圆$x^{2}+y^{2}-mx+y+m=0$在$x$轴上截得的弦长是它在$y$轴上截得的弦长的$2$倍，则实数$m$的值是$(\quad)$

A. $-6-2\sqrt{10}$

B. $-6+2\sqrt{10}$

C. $-3-\sqrt{10}$

D. $-3+\sqrt{10}$

1. 求圆与两个坐标轴相交的二次方程及对应判别式条件

令 $y=0$，得 $x$-轴上的交点横坐标满足方程：$x^2 - mx + m = 0$。要使圆在 $x$-轴上截得弦，必须满足该方程有两个相异实根，即 $\Delta_1 = m^2 - 4m > 0$，解得 $m < 0$ 或 $m > 4$。设两根为 $x_1, x_2$，则根据韦达定理有 $x_1 + x_2 = m, x_1x_2 = m$。

令 $x=0$，得 $y$-轴上的交点纵坐标满足方程：$y^2 + y + m = 0$。要使圆在 $y$-轴上截得弦，必须满足该方程有两个相异实根，即 $\Delta_2 = 1 - 4m > 0$，解得 $m < \frac{1}{4}$。
综上，实数 $m$ 必须满足：$m < 0$。

2. 用参数 $m$ 表示圆在 $x$ 轴和 $y$ 轴上截得的弦长

圆在 $x$-轴上截得的弦长为：
$L_x = |x_1 - x_2| = \sqrt{(x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2} = \sqrt{m^2 - 4m}$

设 $y^2 + y + m = 0$ 的两根为 $y_1, y_2$，由韦达定理得 $y_1 + y_2 = -1, y_1y_2 = m$。
圆在 $y$-轴上截得的弦长为：
$L_y = |y_1 - y_2| = \sqrt{(y_1 + y_2)^2 - 4y_1y_2} = \sqrt{1 - 4m}$

3. 根据弦长关系建立关于 $m$ 的方程并求解

由题意，圆在 $x$-轴上截得的弦长是 $y$-轴上截得弦长的 $2$ 倍，即：
$L_x = 2L_y$
代入弦长公式得：
$\sqrt{m^2 - 4m} = 2\sqrt{1 - 4m}$
两边平方得：
$m^2 - 4m = 4(1 - 4m)$
化简整理得一元二次方程：
$m^2 + 12m - 4 = 0$
解得：
$m = \frac{-12 \pm \sqrt{144 - 4 \times 1 \times (-4)}}{2} = -6 \pm 2\sqrt{10}$

4. 检验解的合理性并确定最终的 $m$ 值

由第一步可知，必须满足 $m < 0$。
计算两个候选值：
对于 $m_1 = -6 - 2\sqrt{10}$，由于 $-2\sqrt{10} < 0$，故 $m_1 < 0$，符合题意。
对于 $m_2 = -6 + 2\sqrt{10}$，因为 $\sqrt{10} \approx 3.16$，故 $-6 + 2\sqrt{10} \approx 0.32 > 0$，不满足 $m < 0$（此时 $\Delta_1 < 0$，圆与 $x$-轴无交点，弦长不存在）。
因此，舍去 $m_2 = -6 + 2\sqrt{10}$。
综上所述，实数 $m$ 的值为 $-6 - 2\sqrt{10}$。
故选：A。