求 f(x)=ln⁡(x2+1)f(x) = \ln(x^2 + 1) 的导数 f′(x)f'(x)。

链式法则常见导数公式
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完整解法

1. 应用对数函数的导数公式与链式法则建立导数表达式

根据链式法则 ddx[ln⁡(u)]=1u⋅dudx\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}[\ln(u)] = \dfrac{1}{u} \cdot \dfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}，设 u=x2+1u = x^2 + 1，则：
f′(x)=1x2+1⋅ddx(x2+1)f'(x) = \frac{1}{x^2 + 1} \cdot \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(x^2 + 1)

2. 计算内层函数的导数并化简求得最终结果

对内层函数求导得 ddx(x2+1)=2x\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(x^2 + 1) = 2x。
代入得：
f′(x)=1x2+1⋅2x=2xx2+1f'(x) = \frac{1}{x^2 + 1} \cdot 2x = \frac{2x}{x^2 + 1}

答案

f′(x)=2xx2+1f'(x) = \dfrac{2x}{x^2 + 1}

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