已知函数$f(x)=x^{2}+ax+2$，$a∈R$． (1)若不等式$f(x)\leqslant 0$的解集为$[1,2]$，求不等式$f(x)\geqslant 1-x^{2}$的解集； (2)若函数$g(x)=f(x)+x^{2}+1$在区间$(1,2)$上有两个不同的零点，求实数$a$的取值范围．

1. 求出参数 $a$ 的值

∵ 不等式 $f(x)\leqslant 0$ 即 $x^{2}+ax+2\leqslant 0$ 的解集为 $[1,2]$，
∴ 方程 $x^{2}+ax+2=0$ 的两个实数根为 $x_1=1$，$x_2=2$．
根据一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），得：
$1+2 = -a$，解得 $a = -3$．

2. 代入 $a$ 值化简目标不等式

将 $a = -3$ 代入，不等式 $f(x)\geqslant 1-x^{2}$ 可化为：
$x^{2}-3x+2\geqslant 1-x^{2}$，
整理得：$2x^{2}-3x+1\geqslant 0$．

3. 解一元二次不等式得出最终解集

因式分解得：$(2x-1)(x-1)\geqslant 0$，
解得 $x\leqslant \dfrac{1}{2}$ 或 $x\geqslant 1$．
∴ 不等式的解集为 $\{x|x\leqslant \dfrac{1}{2} \text{ 或 } x\geqslant 1\}$．

1. 写出 $g(x)$ 的解析式并明确零点分布条件

根据题意，得：
$g(x) = f(x)+x^{2}+1 = 2x^{2}+ax+3$．
若函数 $g(x)$ 在区间 $(1,2)$ 上有两个不同的零点，即方程 $2x^{2}+ax+3=0$ 在区间 $(1,2)$ 上有两个不同的实数根．

2. 利用二次函数图象特征列出不等式组

结合二次函数 $g(x) = 2x^{2}+ax+3$ 的图象，根在 $(1, 2)$ 内分布的充要条件为：
$\begin{cases} \Delta > 0 \\ 1 < -\dfrac{a}{2\times 2} < 2 \\ g(1) > 0 \\ g(2) > 0 \end{cases}$
代入计算得：
$\begin{cases} a^2 - 24 > 0 \\ 1 < -\dfrac{a}{4} < 2 \\ 2 + a + 3 > 0 \\ 8 + 2a + 3 > 0 \end{cases}$
即：
$\begin{cases} a < -2\sqrt{6} \text{ 或 } a > 2\sqrt{6} \\ -8 < a < -4 \\ a > -5 \\ a > -5.5 \end{cases}$

3. 求解不等式组得出 $a$ 的取值范围

联立不等式组中的条件：
由 $-8 < a < -4$ 且 $a > -5$ 得到 $-5 < a < -4$．
又因 $a < -2\sqrt{6}$ 且 $-2\sqrt{6} = -\sqrt{24} \approx -4.9$，
取交集可得：$-5 < a < -2\sqrt{6}$．
∴ 实数 $a$ 的取值范围是 $(-5, -2\sqrt{6})$．