已知函数$f(x)=e^{x}(x^{2}-2x+a)($其中$a∈R$，$a$为常数，$e$为自然对数的底数$)$． $($Ⅰ$)$讨论函数$f(x)$的单调性； $($Ⅱ$)$设曲线$y=f(x)$在$(a,f(a))$处的切线为$l$，当$a∈[1,3]$时，求直线$l$在$y$轴上截距的取值范围．

1. 求出函数 $f(x)$ 的导数

已知函数 $f(x) = e^x(x^2 - 2x + a)$，其定义域为 $\mathbb{R}$．
求导得：
$f'(x) = e^x(x^2 - 2x + a) + e^x(2x - 2) = e^x(x^2 + a - 2)$

2. 讨论 $a \geqslant 2$ 时导数的符号及单调性

因为 $e^x > 0$ 恒成立，所以 $f'(x)$ 的符号由 $x^2 + a - 2$ 决定．
当 $a \geqslant 2$ 时，$a - 2 \geqslant 0$，则 $x^2 + a - 2 \geqslant 0$ 恒成立，即 $f'(x) \geqslant 0$ 恒成立．
此时函数 $f(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上单调递增，单调递增区间为 $\mathbb{R}$（或 $(-\infty, +\infty)$）．

3. 讨论 $a < 2$ 时导数的符号及单调性

当 $a < 2$ 时，令 $f'(x) = 0$，解得 $x = \pm \sqrt{2-a}$．
当 $x \in (-\infty, -\sqrt{2-a})$ 时，$f'(x) > 0$；
当 $x \in (-\sqrt{2-a}, \sqrt{2-a})$ 时，$f'(x) < 0$；
当 $x \in (\sqrt{2-a}, +\infty)$ 时，$f'(x) > 0$．
故 $f(x)$ 的单调递增区间为 $(-\infty, -\sqrt{2-a})$ 和 $(\sqrt{2-a}, +\infty)$，单调递减区间为 $(-\sqrt{2-a}, \sqrt{2-a})$．

1. 求切点坐标与切线斜率

由题意可知，切点为 $(a, f(a))$，其中 $f(a) = e^a(a^2 - a)$．
由第(Ⅰ)问可知，切线 $l$ 的斜率为 $k = f'(a) = e^a(a^2 + a - 2)$．

2. 写出切线方程并求 $y$ 轴截距表达式

切线 $l$ 的方程为：
$y - e^a(a^2 - a) = e^a(a^2 + a - 2)(x - a)$
令 $x = 0$，得 $y$ 轴上的截距为：
$b = e^a(a^2 - a) - a e^a(a^2 + a - 2) = e^a(-a^3 + a)$
记 $g(a) = e^a(-a^3 + a)$，其中 $a \in [1, 3]$．

3. 求截距函数 $g(a)$ 的导数并确定其单调性

对 $g(a)$ 求导，得：
$g'(a) = e^a(-a^3 + a) + e^a(-3a^2 + 1) = e^a(-a^3 - 3a^2 + a + 1)$
设 $h(a) = -a^3 - 3a^2 + a + 1$，在 $a \in [1, 3]$ 上：
$h'(a) = -3a^2 - 6a + 1$
因为 $a \geqslant 1$，所以 $h'(a) = -3a^2 - 6a + 1 \leqslant -3 - 6 + 1 = -8 < 0$，
故 $h(a)$ 在区间 $[1, 3]$ 上单调递减．
由此可得 $h(a) \leqslant h(1) = -1 - 3 + 1 + 1 = -2 < 0$．
因为 $e^a > 0$，所以 $g'(a) < 0$ 恒成立，
即 $g(a)$ 在区间 $[1, 3]$ 上单调递减．

4. 计算截距函数的最值，从而确定截距取值范围

由于 $g(a)$ 在区间 $[1, 3]$ 上单调递减，
当 $a = 1$ 时，$g(a)$ 取得最大值，最大值为 $g(1) = e^1(-1^3 + 1) = 0$；
当 $a = 3$ 时，$g(a)$ 取得最小值，最小值为 $g(3) = e^3(-3^3 + 3) = -24e^3$．
因此，直线 $l$ 在 $y$ 轴上截距的取值范围是 $[-24e^3, 0]$．