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根与系数的关系

二次方程根与系数的关系——根的和与积（补充内容：非2026年4049大纲要求，但属常用教学内容）

这个知识点的练习题

1等比数列 $\{a_{n}\}$ 中，若 $a_{2}$ 、 $a_{4}$ 是方程 $2x^{2}-11x+8=0$ 的两根，则 $a_{3}$ 的值为 $(\quad)$ A. $2$ B. $±2$ C. $\sqrt{2}$ …
2关于 $x$ 的方程 $x^{2}-bx+4=0$ 有两个相等的正实数根，则 $b$ 的值为 $(\quad)$ A. $4$ B. $-4$ C. $-4$ 或 $4$ D. $0$
3已知两定点 $M(0,1)$ ， $N(1,2)$ ，平面内一动点 $P$ 到 $M$ 的距离与 $P$ 到 $N$ 的距离之比为 $\sqrt {2}$ ，直线 $y=kx-1$ 与点 $P$ 的轨迹交于 $A$ ， $B$ 两点． (…
4定义新运算“ $※$ ”，规则： $a※b=ab-a-b$ ，如 $1※2=1×2-1-2=-1$ ，若 $x^{2}+x-1=0$ 的两根为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，则 $x_{1}※x_{2}=$ ___ ．
5在平面直角坐标系 $xOy$ 中，曲线 $C$ 的参数方程为 $\begin{cases} \overset{x=4\cos a+2}{y=4\sin a}\end{cases}(a$ 为参数 $)$ ，以 $O$ 为极点，以 $x$ 轴…
6求过 $A(1,0)$ 与 $B(0,1)$ 两点，且在 $x$ 轴上截得的弦长等于 $6$ 的圆的方程．
7关于 $x$ 的方程 $x^{2}+kx+3=0$ 有一根为 $-1$ ，则 $k=$ ___ ，另一根为 ___ .
8已知 $\mathbf{x}_{\mathbf{1}}\mathbf{,}\mathbf{x}_{\mathbf{2}}$ 是一元二次方程 $\mathbf{4}\mathbf{k}\mathbf{x}^{\mathbf{2}}\mathbf{-4}\mathbf{kx+k+1=0}$ …
9关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}-kx+4=0$ 的两个实数根分别是 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ ，且满足 $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-2x_{1}-2x_{2}-7=0$ ，则 $k$ 的值为 ___.
10已知不等式 $a{x}^{2}-3x+2>0$ 的解集为 $\{x|x< 1或x>b\}.(1)$ 求 $a$ 、 $b$ 的值； (2)解关于 $x$ 的不等式 ${x}^{2}-b(a+c)x+4c>0.$
11在直角坐标系 $xOy$ 中，圆 $C$ 的方程为 $(x- \sqrt {3})^{2}+(y+1)^{2}=9$ ，以 $O$ 为极点， $x$ 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． (1)求圆 $C$ 的极坐标方程； (2)直线 $OP$ …
12已知 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ 是方程 $2x^{2}-3x-1=0$ 的两根，则 $\dfrac{1}{x_{1}}+\dfrac{1}{x_{2}}=\:(\quad)$ A. $-1$ B. $1$ C. $-3$ …
13圆 $x^{2}+y^{2}-mx+y+m=0$ 在 $x$ 轴上截得的弦长是它在 $y$ 轴上截得的弦长的 $2$ 倍，则实数 $m$ 的值是 $(\quad)$ A. $-6-2\sqrt{10}$ B. $-6+2\sqrt{10}$ …
14已知函数 $f\left({x}\right)=ax^{2}-3x+b$ ，其中 $a$ ， $b\in R$ . (1)若关于 $x$ 的不等式 $f\left({x}\right)>0$ 的解集为 $\left({-4,1}\right)$ …
15已知 $y = x^3 + px^2 + qx + 10$ ，其中 $p$ 和 $q$ 是整数。使 $y$ 为 $x$ 的递减函数的 $x$ 值的唯一区间为 $3 < x < 7$ 。求 $p$ 和 $q$ 的值。
16已知函数 $f(x)=x^{2}+ax+b-a(a,b∈R)$ ． (1)若关于 $x$ 的不等式 $f(x) > 0$ 的解集为 $(-∞,-1)∪(3,+∞)$ ，求实数 $a$ ， $b$ 的值； (2)设 $a=2$ ，若不等式 $f(x) > b^{2}-3b$ …
17已知 $\tan\alpha$ ， $\tan\beta$ 是方程 $\lg(3{{x}^{2}}-x-2)=0$ 的两个实数根，则 $\tan(\alpha+\beta)=(\quad)$ A. $2$ B. $\dfrac{1}{5}$ …
18设一元二次方程 $x^{2}-3x-1=0$ 的两根分别是 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，则 ${{x}_{1}}+{{x}_{^{2}}}\left( x_{2}^{2}-3{{x}_{2}} \right)=$ ___．
19已知方程 $x^{2}+2(m-2)x+m^{2}+4=0$ 有两个实数根，且两个根的平方和比两根的积大 $40$ ，求 $m$ 的值．
20在等比数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{n}\in R$ ， $a_{3}$ ， $a_{11}$ 是方程 $3x^{2}-25x+27=0$ 的两根，则 $a_{7}=$ ___.
21已知 $α$ 、 $β$ 是一元二次方程 $x^{2}-2021x+2020=0$ 的两实根，则代数式 $(α-2021)(β-2021)=$ ___ .
22若不等式 $ax^{2}+bx+2 > 0$ 的解集为 $\{x|- \dfrac {1}{2} < x < \dfrac {1}{3}\}$ ，则 $a-b$ 的值为 ___ ．
23 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 是一元二次方程 $x^{2}-x-2022=0$ 的两根，则 $x_{1}+x_{2}+x_{1}x_{2}+2022=$ ___.
24在直角坐标系 $xoy$ 中，直线 $l$ 过点 $M(3,4)$ ，其倾斜角为 $45^{\circ}$ ，以原点为极点，以 $x$ 正半轴为极轴建立极坐标，并使得它与直角坐标系 $xoy$ 有相同的长度单位，圆 $C$ 的极坐标方程为 $ρ=4\sin θ$ …
25已知关于 $x$ 的不等式 $ax^{2}+4ax-3< 0.(1)$ 若不等式的解集为 $\left\{\begin{array}{l}x\left|{x< -3}\right.\end{array}\right.$ 或 $x>-1\}$ …
26一元二次方程 $x^{2} + px + 4 = 0$ 的根为 $\alpha^{2}$ 和 $\beta^{2}$ ，其中 $\alpha > 0$ ， $\beta > 0$ 且 $\alpha > \beta$ 。求 $\alpha - \beta$ …
27先阅读，再回答问题：如果 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 是关于 $x$ 的一元二次方程 $ax^{2}+bx+c=0(a\neq 0)$ 的两个根，那么 $x_{1}+x_{2}$ ， $x_{1}x_{2}$ 与系数 $a$ ， $b$ …
28已知抛物线 $C$ ： $y^{2}=2px(p > 0)$ ，圆 $M$ ： $(x-2)^{2}+y^{2}=4$ ，圆心 $M$ 到抛物线准线的距离为 $3$ ，点 $P(x_{0},y_{0})(x_{0}\geqslant 5)$ …
29已知过抛物线 $y^{2}=2px(p > 0)$ 的焦点，斜率为 $1$ 的直线交抛物线于 $A$ ， $B$ 两点，则 $|AB|=8$ ，则该抛物线的方程为 ___ ．
30若关于 $x$ 的方程 $2x^{2}-3x+c=0$ 的一个根是 $1$ ，则另一个根是 ___ ．
31设 $P$ 为椭圆 $\dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)$ 上任一点， $F_{1}$ ， $F_{2}$ 为椭圆的焦点， $|PF_{1}|+|PF_{2}|=4$ …
32方程 $x^{2}+5x-m=0$ 的一个根是 $2$ ，则 $m=$ ___ ；另一个根是 ___ ．
33已知 $3x^2 - x + 2 = 0$ 的根为 $\alpha$ 和 $\beta$ ，求一个以 $\frac{\alpha + 1}{\beta}$ 和 $\frac{\beta + 1}{\alpha}$ 为根的一元二次方程。
34已知椭圆 $C： \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)$ 的左焦点 $F(-2,0)$ 左顶点 $A_{1}(-4,0)$ ． $($ Ⅰ $)$ 求椭圆 $C$ …
35已知函数 $f(x)=x^{2}+ax+2$ ， $a∈R$ ． (1)若不等式 $f(x)\leqslant 0$ 的解集为 $[1,2]$ ，求不等式 $f(x)\geqslant 1-x^{2}$ 的解集； (2)若函数 $g(x)=f(x)+x^{2}+1$ …
36已知方程 $3x^2 + 9x - k = 0$ 的两个根之差为 13 个单位，其中 $k$ 为常数。求 $k$ 的值。答： $k$ = ...