已知方程$x^{2}+2(m-2)x+m^{2}+4=0$有两个实数根，且两个根的平方和比两根的积大$40$，求$m$的值．

1. 利用一元二次方程根与系数的关系表示出两根之和与两根之积

设方程 $x^{2}+2(m-2)x+m^{2}+4=0$ 的两个实数根分别为 $x_{1}$、$x_{2}$。
根据根与系数的关系可知：
$x_{1}+x_{2}=-2(m-2)$
$x_{1} \cdot x_{2}=m^{2}+4$

2. 利用两根关系建立关于 $m$ 的方程并求解

因为两个根的平方和比两根的积大 $40$，即 $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-x_{1} \cdot x_{2}=40$。
利用代数恒等式变形，可得：
$(x_{1}+x_{2})^{2}-3x_{1} \cdot x_{2}=40$
将 $x_{1}+x_{2}=-2(m-2)$ 和 $x_{1} \cdot x_{2}=m^{2}+4$ 代入上式，得：
$[-2(m-2)]^{2}-3(m^{2}+4)=40$
展开并整理得：
$4(m^{2}-4m+4)-3m^{2}-12=40$
$m^{2}-16m-36=0$
因式分解得：
$(m-18)(m+2)=0$
解得 $m_{1}=-2$，$m_{2}=18$。

3. 利用根的判别式确定实数根存在的条件

因为原方程有两个实数根，所以判别式 $\Delta \geqslant 0$。
即：
$\Delta = [2(m-2)]^{2}-4(m^{2}+4) \geqslant 0$
$4(m^{2}-4m+4)-4m^{2}-16 \geqslant 0$
$-16m \geqslant 0$
解得 $m \leqslant 0$。

4. 综合条件舍去不合题意的解并确定 $m$ 的值

由 $m \leqslant 0$ 可知，在 $m_{1}=-2$ 和 $m_{2}=18$ 中，只有 $m = -2$ 满足条件。
所以 $m$ 的值为 $-2$。