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常见导数公式

任意有理数 $n$ 的 $x^{n}$ 、 $\sin x$ 、 $\cos x$ 、 $\tan x$ 、 $e^{x}$ 和 $\ln x$ 的导数，以及常数倍、和与差的导数

这个知识点的练习题

1如图所示，一个建在矩形底面上的温室。建造拱形屋顶和两个完全相同的半圆形侧面共使用了 $140\text{ m}^2$ 的聚乙烯薄膜。每个半圆的半径为 $r\text{ m}$ ，温室的长度为 $y\text{ m}$ 。证明温室的体积 $V\text{ m}^3$ …
2已知当 $x>0$ 时， $y = \dfrac{3\ln 2x}{x^2}$ 。证明 $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{3}{x^3}\left(1 - 2\ln 2x\right).$ 由此，求 $\displaystyle\int \frac{\ln 2x}{x^3}\,dx$ …
3在三角形 $ABC$ 中， $AB = x\ \text{cm}$ ， $AC = 3x\ \text{cm}$ ，且角 $BAC = \dfrac{2\pi}{3}$ 。如果 $x$ 以 $0.5\ \text{cm/s}$ 的速率增加，求当 $x = 4$ …
4已知一条曲线的方程为 $y = \frac{2x - 3}{3x + 4}$ ，其中 $x \ne -\frac{4}{3}$ 。曲线在点 $P$ （其中 $x > 0$ ）处的法线平行于直线 $y = -\frac{25}{17}x + 2$ 。…
5求曲线 $y = 2x^2 - \ln x + c$ 的导函数。曲线在点 $T$ 处与正 $x$ 轴相切。求 $T$ 的坐标。证明 $c = -\ln 2\sqrt{e}$ 。求在点 $T$ 处 $\frac{\text{d}^2y}{\text{d}x^2}$ …
6曲线 $y = 2\tan 3x - 1$ 在点 $P\left(\frac{\pi}{3}, -1\right)$ 处的法线交 $y$ 轴于点 $A$ ，交 $x$ 轴于点 $B$ 。求三角形 $AOB$ 的精确面积。
7点 $P$ 在曲线 $y = \ln\left(\frac{x+1}{x-1}\right)$ （ $x > 1$ ）上。该曲线在点 $P$ 处的法线平行于直线 $2y = 3x + 2$ 。曲线在点 $P$ 处的切线交 $y$ 轴于点 $Q$ 。求…
8圆的半径以 3 cm s^{-1} 的速率增加。用 $\pi$ 表示以下情况下面积的增加率：半径为 5 cm。面积为 $4\pi\ \text{cm}^2$ 。
9图中显示了曲线 $y = g(x)$ 的一部分。 $(2, 8)$ 和 $(6, 1)$ 是曲线上的两个点。已知 $\int_{2}^{6} y \text{ } dx = 32$ ，求 $\int_{1}^{8} x \text{ } dy$ …
10图示为曲线 $y = 3e^{-\frac{1}{2}x} - 6$ 的一部分，该曲线与 $x$ 轴相交于点 $P$ ，与 $y$ 轴相交于点 $Q$ 。曲线在点 $Q$ 处的法线与 $x$ 轴交于点 $R$ 。求法线的方程，阴影区域的面积。
11曲线的方程由 $y = x + \sin^2 x$ 给出，其中 $0 \le x \le \pi$ 。写出 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ 的表达式。求该曲线的驻点。确定该驻点的性质。
12容器中液体的体积 $V\ \text{m}^3$ 由下式给出： $V = 0.05\bigl[(3x+2)^3 - 8\bigr],$ 其中 $x$ 是液体的深度（以米为单位）。液体以 $0.081\ \text{m}^3/\text{s}$ …
13一名驾驶员以恒定速度 V m/s 行驶，经过一个固定点 X 并看到前方车辆很少。他踩下油门，随后他的速度 v m/s 由 $v = 60e^{t/6}$ 给出，其中 $t$ 是通过 X 后的时间（以秒为单位）。当他通过点 Y 时，他的速度已…
14一条曲线的方程由 $y = 5xe^{2x+1}$ 给出。求 $\frac{dy}{dx}$ 。由此，求 $\int xe^{2x+1} \text{ d}x$ 。确定使 $y$ 是递减函数的 $x$ 值范围。
15曲线方程为 $y = \frac{e^{2x+1}}{x+3}$ ，其中 $x \ne -3$ 。求 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ 的表达式。由此，清晰地说明你的理由，并判定对于 $x > 0$ ，函数…
16一个高为 $h$ 、底面半径为 $r$ 的圆锥恰好内接于一个半径为 $5\text{ cm}$ 的球体中，如下图所示。 $\left(\text{圆锥的体积} = \frac{1}{3}\pi r^2 h\right)$ 用 $h$ 表示…
17图中显示了曲线 $y = \sqrt{3x + 4}$ 的一部分。直线 $AB$ 在点 $A$ 处与曲线相切。点 $B$ 和 $C$ 位于 $x$ 轴上，且 $C$ 是曲线上的一个点。已知该曲线在点 $A$ 处的切线斜率为 $\frac{3}{2}$ …
18已知 $f'(x)=6\cos 3x-12\sin 3x$ 且 $f\left(\frac{\pi}{3}\right)=0$ 。求 $f(x)$ 。求 $f''\left(\frac{\pi}{12}\right)$ 的精确值。
19一个质点 P 在距离定点 O 处 3 m 的位移处开始沿直线运动，初始速度为 8 m/s。质点在运动 $t$ 秒后的速度 $v$ m/s 由 $v = 5\cos t + 2\sin t + c$ 给出。求 $c$ 的值。求质点的初始速…
20已知 $y = 4x \sin 2x$ 。证明 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ 可以表示为 $ax \cos 2x + b \sin 2x$ 的形式，其中 $a$ 和 $b$ 为常数。已知 $x$ 以每…
21将 $\dfrac{2x^{2}+3x}{x^{2}+3x+2}$ 表示为部分分式。由此计算 $\displaystyle \int_{1}^{3} \dfrac{2x^{2}+3x}{x^{2}+3x+2}\,dx$ 。已知 $y = x\ln\left(x^{2}+3x+2\right)$ …
22如图所示，一个半顶角为 $30^\circ$ 的圆锥形容器中正在以一定的速度注水。在 $t$ 秒后，水的深度为 $x\text{ cm}$ ，水面的半径为 $r\text{ cm}$ 。证明水的体积 $V = \frac{\pi x^3}{9}\text{ cm}^3$ …
23如图所示为曲线 $y = (1 - x)(x - 4)$ 的一部分以及两条直线 $l_1$ 和 $l_2$ 。直线 $l_1$ 和 $l_2$ 分别是曲线在点 $P$ 和 $Q$ 处的切线，斜率分别为 $2$ 和 $-2$ 。证明 $P$ 和…
24已知函数 $f(x)$ 满足 $f'(x) = \sin 2x + \cos 3x$ 。又已知 $f\left(\frac{\pi}{6}\right) = 0$ ，证明 $f''(x) + 9f(x) = -\frac{3}{4} - \frac{5}{2}\cos 2x$ …
25一个质点 $P$ 沿直线运动，在通过定点 $O$ 后的 $t$ 秒时，其速度 $v$ m/s 由 $v = 3t^2 + kt + 18$ 给出，其中 $k$ 为常数。当 $t = 1$ 时，质点的加速度为 $-9$ m/s $^2$ 。证明…
26已知曲线 $y = \frac{1}{2}e^{2x} - \frac{1}{3}e^{-3x} + \frac{1}{3}$ ，且该曲线在点 $P\left(\ln 2, \frac{55}{24}\right)$ 处的法线与 $y$ 轴交…
27求 $\ln\left(\frac{3x}{x^2+1}\right)$ 关于 $x$ 的导数。由此求出 $\displaystyle \int \frac{2x}{x^2+1}\,dx$ 。
28图中所示为一个玻璃试管，其半径为 $r\text{ cm}$ ，高度为 $(h+r)\text{ cm}$ ，底部为一个半径为 $r\text{ cm}$ 的半球。试管的表面积为 $12\pi$ 。求证 $h = \frac{6-r^2}{r}$ …
29证明 $\frac{d}{dx}(\tan^{3} 2x) = 6\sec^{4} 2x - 6\sec^{2} 2x$ 。由此求 $\displaystyle \int_{0}^{\pi/8} \sec^{4} 2x\, dx$ 的精确值…
30农夫用 160 米长的栅栏围起他的一块土地，该土地的形状由一个等腰三角形和一个矩形组成，其尺寸如图所示。证明该土地的面积为 $\dfrac{320\sqrt{3}\,x - (3\sqrt{3} + 6)\,x^2}{4}\ \text{m}^2.$ …
31求 $4xe^{3x}$ 关于 $x$ 的导数。由此求 $\int_{0}^{3} 6xe^{3x} \text{d}x$ 的值，结果用精确形式表示。
32油以每秒 16 cm3 的速率滴入一个空的倒立圆锥（直圆锥）中。圆锥的高度为 h cm，是其半径 r cm 的四分之三。 [直圆锥的体积 = $\tfrac{1}{3} \times \pi \times r^2 \times h$ ] 证…
33一家工厂制造微型容器，该容器由一个封闭的圆柱体和一个半径相同的半球组成。圆柱体的半径为 $r\text{ cm}$ ，高为 $h\text{ cm}$ 。容器的体积为 $60\pi\text{ cm}^3$ 。用 $r$ 表示 $h$ 。该容器…
34求下列函数的导数 $(1)y={{x}^{2}}\ln x$ ； $(2)y=\dfrac{\sin x-x}{{{x}^{2}}}$ ； $(3)y={{e}^{-x}}\sqrt{2x-1}$
35已知曲线方程为 $y = e^{-2x}\tan x$ 。证明 $\dfrac{dy}{dx} = e^{-2x}(1 - \tan x)^2$ 。用含 $\pi$ 的式子表示当 $0 < x < \dfrac{\pi}{2}$ 时驻点的…
36点 A 在曲线 $y = x \ln x^2$ （ $x > 0$ ）上。曲线在点 A 处的切线平行于直线 $y - 3x = 1$ 。曲线 $y = x \ln x^2$ 在点 A 处的法线与直线 $y - 3x = 1$ 交于点 B。求点…
37求 $3x \sin 2x$ 对 $x$ 的导数。由此，求 $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} x \cos 2x \text{ d}x$ 的值。
38已知 $y = 2\cos x \sin 2x - \sin x \cos 2x$ ，证明 \dfrac{dy}{dx} = k\cos x \cos 2x $，并写出$ k $的值。由此证明 $$\int_{0}^{\pi/4}\left(7\cos x\cos 2x + \sec^{2} x\right)\,dx = \dfrac{7\sqrt{2}}{3} + 1.$ …
39曲线的方程为 $y = x^3 + kx^2 + kx + 8$ 。求满足下列条件的 $k$ 的取值集合：该曲线为单调递增函数，该曲线恰好有 1 个驻点。
40一个质点通过一个固定点 $O$ 并沿直线运动，在离开 $O$ 点 $t$ 秒后，其速度 $v\text{ m/s}$ 由 $v = \frac{3}{t+2} - \frac{t+2}{3}$ 给出。该质点在 $P$ 点达到距离 $O$ 的…
41[半径为 r 的球体体积为 $\dfrac{4}{3}\pi r^3$ ，其表面积为 $4\pi r^2$ 。] 下图显示了一个容量为 $360\pi\ \text{cm}^3$ 的珍珠奶茶杯。它由一个底面半径为 $r$ cm、高为 $h$ c…
42已知 $y = 3e^{2x} + 2e^{-x}$ ，且 $\frac{\text{d}^2 y}{\text{d}x^2} + \frac{\text{d}y}{\text{d}x} + y = Ae^{2x} + Be^{-x}$ ，求常…
43一条曲线由方程 $y = \ln\left(\frac{\text{e}^x}{x^2 + 10}\right)$ 定义。证明对于所有实数 $x$ ，该曲线没有极值点。
44空气正以每秒 12 cm $^3$ 的恒定速率被注入一个球形气球中。求当气球半径为 4 cm 时，气球半径增加的速率。 [半径为 $r$ 的球体体积为 $\frac{4}{3}\pi r^3$ ] 当气球半径膨胀超过 5 cm 时，人们发现，…
45图中显示了曲线 $y = \sin x$ 的一部分。 A 是曲线上的一个点，且在直线 $x = \frac{\pi}{3}$ 上。直线 AC 垂直于 x 轴。若曲线在点 A 处的法线与 x 轴交于点 B，求 A 和 B 的确切坐标。 D…
46图中显示了曲线 $y = 4 - e^{-2x}$ 的一部分，它与坐标轴相交于 $A$ 和 $B$ 两点。求 $A$ 和 $B$ 的坐标。曲线在 $B$ 点处的法线与 $x$ 轴交于 $C$ 点。求 $C$ 的坐标。求阴影区域的面积…
47下图显示了 $y = \frac{x^2 + 2x + 5}{x + 3}$ 的部分图像。求极小值点 $P$ 的坐标。
48将一个高为 12 cm、底面半径为 5 cm 的圆锥罩在一个半径为 $r$ cm、高为 $h$ cm 的圆柱上。圆锥沿圆柱的上边缘与圆柱接触。图示为圆锥和圆柱的垂直截面。用 $r$ 表示 $h$ 。由此证明圆柱的体积 $V$ cm $^3$ …
49图中显示了曲线 $y = e^{x-1} - 2$ 的一部分。点 $P(2,\ e-2)$ 在该曲线上，且曲线在点 $P$ 处的法线交 $x$ 轴于点 $Q$ 。用 $e$ 表示点 $Q$ 的 $x$ 坐标。求阴影区域的总面积。
50求 $x$ 的取值范围，使得函数 $y = \ln \left( \frac{x-2}{x-3} \right)^2$ 的图像是递减的。
51图中显示了一个棱柱，其横截面为梯形 $ABCD$ 。 $AB = 4x\text{ cm}$ ， $BC = DC = AD = 2x\text{ cm}$ 。该棱柱的长度为 $d\text{ cm}$ 。证明梯形 $ABCD$ 的面积为 $3\sqrt{3}x^2\text{ cm}^2$ …
52画出曲线 $y = x^3 - 4x$ 的草图，标出零点、极值点和拐点坐标。
53上图显示了一个三角形棱柱形状的微型模型。一根长 36 cm 的铁丝穿过该三角形棱柱的所有棱。棱柱的横截面是边长为 $x$ cm 的等边三角形，棱柱的长度为 $y$ cm。证明该棱柱的总表面积 A cm^2 满足 $A=\frac{\sqrt{3}-12}{2}x^2+36x.$ …
54一质点 P 沿水平直线运动，在运动开始 $t$ 秒后，它相对于固定点 O 的位移 $s$ m 由下式给出： $s = t^3 + 5t^2 - 2t + 4.$ 用 $t$ 表示 P 的速度。第二个质点 Q 与 P 在同一时刻开始运动…
55一个质点在直线上运动，其速度 $v$ m/s 由 $v = t^2 - 4t + 3$ 给出，其中 $t$ 是通过固定点 $O$ 后的时间（以秒为单位）。求当 $t = 1$ 时质点的加速度。求质点瞬时静止时 $t$ 的值。求质点静止…
56一个质点沿直线运动，在离开固定点 $O$ 后 $t$ 秒时，其速度 $v\text{ m s}^{-1}$ 由 $v = t^2 - 2kt - 6k$ 给出，其中 $k$ 为常数。质点的最小速度发生在 $t = 2$ 时。证明 $k = 2$ …
57分别求函数 $y = \ln x$ 和 $y = \ln 2x$ 的导数。解释为什么在第 (i) 问中，拥有相同的导数并不意味着这两个函数是同一个函数。
58已知 $y = x^3 + px^2 + qx + 10$ ，其中 $p$ 和 $q$ 是整数。使 $y$ 为 $x$ 的递减函数的 $x$ 值的唯一区间为 $3 < x < 7$ 。求 $p$ 和 $q$ 的值。
59求 $f(x) = \ln(x^2 + 1)$ 的导数 $f'(x)$ 。
60泡打粉以 $2\pi\text{ cm}^3\text{s}^{-1}$ 的恒定速率倒在水平面上，形成一个直圆锥。圆锥的半径始终是其高度的 $\frac{1}{18}$ 。求倒入 3 秒后圆锥半径的变化率。 $\left[\text{圆锥体积} = \frac{1}{3}\pi r^2 h\right]$ …