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从函数观点看一元二次方程

会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及个数，了解函数零点与方程根的关系。

这个知识点的练习题

1下列命题为真命题的是 $(\quad)$ A. $\text{∃} x_{0}\in R$ ， $x_{0}^{2}\text{+}4x_{0}+6\leqslant 0$ B. 正切函数 $y=\tan x$ 的定义域为 $R$ …
2下列四个命题是假命题的是 $(\quad)$ A. $\{0\}$ 是空集 B. 若 $a\in N$ ，则 $-a\notin N$ C. 集合 $\{x\in R|x^{2}-2x+1=0\}$ 中有 $2$ 个元素 D. 集合 $\{x\in Q|\dfrac{6}{x}\in N\}$ …
3已知函数 $f(x)={{e}^{x}}-1$ ， $g(x)=\sin x(1)$ 判断 $F(x)=f(x)-g(x)$ 在 $x\in[0,+\infty)$ 上零点的个数； (2)当 $x\in[0,\pi]$ 时， $f(x)\geqslant ag(x)(a\in R)$ …
4若抛物线 $y=x^{2}-2x+k$ 和 $x$ 轴有交点，则 $k$ 的取值范围是 ___.
5在平面直角坐标系中，如果点 $P$ 的横坐标与纵坐标相等，则称点 $P$ 为和谐点，例如：点 $P(1,1)$ 、 $(-2,-2)$ 、 $(0.5,0.5)$ …，都是和谐点，若二次函数 $y=ax^{2}+7x+c(a≠0)$ 的图象…
6若方程 $2a{{x}^{2}}-x-1=0$ 在 $(0,1)$ 内恰有一解，则 $a$ 的取值范围是 $()$ A. $a < -1$ B. $a > 1$ C. $-1 < a < 1$ D. $0\leqslant a < 1$ …
7完成 $y = x^2 + 2x - 1$ 的数值表。在对面的网格上，画出 $-4 \le x \le 2$ 范围内的 $y = x^2 + 2x - 1$ 的图像。利用你的图像写出一个关于 $x$ 的不等式，以描述 $y < 3$ …
8函数 $f(x)=\dfrac{x}{ax+b}(a,b$ 为常数 $)$ 满足：点 $(2,1)$ 在 $f(x)$ 的图象上，方程 $f(x)=x$ 有唯一解． (1)求 $f(x)$ 的解析式； (2)判断 $f(x)$ 在 $(-2,+∞)$ …
9设椭圆 $C$ ： $\dfrac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\dfrac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1(a>b>0)$ 的左，右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，其离心率为 $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ …
10若函数 $y=(a-1)x^{2}-4x+2a$ 的图象与 $x$ 轴有且只有一个交点，则 $a$ 的值为 ___ ．
11已知函数 $y=ax^{2}+2x+c$ ，当 $x$ 取任意实数时，下列说法一定正确的是 $(\quad)$ A. 若 $ac>1$ ，则恒有 $y>0$ B. 若 $a$ ， $c$ 互为倒数，则 $y$ 有最小值为 $0$ C.…
12已知函数 $f\left({x}\right)=ax^{2}-3x+b$ ，其中 $a$ ， $b\in R$ . (1)若关于 $x$ 的不等式 $f\left({x}\right)>0$ 的解集为 $\left({-4,1}\right)$ …
13有下列命题：① $mx^{2}+2x-1=0$ 是一元二次方程；②二次函数 $y=ax^{2}+2x-1$ 与 $x$ 轴至少有一个交点；③互相包含的两个集合相等；④空集是任何集合的真子集．真命题有 $(\quad)$ A. $1$ 个…
14已知圆 $C_{1}$ ： $x^{2}+y^{2}=r^{2}(r > 0)$ 与抛物线 $C_{2}$ ： $x^{2}=2py(p > 0)$ ，点 $( \sqrt {2},-2)$ 是圆 $C_{1}$ 与抛物线 $C_{2}$ …
15在直角坐标系 $xOy$ 中，曲线 ${{C}_{1}}$ 的方程为 $y=k\left| x \right|+2.$ 以坐标原点为极点， $x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 ${{C}_{2}}$ 的极坐标方程为 ${{\rho }^{2}}+2\rho \cos \theta -3=0$ …
16已知函数 $f(x)=x^{2}+ax+b-a(a,b∈R)$ ． (1)若关于 $x$ 的不等式 $f(x) > 0$ 的解集为 $(-∞,-1)∪(3,+∞)$ ，求实数 $a$ ， $b$ 的值； (2)设 $a=2$ ，若不等式 $f(x) > b^{2}-3b$ …
17若关于 $x$ 的不等式 $m(x-1) > {{x}^{2}}-x$ 的解集为 $\left\{ x|1 < x < 2 \right\}$ ，则实数 $m$ 的值为．
18一次函数 ${{y}_{1}}=x+1$ 与反比例函数 ${{y}_{2}}=\dfrac{2}{x}$ 的交点为 $(1,2),(-2,-1)$ ，则方程 $x+1=\dfrac{2}{x}$ 的解为 ( ) A. ${{x}_{1}}=1,{{x}_{2}}=2$ …
19已知命题p:关于 $x$ 的不等式 $mx-1≥0$ 的解集为A，且 $2∈A$ ；命题q:关于x的方程 $x ^ { 2 } -2x+m=0$ 有两个不相等的正实数根. （1）若命题p为真命题，求实数m的范…
20已知双曲线 $x^{2}- \dfrac {y^{2}}{3}=1$ 上存在两点 $M$ ， $N$ 关于直线 $y=x+m$ 对称，且 $MN$ 的中点在抛物线 $y^{2}=18x$ 上，则实数 $m$ 的值为 ___ ．
21下列几个命题： ①函数 $y\text{=}\sqrt{x^{2}\text{-}1}\text{+}\sqrt{1\text{-}x^{2}}$ 是偶函数，但不是奇函数； ②“ $\left\{\begin{matrix}a\text{ > }0\\ {\Delta=}b^{2}\text{-}4ac{\leqslant}0\\\end{matrix}\right.$ …
22若不等式 $ax^{2}+bx+2 > 0$ 的解集为 $\{x|- \dfrac {1}{2} < x < \dfrac {1}{3}\}$ ，则 $a-b$ 的值为 ___ ．
23关于函数 $f(x)=\begin{cases}{2^{x}-a,0\leqslant x< 2}\\ {b-x,x\geqslant 2}\end{cases}$ ，其中 $a$ ， $b\in R$ ，给出下列四个结论：甲： $6$ …
24在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可以应用到有限维空间并构成了一般不动点定理的基石．布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹・布劳威尔 $(L.E.J.Brouwer)$ ，简单地讲就是对于满足一定条件的连续…
25在直角坐标系 $xoy$ 中，直线 $l$ 过点 $M(3,4)$ ，其倾斜角为 $45^{\circ}$ ，以原点为极点，以 $x$ 正半轴为极轴建立极坐标，并使得它与直角坐标系 $xoy$ 有相同的长度单位，圆 $C$ 的极坐标方程为 $ρ=4\sin θ$ …
26函数 $y=(x+1) ^{2} -9$ 与 $x$ 轴相交，两交点之间的距离为___．
27已知函数 $f(x)= \dfrac {e^{x}-a}{x}$ ， $g(x)=a\ln x+a$ ． $(1)a=1$ 时，求 $F(x)=f(x)-g(x)$ 的单调区间； (2)若 $x > 1$ 时，函数 $y=f(x)$ 的图…
28在平面直角坐标系中，抛物线 ${y}_{1}={x}^{2}-2x+a$ 与 $x$ 轴的一个交点为 $A$ ，抛物线 ${y}_{2}={x}^{2}+2a+1+2a$ 与 $x$ 轴的一个交点为 $B$ ，且 $A$ 、 $B$ 两…
29设 $a\in R$ ，若 $x\leqslant 0$ 时，恒有 $(ax+1)(x^{2}-x-2a)\leqslant 0$ ，则 $a=$ ___.
30函数 $f(x)=x^{2}+mx-6$ 的一个零点是 $-6$ ，则另一个零点是 ___ .
31已知函数 $f(x)=1- \dfrac {2}{2a^{x-1}+1}(a > 0$ 且 $a\neq 1)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数． $($ Ⅰ $)$ 求实数 $a$ 的值； $($ Ⅱ $)$ 证明函数 $f(x)$ …
32对 $\forall x\in R$ ，用 $M(x)$ 表示 $f(x),g(x)$ 中的较大者，记为 $M(x)=\max\{f(x),g(x)\}$ ，若 $M(x)=\{-x+3,{{(x-1)}^{2}}\}$ ，则 $M(x)$ …
33已知关于 $x$ 的不等式 $ax^{2}+4ax-3< 0.(1)$ 若不等式的解集为 $\left\{\begin{array}{l}x\left|{x< -3}\right.\end{array}\right.$ 或 $x>-1\}$ …
34已知函数 $f\left(x\right)=\dfrac{{\rm\ln}x}{x}-a\left(a\in R\right).(1)$ 若函数 $f(x)$ 有两个零点，求 $a$ 的取值范围； (2)设函数 $f(x)$ 的两个零点为 $m$ …
35若 $\alpha \in \left( 0,\dfrac{\pi }{2} \right)$ ，且 $\cos 2\alpha =\dfrac{2\sqrt{5}}{5}\sin \left( \alpha +\dfrac{\pi }{4} \right)$ …
36已知α，β是关于x的方程（x-a）（x-b）-1=0的两实根，实数a、b、α、β的大小关系可能是（） A. α＜a＜b＜β B. a＜α＜β＜b C. a＜α＜b＜β D. α＜a＜β＜b
37已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的公差 $d>0$ ，前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且满足 $a_{2}a_{3}=45$ ， $a_{1}+a_{4}=14.(1)$ 求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式及前 $n$ …
38已知函数 $f(x)=e^{x}$ ， $g(x)= \dfrac {a}{2}x+b(a,b∈R)$ ， (1)若 $h(x)=f(x)g(x)$ ， $b=1- \dfrac {a}{2}.$ 求 $h(x)$ 在 $[0,1]$ 上的…
39已知函数 $f(x)=e^{x}(x^{2}-2x+a)($ 其中 $a∈R$ ， $a$ 为常数， $e$ 为自然对数的底数 $)$ ． $($ Ⅰ $)$ 讨论函数 $f(x)$ 的单调性； $($ Ⅱ $)$ 设曲线 $y=f(x)$ …
40已知点 $P(x_{0},y_{0})$ 是曲线 $C_{1}$ 上的动点，若抛物线 $C_{2}$ ： $y^{2}=4x$ 上存在不同的两点 $A$ 、 $B$ 满足 $PA$ 、 $PB$ 的中点均在 $C_{2}$ 上，则 $A$ …
41已知函数 $f(x)=\dfrac{x}{x^{2}+4},x\in(-3,3)$ ，若对任意 $x\in(-3,3)$ ，总存在 $a\in[-1,2]$ ，使得不等式 $f(x)+at+t^{2}-\dfrac{1}{4}< 0$ 都恒…
42已知函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}\ln x,x>0\\ {x}^{2}+2x,x⩽0\end{array}\right.$ ，则 $g(x)=f(x)+1$ 的零点个数为___.
43若集合A＝{x∈R|ax2＋ax＋1＝0}中只有一个元素，则a＝( ) A. 4 B. 2 C. 0 D. 0或4
44已知函数 $f(x)=3^{x}$ ， $g(x)=|x+a|-\:2(a\in R).$ 若函数 $y=f(g(x))$ 是偶函数，则 $a=$ $;$ 若函数 $y=g(f(x))$ 存在两个零点，则 $a$ 的一个取值是…
45已知函数 $f\left(x\right)={\left({\log }_{2}x\right)}^{2}-{\log }_{2}{x}^{2}+3$ ，当 $x∈\left[1,4\right]$ 时， $f\left(x\right)$ …
46已知函数 $f(x)=-2x\ln x+x^{2}-2ax+a^{2}.$ 记 $g(x)$ 为 $f(x)$ 的导函数． (1)若曲线 $y=f(x)$ 在点 $(1,f(1))$ 处的切线垂直于直线 $x+y+3=0$ ，求 $a$ 的…
47已知映射 $f$ ： $A→B$ ，其中 $A=B=R$ ，对应法则： $f$ ： $x→y=x^{2}-2x+2$ 若对实数 $k∈B$ ，在集合 $A$ 中不存在原象，则 $k$ 的取值范围是 $()$ A. $k\leqslant 1$ …
48已知函数 $f(x)=\log _{a}(a^{x}+1)+bx(a > 0$ 且 $a\neq 1$ ， $b∈R)$ 的图象关于 $y$ 轴对称，且满足 $f(0)=1$ ． $($ Ⅰ $)$ 求 $a$ 、 $b$ 的值； $($ …
49已知过抛物线y2＝4x的焦点F的弦与抛物线交于A，B两点，过A，B分别作y轴的垂线，垂足分别为C，D，则|AC|＋|BD|的最小值是___．
50已知抛物线 $M$ ： $y^{2}=8x$ 的焦点为 $F$ ，过 $F$ 的直线交 $M$ 于 $A$ ， $B$ 两点，若 $S_{\triangle AOB}=4\sqrt{5}(O$ 为坐标原点 $)$ ，则该直线的斜率为 $(\quad)$ …
51对于二次函数 $y=(x-1)^{2}+2$ 的图象，下列说法正确的是 $()$ A. 开口向下 B. 顶点坐标是 $(1,2)$ C. 对称轴是 $x=-1$ D. 与 $x$ 轴有两个交点
52下列叙述中不正确的是 $(\quad)$ A. 若 $a,b,c\in R$ ，则“不等式 $a{{x}^{2}}+bx+c\geqslant 0$ 恒成立”的充要条件是“ ${{b}^{2}}-4ac\leqslant 0$ ” B.…
53已知函数 $f(x)= \dfrac {1}{3}x^{3}-(2k+1)x^{2}+3k(k+2)x+1$ ，其中 $k$ 为实数． (1)当 $k=-1$ 时，求函数 $f(x)$ 在 $[0,6]$ 上的最大值和最小值； (2)求函数…
54抛物线 $y=2(x-3)(x+2)$ 在 $x$ 轴上截得的线段长度为 $(\quad)$ A. $1$ B. $2$ C. $3$ D. $5$
55函数 $f(x)=\begin{cases}{x-1,x>0}\\ {x^{2}-4,x< 0}\end{cases}$ 的零点是 ___.
56若函数 $f(x)=x^{2}-2x+a\ln x$ 有两个不同的极值点，则实数 $a$ 的取值范围是 $(\quad)$ A. $a>\dfrac{1}{2}$ B. $-\dfrac{1}{2}< a< 0$ C. $a< \dfrac {1}{2}$ …
57已知集合 $A=\{a|$ 关于 $x$ 的方程 $\dfrac{x+a}{x^{2}-1}=1$ 有唯一实数解， $a∈R\}$ ，用列举法表示集合 $A=$ ___．
58已知抛物线 $y=2x^{2}+4x+k-1$ 与 $x$ 轴有交点，则 $k$ 的取值范围是___.
59抛物线 $y=ax^{2}+bx+c$ 与 $x$ 轴的公共点是 $(-1,0)$ ， $(3,0)$ ，则关于 $x$ 的方程 $ax^{2}+bx+c=0$ 的两个根是 ___ ．
60下列各小题中， $p$ 是 $q$ 的充分不必要条件的是 $()①p$ ： $m < -2$ 或 $m > 6$ ， $q$ ： $y=x^{2}+mx+m+3$ 有两个零点； $②p： \dfrac {f(-x)}{f(x)}=1$ ，…