代数式求值

从通用公式到具体数值

上一节我们学会了用字母表示数，知道字母可以像“座位”一样代表不确定的数。

• 什么是代数式求值？
  用具体的数值去替换代数式中的字母，并按照式子中的运算顺序计算出结果，这个过程就叫代数式求值。

• 核心思想：占位与替换
  字母 $x, a, b$ 只是占位符。一旦给定了具体数值，代数式就能算出一个确定的结果。

$\text{代数式 } 2a + 1 \xrightarrow{\quad a = 3 \quad} 2 \times 3 + 1 = 7$

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图解：代数式的输入与输出

我们可以把代数式看作一台**“数值加工盒”**：输入一个数替换字母，盒子内部按法则加工，最终输出结果。

• 输入：给定数值 $x = 4$，代入代数式 $3x + 2$
• 加工：恢复省略的乘号，计算 $3 \times 4 + 2 = 12 + 2$
• 输出：得到最终数值 $14$

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直接代入的“两大隐形规则”

把数值替换进代数式时，有两个极易出错的规范要求：

1. 还原省略的乘号

   • 字母与数字相乘时省略了乘号（如 $5x$）。
   • 代入 $x = 2$ 时，必须补回乘号写成 $5 \times 2 = 10$，绝对不能写成 $52$！

2. 负数与分数代入必须加括号

   • 代入负数或分数时，要给数值戴上保护括号。
   • 例：当 $a = -3$ 时求 $a^2$ 的值：
     • 正确：$(-3)^2 = 9$
     • 错误：$-3^2 = -9$（错把乘方只作用在数字 $3$ 上）

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例题精讲：直接代入求值

题目：如图，一个长方形花坛的长为 $a$ 米，宽为 $b$ 米。
(1) 写出表示长方形花坛周长 $C$ 的代数式；
(2) 当 $a = 8$ 米，$b = 5$ 米时，求花坛的周长 $C$。

分步解答：

• (1) 列出代数式：由周长公式得 $C = 2(a + b)$
• (2) 代入计算：将 $a = 8, b = 5$ 代入式中：
  $C = 2 \times (8 + 5) = 2 \times 13 = 26\text{ (米)}$

💡 教师点评：代入时抄下原式，将字母替换为对应数值，运算符号保持不变。

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例题精讲：含负数的高频易错题

题目：若上述花坛的某种设计面积满足代数式 $2x^2 - 3x$。当 $x = -3$ 时，求该代数式的值。

分步解答：

1. 写出原式：$2x^2 - 3x$
2. 加括号代入：将 $x = -3$ 代入，得 $2 \times (-3)^2 - 3 \times (-3)$
3. 按顺序计算：
   • 先算乘方：$(-3)^2 = 9$，原式 $= 2 \times 9 - 3 \times (-3)$
   • 再算乘法：$= 18 - (-9)$
   • 最后加减：$= 18 + 9 = 27$

⚠️ 易错提醒：注意减号与负号重叠时的符号变换：$- 3 \times (-3) = +9$。