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链式法则

链式法则的使用

这个知识点的练习题

1已知当 $x>0$ 时， $y = \dfrac{3\ln 2x}{x^2}$ 。证明 $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{3}{x^3}\left(1 - 2\ln 2x\right).$ 由此，求 $\displaystyle\int \frac{\ln 2x}{x^3}\,dx$ …
2在三角形 $ABC$ 中， $AB = x\ \text{cm}$ ， $AC = 3x\ \text{cm}$ ，且角 $BAC = \dfrac{2\pi}{3}$ 。如果 $x$ 以 $0.5\ \text{cm/s}$ 的速率增加，求当 $x = 4$ …
3曲线 $y = 2\tan 3x - 1$ 在点 $P\left(\frac{\pi}{3}, -1\right)$ 处的法线交 $y$ 轴于点 $A$ ，交 $x$ 轴于点 $B$ 。求三角形 $AOB$ 的精确面积。
4图示为曲线 $y = 3e^{-\frac{1}{2}x} - 6$ 的一部分，该曲线与 $x$ 轴相交于点 $P$ ，与 $y$ 轴相交于点 $Q$ 。曲线在点 $Q$ 处的法线与 $x$ 轴交于点 $R$ 。求法线的方程，阴影区域的面积。
5曲线的方程由 $y = x + \sin^2 x$ 给出，其中 $0 \le x \le \pi$ 。写出 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ 的表达式。求该曲线的驻点。确定该驻点的性质。
6容器中液体的体积 $V\ \text{m}^3$ 由下式给出： $V = 0.05\bigl[(3x+2)^3 - 8\bigr],$ 其中 $x$ 是液体的深度（以米为单位）。液体以 $0.081\ \text{m}^3/\text{s}$ …
7一条曲线的方程为 $y = \sqrt{ax + (bx)^2} + cx^3 + d$ ，其中 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 和 $d$ 为常数。该曲线在 $x = 4$ 处与 x 轴相交，且在 $(1, 127)$ 处有一个转折点。直线 $y = -193x + 4$ …
8一条曲线的方程由 $y = 5xe^{2x+1}$ 给出。求 $\frac{dy}{dx}$ 。由此，求 $\int xe^{2x+1} \text{ d}x$ 。确定使 $y$ 是递减函数的 $x$ 值范围。
9曲线方程为 $y = \frac{e^{2x+1}}{x+3}$ ，其中 $x \ne -3$ 。求 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ 的表达式。由此，清晰地说明你的理由，并判定对于 $x > 0$ ，函数…
10图中显示了曲线 $y = \sqrt{3x + 4}$ 的一部分。直线 $AB$ 在点 $A$ 处与曲线相切。点 $B$ 和 $C$ 位于 $x$ 轴上，且 $C$ 是曲线上的一个点。已知该曲线在点 $A$ 处的切线斜率为 $\frac{3}{2}$ …
11已知 $f'(x)=6\cos 3x-12\sin 3x$ 且 $f\left(\frac{\pi}{3}\right)=0$ 。求 $f(x)$ 。求 $f''\left(\frac{\pi}{12}\right)$ 的精确值。
12已知 $y = \frac{4}{5}\left(\frac{x}{12} - 1\right)^6$ 且 $x$ 和 $y$ 都随时间变化，当 $y$ 的变化率是 $x$ 的变化率的 $12\frac{4}{5}$ 倍时，求 $y$ 的值…
13当容器中液体的高度为 $h$ m时，液体的体积为 $V\text{ m}^3$ ，其中 $V = 0.06 \left[ (4h + 1)^3 - 7 \right] \text{ 且 } h \ge 0.25$ 求 $\frac{\text{d}V}{\text{d}h}$ …
14曲线 $y=\sqrt{3x-2}$ 在点 $(1,f(1))$ 处的切线方程为 A. $x-2y+1=0$ B. $3x-y-2=0$ C. $3x-2y-1=0$ D. $3x+2y-5=0$
15将 $\dfrac{2x^{2}+3x}{x^{2}+3x+2}$ 表示为部分分式。由此计算 $\displaystyle \int_{1}^{3} \dfrac{2x^{2}+3x}{x^{2}+3x+2}\,dx$ 。已知 $y = x\ln\left(x^{2}+3x+2\right)$ …
16已知函数 $f(x)$ 满足 $f'(x) = \sin 2x + \cos 3x$ 。又已知 $f\left(\frac{\pi}{6}\right) = 0$ ，证明 $f''(x) + 9f(x) = -\frac{3}{4} - \frac{5}{2}\cos 2x$ …
17一质点在直线上运动，使得在离开固定点 $O$ 之后 $t$ 秒，其速度 $v$ 由 $v = \frac{36}{(t-3)^2} - 9$ 给出。求质点的初始加速度。质点瞬时静止时 $t$ 的值。质点在头 2 秒内运动的总路程。
18求 $\ln\left(\frac{3x}{x^2+1}\right)$ 关于 $x$ 的导数。由此求出 $\displaystyle \int \frac{2x}{x^2+1}\,dx$ 。
19下图显示了 $y = \frac{1}{2x+1}$ 的图像以及该曲线在其与 $y$ 轴交点处的切线。求切线的方程。计算阴影区域的面积。
20一曲线的方程为 $y = 2x\sqrt{2x+1}$ 。证明 $\frac{dy}{dx} = \frac{ax+b}{\sqrt{2x+1}}$ ，其中 $a$ 和 $b$ 为正整数。由此，求 $\int \frac{3x+1}{\sqrt{2x+1}} \, dx$ …
21证明 $\frac{d}{dx}(\tan^{3} 2x) = 6\sec^{4} 2x - 6\sec^{2} 2x$ 。由此求 $\displaystyle \int_{0}^{\pi/8} \sec^{4} 2x\, dx$ 的精确值…
22 $ABCD$ 是一个位于半径为 8 cm、圆心为 $O$ 的半圆内的矩形。已知 $AB = x$ cm 且 $BC = y$ cm。证明该矩形的面积 $A$ cm $^2$ 由 $A = \frac{x}{2}\sqrt{256 - x^2}$ …
23图中显示了曲线 $y = \frac{1}{\left(\frac{3}{4}x - 5\right)^2} + 1$ 的一部分。 $P$ 是曲线上 $x = 6$ 的点。曲线在点 $P$ 处的切线与 $x$ 轴相交于点 $Q$ 。求 $Q$ …
24求下列函数的导数 $(1)y={{x}^{2}}\ln x$ ； $(2)y=\dfrac{\sin x-x}{{{x}^{2}}}$ ； $(3)y={{e}^{-x}}\sqrt{2x-1}$
25已知 $y = 2\cos x \sin 2x - \sin x \cos 2x$ ，证明 \dfrac{dy}{dx} = k\cos x \cos 2x $，并写出$ k $的值。由此证明 $$\int_{0}^{\pi/4}\left(7\cos x\cos 2x + \sec^{2} x\right)\,dx = \dfrac{7\sqrt{2}}{3} + 1.$ …
26回答所有问题已知曲线方程为 $y = 2x\sqrt{2x+1}$ 。证明 $\frac{dy}{dx} = \frac{ax+b}{\sqrt{2x+1}}$ ，其中 $a$ 和 $b$ 为正整数。由此求出 $\int \frac{3x+1}{\sqrt{2x+1}} \, dx$ …
27一条曲线由方程 $y = \ln\left(\frac{\text{e}^x}{x^2 + 10}\right)$ 定义。证明对于所有实数 $x$ ，该曲线没有极值点。
28图中显示了曲线 $y = 4 - e^{-2x}$ 的一部分，它与坐标轴相交于 $A$ 和 $B$ 两点。求 $A$ 和 $B$ 的坐标。曲线在 $B$ 点处的法线与 $x$ 轴交于 $C$ 点。求 $C$ 的坐标。求阴影区域的面积…
29求 $x$ 的取值范围，使得函数 $y = \ln \left( \frac{x-2}{x-3} \right)^2$ 的图像是递减的。
30[高为 $h$ 且底面半径为 $r$ 的圆锥体积为 $\frac{1}{3}\pi r^2 h$ 。] 一个底面半径为 5 cm、高为 20 cm 的空心直圆锥在底部有一个小孔。起初，圆锥内装满了水。由于底部漏水，水以 2 $\text{cm}^3/\text{s}$ …
31已知 $y = x(2x-4)^3$ 。求该曲线的驻点坐标，确定每个驻点的性质。
32图中显示了曲线 $y = \sqrt{4x + 5}$ 的一部分。曲线在 $P$ 点处的法线与 $x$ 轴交于 $T$ 。 $P$ 的 $x$ 坐标为 5。已知 $PT$ 是 $PQ$ 的两倍，且 $RQ$ 平行于 $x$ 轴，求 $P$ 点…
33分别求函数 $y = \ln x$ 和 $y = \ln 2x$ 的导数。解释为什么在第 (i) 问中，拥有相同的导数并不意味着这两个函数是同一个函数。
34求 $f(x) = \ln(x^2 + 1)$ 的导数 $f'(x)$ 。
35该图显示了曲线 $y = -3(2x-4)^{-1/3}$ 的一部分。点 $P(-2,\ 1.5)$ 位于该曲线上，且该曲线在点 $P$ 处的法线与 x 轴交于点 $Q$ 。求 $Q$ 的坐标。求由该曲线、法线 $PQ$ 和坐标轴围成的阴…
36图中显示了曲线 $y = \\sqrt{2x + 4}$ 的一部分，曲线与 $x$ 轴交于点 $A$ ，与 $y$ 轴交于点 $B$ 。曲线在点 $B$ 处的法线与 $x$ 轴交于点 $C$ 。写出 $B$ 点的坐标。求 $C$ 点的坐标。…
37该图显示了曲线 $y = 2 \sin 2x + 1$ 的一部分。 $P$ 是该曲线的最高点，而 $Q$ 是曲线上切线斜率为 $-4$ 的点。求 $P$ 和 $Q$ 的坐标。求由曲线、坐标轴、直线 $PQ$ 和垂直线 $QR$ 围成的阴影…
38已知曲线的方程为 $y = 3(4 - x)^{3} + 5$ 。求该曲线驻点的坐标。确定该驻点的性质。由此画出 $y = 3(4 - x)^{3} + 5$ 的图像草图，并标出所有的截距。
39点 $P$ 在曲线 $y = \frac{kx^2}{\sqrt{2-x}}$ 上，其中 $k$ 是常数。 $P$ 的 $x$ 坐标为 $-2$ 。已知 $P$ 点处的法线斜率为 $\frac{1}{7}$ ，求证 $k = 4$ 。点 $P$ …
40求 $\frac{\text{d}}{\text{d}x}(x \cos 2x)$ 。求 $\frac{\text{d}}{\text{d}x}(x^2 \sin 2x)$ 。利用第 (i) 和 (ii) 部分的结果，求 $\int x^2 \cos 2x \text{ d}x$ …
41如图所示为一个玻璃窗 $ABCDEF$ ，由一个高为 $3x\text{ cm}$ 、宽为 $y\text{ cm}$ 的长方形 $ABEF$ 以及一个梯形 $BCDE$ 组成，其中 $CD = x\text{ cm}$ ， $BC = 2y\text{ cm}$ …
42已知 $y = (x-3)\sqrt{x+1}$ 。以 $\dfrac{ax-b}{2\sqrt{x+1}}$ 的形式求 $\dfrac{dy}{dx}$ ，其中 $a$ 和 $b$ 为整数。由此求 $\displaystyle\int_0^3 \dfrac{9x}{\sqrt{x+1}}\,dx$ …
43图示为曲线 $y = \frac{1}{4}x^2 - \frac{1} {2}\ln\left(\frac{x}{3}\right)$ 的一部分，且 $P(3,\,2.25)$ 是该曲线上的一点。利用微积分，写出完整的计算过程，判断…
44图中显示了曲线 $y = 27 + \frac{8}{(x-2)^3}$ 的一部分，该曲线与坐标轴交于点 $A$ 和点 $B$ 。解释为什么该曲线没有驻点。求 $A$ 和 $B$ 的坐标。求曲线在点 $B$ 处的法线方程。曲线在点 $B$ …
45求使 $y = 3x^2 e^{5-2x}$ 为递减函数的 $x$ 的取值范围。
46函数 $f$ 对所有 $x$ 值定义为 $f(x)=(x+3)(1-2x)^2$ 。求使 $f$ 为递减函数的 $x$ 取值范围。
47已知 $y = \dfrac{4x}{\sqrt{3-2x}}$ ，证明 $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{12-4x}{\sqrt{(3-2x)^3}}$ 。由此求 $\displaystyle \int_{0}^{1} \dfrac{3 - x}{\sqrt{(3 - 2x)^3}}\, dx$ …
48将 $\dfrac{8 - 3x}{(2x + 3)(x^2 + 4)}$ 展开为部分分式。求 $\ln\left(x^2 + 4\right)$ 对 $x$ 的导数。利用前两部分的结论，求 $\displaystyle \int_0^1 \frac{8 - 3x}{(2x + 3)(x^2 + 4)}\,\mathrm{d}x$ …
49证明 $\frac{d}{dx} \left[ (2x)(3-5x)^{\frac{6}{5}} \right] = (6-22x)(3-5x)^{\frac{1}{5}}$ 。由此，求 $\int x(3-5x)^{\frac{1}{5}} dx$ …
50该图显示了曲线 $y = \frac{7}{6x + 1}$ 的一部分与 $y$ 轴交于点 $A(0, 7)$ 。在点 $K(1, 1)$ 处的曲线切线与 $y$ 轴相交于点 $B$ 。求 $B$ 的坐标。求由曲线、切线 $KB$ 和 $y$ …
51一个质点沿直线运动，在经过定点 $O$ 后的 $t$ 秒时，它相对于 $O$ 的位移为 $s$ 米。质点的速度 $v\ \mathrm{ms}^{-1}$ 满足 $v = 6\cos 4t$ 。写出质点的初速度。求当质点的加速度等于 $8\ \mathrm{ms}^{-2}$ …
52质点 $P$ 沿直线运动，其速度 $v$ m/s 由 $v = 4\sin^2\left(\frac{t}{2}\right) - 1$ 给出，其中 $t$ 是通过固定点 O 后的时间（以秒为单位）。求： $P$ 的初速度，加速度首次达…
53已知 $y = \sec x$ ，证明 $\frac{dy}{dx} = \sec x \tan x$ 。由此证明 $y^4 - y^2 = \left(\frac{dy}{dx}\right)^2$ 。已知 $\frac{6x + 1}{2x + 1}$ …
54已知 $y = x^2 \sqrt{2x-1}$ ，证明 $\frac{\text{d}y}{\text{d}x} = \frac{x(5x-2)}{\sqrt{2x-1}}$ 。确定 $y = x^2 \sqrt{2x-1}$ 是否始终为增函…
55求 $\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\bigl((2x-3)e^{2x}\bigr)$ 。由此计算 $\displaystyle\int_0^1 4xe^{2x}\,\mathrm{d}x$ 的值，结果用精确…
56一个质点从点 P 向点 O 运动。在通过点 P 之后 $t$ 秒，质点的速度可以用公式 $v = (k - 2t)^n$ 来建模，其中 $k$ 和 $n$ 是常数。当 $t = 3.5$ 时，质点的速度为 27 m/s；当 $t = 8$ …
57求下列各项的导数，并将结果化简。 $y = 3\left(1 - \frac{x}{3}\right)^4$ $f(x) = (2 - 3x)(\sqrt{1 - 4x})$ $\frac{dy}{dx} = \frac{2(3x - 2)}{4 + x}$ …
58一个质点沿着曲线 $y = \frac{2}{\sqrt{3x+1}}$ 运动，其 $y$ 坐标以每秒 3 个单位的恒定速率减少。求当 $x$ 坐标以每秒 0.125 个单位的速率增加的瞬间，该质点的 $y$ 坐标。证明当 $x > \frac{1}{e}$ …
59求 $2x \cos 3x$ 关于 $x$ 的导数。由此，求 $\int x \sin 3x \text{ d}x$ 。
60求 $x \sin x + \cos x$ 对 $x$ 的导数。证明 $\frac{\text{d}}{\text{d}x} \left( \frac{1}{3} x \sin^3 x \right) = \frac{1}{3} \sin^3 x - x \cos^3 x + x \cos x$ …