曲线$y=\sqrt{3x-2}$在点$(1,f(1))$处的切线方程为

A. $x-2y+1=0$

B. $3x-y-2=0$

C. $3x-2y-1=0$

D. $3x+2y-5=0$

1. 求切点的纵坐标

将 $x=1$ 代入函数解析式 $f(x) = \sqrt{3x-2}$，得：
$f(1) = \sqrt{3 \times 1 - 2} = 1$
因此，切点坐标为 $(1, 1)$。

2. 求函数的导函数

对 $f(x) = (3x-2)^{\frac{1}{2}}$ 求导，利用复合函数求导法则（链式法则）：
$f'(x) = \frac{1}{2}(3x-2)^{-\frac{1}{2}} \cdot (3x-2)' = \frac{3}{2\sqrt{3x-2}}$

3. 计算切线的斜率

将 $x=1$ 代入导函数 $f'(x)$ 中，得到切线斜率 $k$：
$k = f'(1) = \frac{3}{2\sqrt{3 \times 1 - 2}} = \frac{3}{2}$

4. 求切线方程

利用直线的点斜式方程，写出切线方程：
$y - 1 = \frac{3}{2}(x - 1)$
两边同乘以 2，得：
$2y - 2 = 3x - 3$
整理成一般式，得：
$3x - 2y - 1 = 0$
故正确选项为 C。