^2 + 5x + 1$ 。求 $x$ 的取值集合，使得该曲线完全位于直线 $y - 3x = 2$ 的上方。求 $m$ 的取值范围，使得方程 $mx^2 + 2m = 3x(4 - x)$ 具有实数根。
37已知关于 $x$ 的一元二次方程 $(x-2)(x-5)-m^{2}=0$ ． (1)求证：对于任意实数 $m$ ，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的一个根是 $1$ ，求 $m$ 的值及方程的另一个根．
38证明对于 $p$ 的所有实数值，方程 $x^2 + px + 2p = 2x + 8$ 都有实数根。
39因式分解 $64 - (x + 1)^3$ 。由此，解方程 $64 - (x + 1)^3 = 15(3 - x)$ ，非整数根用根式形式表示。
40三次多项式 $\text{f}(x)$ 满足 $x^3$ 的系数为 $-1$ ，且 $\text{f}(x) = 0$ 的根为 $1$ 、 $k$ 和 $k^2$ 。已知 $\text{f}(x)$ 除以 $x - 2$ 的余数为 $-7$ 。证明…
41若函数 $y=(a-1)x^{2}-4x+2a$ 的图象与 $x$ 轴有且只有一个交点，则 $a$ 的值为 ___ ．
42下图显示了 $y = \frac{x^2 + 2x + 5}{x + 3}$ 的部分图像。求极小值点 $P$ 的坐标。
43解方程 $8 - \sqrt{11 - 2x} = -x$ ，将答案表示为 $a + b\sqrt{c}$ 的形式，其中 $a$ 、 $b$ 和 $c$ 均为整数。
44不解方程，判断方程根的情况 $(1)2x^{2}+3x-4=0$ ； $(2)3x^{2}-5x+4=0$ ； $(3)ax^{2}+bx=0(a\neq 0)$ ； $(4){3}{{x}^{{2}}}+{2}={2}\sqrt{{6}}x$ …
45圆 $x^{2}+y^{2}-mx+y+m=0$ 在 $x$ 轴上截得的弦长是它在 $y$ 轴上截得的弦长的 $2$ 倍，则实数 $m$ 的值是 $(\quad)$ A. $-6-2\sqrt{10}$ B. $-6+2\sqrt{10}$ …
46已知函数 $f\left({x}\right)=ax^{2}-3x+b$ ，其中 $a$ ， $b\in R$ . (1)若关于 $x$ 的不等式 $f\left({x}\right)>0$ 的解集为 $\left({-4,1}\right)$ …
47因式分解 $x^3 - 125$ 。表达式 $-2x^3 + 7x^2 + ax + b$ （其中 $a$ 和 $b$ 为整数）含有因式 $x - 5$ ，且被 $2x + 1$ 除时的余数为 $-11$ 。求 $a$ 和 $b$ 的值。由此或…
48已知 $a > 0$ ，函数 $f(x)=x{\,\!}^{2}+a\ln x- ax$ 在 $(0,+∞)$ 上是增函数，则 $a$ 的范围为__
49已知曲线的方程为 $y = ax^2 + 4x + 3a - 7$ ，其中 $a$ 为常数。直线 $y = 2ax - 5$ 在点 $Q$ 处与该曲线相切。求 $a$ 的所有可能值。已知直线 $y = 2ax - 5$ 的斜率为正，求…
50证明方程 $2^{3x+4}\times 5^{2x-1}=16^{x}\times 5^{3x}$ 的解为 $\lg\dfrac{16}{5}$ 。将 $2\log_{2}x-\log_{2}(x-4)=3$ 表示为关于 $x$ …
51一质点 P 沿水平直线运动，在运动开始 $t$ 秒后，它相对于固定点 O 的位移 $s$ m 由下式给出： $s = t^3 + 5t^2 - 2t + 4.$ 用 $t$ 表示 P 的速度。第二个质点 Q 与 P 在同一时刻开始运动…
52曲线的方程为 $x^2 + 4y^2 = 20$ ，直线的方程为 $y = k - x$ ，其中 $k$ 是常数。求 $k$ 的取值范围，使得直线与曲线不相交。证明 $AC + BC + DE = (60 \sin \theta + 25 \cos \theta)\text{ cm}$ …
53一个球被竖直向上抛出。在抛出 $t$ 秒后，它距离地面的高度 $h$ 米由公式 $h = 7 + 20t - 5t^{2}$ 给出。求该球达到的最大高度以及达到该高度的时间。求常数 $k$ 的取值范围，使得曲线 $y = x^{2} + 6x + k$ …
54曲线方程为 $y = 2x^2 + 5$ 。求满足 $y > 3x^2$ 的 $x$ 的值集，并在数轴上表示此集合。直线 $y - kx = 3$ 是曲线在点 $P$ 处的切线。求 $k$ 的可能值。已知 $k > 0$ ，求 $P$ …
55一个质点在直线上运动，其速度 $v$ m/s 由 $v = t^2 - 4t + 3$ 给出，其中 $t$ 是通过固定点 $O$ 后的时间（以秒为单位）。求当 $t = 1$ 时质点的加速度。求质点瞬时静止时 $t$ 的值。求质点静止…
56一个质点沿直线运动，在离开固定点 $O$ 后 $t$ 秒时，其速度 $v\text{ m s}^{-1}$ 由 $v = t^2 - 2kt - 6k$ 给出，其中 $k$ 为常数。质点的最小速度发生在 $t = 2$ 时。证明 $k = 2$ …
57曲线方程为 $y = \frac{5x}{6 - 2x}$ 。求曲线斜率为 7.5 的点的 $x$ 坐标。
58直线 $y = x - 4$ 与曲线 $y = \frac{2}{x - 3}$ 相交于点 $A$ 和点 $B$ 。求 $A B$ 的长度。
59下列方程中有两个相等实数根的是 $(\quad)$ A. $7x^{2}-x-1=0$ B. $9x^{2}=4(3x-1)$ C. $x^{2}+7x+15=0$ D. $2x^{2}-\sqrt{3}x-2=0$
60曲线方程为 $y = -2x^2 - kx - 6 + k$ ，其中 $k$ 为常数。求使得该曲线完全位于 x 轴下方的 $k$ 的取值范围。已知 $2x^2 + bx + c$ 恒为正，写出并化简 $b$ 与 $c$ 之间的关系。解释为…